基于累積前景理論的組合出行交通分配模型

張雪妍，賀 鋒

(中國(guó)人民解放軍軍事科學(xué)院 國(guó)防工程研究院，北京 100091)

0 引言

隨著城市交通出行方式的多樣化，出行者的出行模式從單一的交通方式出行轉(zhuǎn)變?yōu)槎嘟煌ǚ绞降慕M合出行，如停車(chē)換乘(P&R，park and ride)出行方式。相比單一出行方式，組合出行更能刻畫(huà)出行者的實(shí)際出行行為。Fernández等最早建立了固定需求下的組合出行交通分配模型[1]，在此基礎(chǔ)上，國(guó)內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了相應(yīng)的擴(kuò)展研究，主要包括混合交通分配模型[2]、彈性交通分配模型[3]、隨機(jī)交通均衡分配模型[4]和動(dòng)態(tài)交通分配模型[5]。這些組合出行模型與單一出行方式的模型相比，不僅能夠分析出行者的廣義路徑選擇行為，同時(shí)還能研究出行者的換乘站點(diǎn)選擇行為，為網(wǎng)絡(luò)換乘站點(diǎn)的規(guī)劃提供理論支持。然而，上述研究均是在確定性網(wǎng)絡(luò)中展開(kāi)的，并沒(méi)有考慮交通網(wǎng)絡(luò)的不確定性。

交通系統(tǒng)是典型的不確定性系統(tǒng)[6]，比如受天氣、交通事故的影響，路網(wǎng)通行能力將會(huì)衰減，考慮該種不確定性，孟夢(mèng)等[7]研究了降級(jí)路網(wǎng)下組合出行交通流分配模型與算法。但是除了交通系統(tǒng)的不確定性外，出行者本身還存在觀測(cè)誤差和非完全理性行為，因此并非所有出行者均會(huì)選擇實(shí)際費(fèi)用最小的路徑[8]。累積前景理論是Tversky和Kahneman[9]在一系列心理學(xué)實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)上提出的，用于描述經(jīng)濟(jì)行為主體面臨不確定條件時(shí)的決策行為過(guò)程。研究者們通過(guò)一系列實(shí)證調(diào)研，發(fā)現(xiàn)累積前景理論能夠很好地描述出行者在不確定環(huán)境下的路徑選擇行為，并將其應(yīng)用于交通網(wǎng)絡(luò)分配和路徑優(yōu)化等問(wèn)題[10-11]。

為了定量分析隨機(jī)組合網(wǎng)絡(luò)中出行者的交通選擇行為和網(wǎng)絡(luò)均衡狀態(tài)，在現(xiàn)有文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，引入累積前景理論，采用前景值描述出行者在不確定交通網(wǎng)絡(luò)中的選擇效用，基于隨機(jī)效用理論分析了網(wǎng)絡(luò)隨機(jī)用戶均衡條件，并建立了相應(yīng)的變分不等式模型。該模型同時(shí)考慮了交通系統(tǒng)不確定性、組合出行方式、出行者觀測(cè)誤差和風(fēng)險(xiǎn)決策行為，可以更加精確地描述出行者的交通選擇行為和網(wǎng)絡(luò)均衡狀態(tài)。

1 基本符號(hào)和理論

1.1 基本符號(hào)

1.2 累積前景理論

累積前景理論將風(fēng)險(xiǎn)的前景和不確定性因素納入前景理論中，用決策權(quán)重函數(shù)替換決策概率值，分別考慮損失和收益，主要包含了3個(gè)基本觀點(diǎn)：①收益和損失是相對(duì)于參考點(diǎn)而言的；②面對(duì)收益人們傾向于風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避，面對(duì)損失人們傾向于風(fēng)險(xiǎn)偏好；③人們會(huì)高估小概率事件發(fā)生的可能，而低估大概率事件發(fā)生的概率。

在累積前景理論框架下，每條可行路徑對(duì)應(yīng)著相應(yīng)的價(jià)值函數(shù)和決策權(quán)重函數(shù)，它們的乘積為路徑前景值。根據(jù)累積前景理論，出行者將路徑的前景值作為路徑選擇依據(jù)。計(jì)算路徑的前景值，需要3個(gè)基本要素，分別為路徑的價(jià)值函數(shù)、參照點(diǎn)和決策權(quán)重函數(shù)。

(1)路徑的價(jià)值函數(shù)與參照點(diǎn)密切相關(guān)，可以由下式表示：

(1)

式中：參數(shù)m>0，n≤1，表示出行者對(duì)價(jià)值收益和損失的敏感程度；λ≥1表示出行者對(duì)損失的規(guī)避系數(shù)；uw為參照點(diǎn)。

(2)采用內(nèi)生的方式確定參考點(diǎn)[12]，即該OD對(duì)所有路徑中出行時(shí)間預(yù)算的最小值：

(2)

(3)為了確保權(quán)重函數(shù)是關(guān)于到達(dá)概率的單調(diào)遞增函數(shù)，采用Prelec給出決策權(quán)重函數(shù)的形式[13]：

w(p)=exp[-(-lnp)γ],0<γ<1。

(3)

(4)

2 模型建立

2.1 路徑出行時(shí)間預(yù)算

小汽車(chē)網(wǎng)絡(luò)路段出行時(shí)間采用BPR(Bureau of Public Road)函數(shù)，即

(5)

(6)

(7)

換乘時(shí)間通常由步行時(shí)間和等待時(shí)間組成。步行時(shí)間由換乘點(diǎn)到地鐵站點(diǎn)的距離la,a∈E和步行速度vwalk決定，等待時(shí)間與發(fā)車(chē)間隔tf相關(guān)，假設(shè)其服從[0,tf]的均勻分布。則換乘時(shí)間的均值和方差為：

(8)

(9)

地鐵運(yùn)行時(shí)間相對(duì)比較平穩(wěn)，幾乎不受路段上流量的影響，因此可假設(shè)地鐵網(wǎng)絡(luò)的路段出行時(shí)間為一個(gè)常數(shù)定值Ta,a∈D。

假設(shè)路段出行時(shí)間相互獨(dú)立，根據(jù)中心極限定理，路徑的出行時(shí)間總是服從正態(tài)分布，則路徑k的均值和方差為：

(10)

(11)

若給定到達(dá)概率p，則路徑k的出行時(shí)間預(yù)算為：

(12)

式中：Φ-1(·)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布反函數(shù)。

2.2 隨機(jī)用戶均衡條件

(13)

假設(shè)觀測(cè)誤差項(xiàng)服從獨(dú)立同Gumbel分布，根據(jù)隨機(jī)效用理論，選擇路徑k的概率為

(14)

式中：θ>0,為參數(shù)，反映出行者對(duì)路網(wǎng)的熟悉程度。

根據(jù)網(wǎng)絡(luò)均衡條件，達(dá)到隨機(jī)用戶均衡狀態(tài)時(shí)應(yīng)滿足如下條件：

(15)

(16)

(17)

qw≥0；

(18)

(19)

式(15)為隨機(jī)用戶均衡條件，式(16)為流量守恒約束，式(17～18)為流量非負(fù)約束，式(19)為路徑-路段流量關(guān)系。

2.3 變分不等式模型

將隨機(jī)用戶均衡條件轉(zhuǎn)化為等價(jià)的變分不等式模型，對(duì)模型解的存在性和等價(jià)性進(jìn)行證明。

首先定義期望最小費(fèi)用[16]，其表達(dá)式為：

(20)

(21)

(1)等價(jià)性證明。根據(jù)變分不等式定理，變分不等式等價(jià)于如下的互補(bǔ)松弛條件：

(22)

(23)

(24)

(25)

對(duì)式(25)進(jìn)行等價(jià)變換，即可得到：

(26)

不難看出，式(26)等價(jià)于隨機(jī)用戶均衡條件，從而得證變分不等式模型(21)等價(jià)于隨機(jī)用戶均衡條件(14～19)。

3 求解算法

如前文所述，出行者將路徑的前景值作為路徑選擇依據(jù)，采用基于路徑的相繼平均算法MSA對(duì)模型進(jìn)行求解，其具體步驟如下：

step4收斂檢驗(yàn)：

4 算例

引入“超級(jí)網(wǎng)絡(luò)”的概念[18]，將交通網(wǎng)絡(luò)表達(dá)為包含多個(gè)交通方式子網(wǎng)絡(luò)的超級(jí)網(wǎng)絡(luò)，同時(shí)在各子網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)間添加虛擬弧段表示交通方式之間的換乘。圖1展示了一個(gè)傳統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)換為超級(jí)網(wǎng)絡(luò)的過(guò)程。

圖1 超級(jí)網(wǎng)絡(luò)Figure 1 Super network

表1 小汽車(chē)網(wǎng)絡(luò)路段參數(shù)Table 1 Parameters for links in network of cars

表2 換乘和地鐵網(wǎng)絡(luò)路段參數(shù)Table 2 Parameters for links in network of transfer and metro

對(duì)于組合出行下的分配結(jié)果，相比路徑流量，本文更加關(guān)注每個(gè)OD對(duì)中選擇小汽車(chē)出行和換乘出行的流量，以及每個(gè)換乘站點(diǎn)的流量。下面將分析參數(shù)變化對(duì)均衡條件下出行者交通選擇行為的影響。

(1)路網(wǎng)降級(jí)程度和到達(dá)概率。其他參數(shù)的設(shè)置情況為，路徑價(jià)值函數(shù)(1)中m=n=0.88，λ=2.25，決策權(quán)重函數(shù)(3)中γ=0.74。同時(shí)對(duì)到達(dá)概率和通行能力降級(jí)系數(shù)進(jìn)行參數(shù)敏感性分析。設(shè)置高中低3種到達(dá)概率，分別對(duì)應(yīng)p=0.8,p=0.5,p=0.3 3種情況；設(shè)置高中低3種通行能力降級(jí)系數(shù)，分別對(duì)應(yīng)θa=0.8，θa=0.7，θa=0.6，a∈R，綜合下來(lái)，共9種情形。其結(jié)果如表3所示。

由表3可知，隨著路網(wǎng)降級(jí)程度越嚴(yán)重，選擇P&R出行方式的出行者越多，這是因?yàn)殡S著θa的減小，小汽車(chē)網(wǎng)絡(luò)出行費(fèi)用均值和方差都將變大。此外，出行者更加傾向于選擇離終點(diǎn)較遠(yuǎn)的地鐵站點(diǎn)進(jìn)行換乘，這是因?yàn)槌鲂姓邠Q乘距離越長(zhǎng)，獲得地鐵出行費(fèi)用穩(wěn)定性的優(yōu)勢(shì)越大。

表3 不同參數(shù)下出行選擇結(jié)果Table 3 Results of travel mode under different parameters pcu/h

此外，隨著到達(dá)概率增加，選擇P&R出行方式的出行者會(huì)增多，但并不顯著。由式(2)和(12)可知，參照點(diǎn)會(huì)隨到達(dá)概率p的取值變化而不同，對(duì)比參考文獻(xiàn)[12]中累積前景理論下出行者的路徑選擇行為，出行者交通方式和換乘節(jié)點(diǎn)的選擇行為參考點(diǎn)依賴效應(yīng)并不顯著。

(2)收益和損失的敏感性m和n。令p=0.8，θa=0.7，λ=2.25，其他參數(shù)固定不變。設(shè)置m=n，取值由低到高為0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8和0.88。由表4可知，出行者對(duì)于收益和損失的敏感性，對(duì)出行模式選擇具有一定影響，且OD間距離(即OD2)越小，影響越大，其具體表現(xiàn)為：出行者對(duì)收益和損失越敏感，那么兩種出行方式中，流量大的將越大，流量小的將越小。

表4 不同m和n下的交通方式選擇結(jié)果Table 4 Results of mode choice with variation of m and n pcu/h

(3)出行者損失規(guī)避程度λ。令p=0.8，θa=0.7，m=n=0.88，其他參數(shù)固定不變。設(shè)置λ取值由低到高為1, 1.25, 1.5, 1.75, 2和2.25。由表5可知，出行者損失規(guī)避程度對(duì)于出行模式選擇影響程度較弱，但從中也能發(fā)現(xiàn)：出行者損失規(guī)避程度越大，兩種出行方式中，流量大的將越大，流量小的將越小，這與出行者對(duì)于收益和損失的敏感性參數(shù)分析結(jié)論是一致的。

表5 不同λ下的交通方式選擇結(jié)果Table 5 Results of mode choice with variation of λ pcu/h

綜上所述，累積前景理論框架下出行方式的選擇規(guī)律，與現(xiàn)有文獻(xiàn)中路徑選擇規(guī)律有著一定的相似性，這是因?yàn)槌鲂蟹绞竭x擇是廣義路徑選擇的集計(jì)過(guò)程。此外，組合交通出行模型還能夠辨析出行者的交通方式和換乘節(jié)點(diǎn)的選擇行為，比單一交通出行模型具有更廣泛的應(yīng)用價(jià)值。

5 結(jié)論

對(duì)組合出行網(wǎng)絡(luò)交通分配模型和算法進(jìn)行了研究。為了考慮不確定環(huán)境下，組合出行網(wǎng)絡(luò)中出行者的觀測(cè)誤差和風(fēng)險(xiǎn)決策行為，基于累積前景理論和隨機(jī)用戶均衡條件，構(gòu)建了相應(yīng)的變分不等式模型，對(duì)模型解的存在性和等價(jià)性進(jìn)行了分析，并提出了求解算法。最后通過(guò)構(gòu)建包含小汽車(chē)網(wǎng)絡(luò)和地鐵網(wǎng)絡(luò)的超級(jí)網(wǎng)絡(luò)作為算例，對(duì)模型的參數(shù)進(jìn)行了敏感度分析。算例結(jié)果表明:模型能夠有效地描述出行者的交通方式和換乘站點(diǎn)的選擇行為，此外，路網(wǎng)降級(jí)系數(shù)和出行者風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度均會(huì)影響網(wǎng)絡(luò)的均衡分配結(jié)果。本文的研究工作為城市多模式交通規(guī)劃提供了理論支持，能夠應(yīng)用到交通方式劃分，停車(chē)換乘選址及停車(chē)場(chǎng)容量規(guī)劃等工作中。