冪函數(shù)變換的GM(1，1)模型在高鐵沉降預(yù)報(bào)中的應(yīng)用

范少杰

(中國(guó)鐵路設(shè)計(jì)集團(tuán)有限公司，天津 300251)

高速鐵路施工過程中，沉降監(jiān)測(cè)與預(yù)報(bào)是鐵路建設(shè)、運(yùn)營(yíng)、維護(hù)的重要環(huán)節(jié)。高速鐵路施工沉降變形一般隨著時(shí)間推移呈規(guī)律性變化，利用高精度的預(yù)報(bào)模型可以為高鐵施工提供可靠的依據(jù)。已有許多學(xué)者進(jìn)行了相關(guān)研究：甄亞男針對(duì)不同區(qū)域采用不同模型進(jìn)行了沉降預(yù)報(bào)[1]；劉生榮用多項(xiàng)式擬合和GM(1，1)模型進(jìn)行高鐵沉降預(yù)報(bào)[2]；周興華等利用雙曲線模型對(duì)高速鐵路沉降進(jìn)行預(yù)報(bào)，發(fā)現(xiàn)其結(jié)果與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)基本一致[3]；薛騏等針對(duì)沉降預(yù)報(bào)模型單一、預(yù)測(cè)結(jié)果不穩(wěn)定等問題，提出采用小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行高鐵沉降預(yù)報(bào)[4-5]。之后，張松等利用時(shí)間序列對(duì)地鐵進(jìn)行短期沉降預(yù)報(bào)，證明時(shí)間序列可以用在短期沉降預(yù)報(bào)上[6]；陳晨等利用灰色模型和Kalman濾波對(duì)初始值進(jìn)行去噪處理及沉降預(yù)報(bào)，進(jìn)一步提高了預(yù)測(cè)的精度[7-13]。

根據(jù)高速鐵路沉降變化的特點(diǎn)，傳統(tǒng)GM(1，1)模型具有一定的局限性：當(dāng)原始數(shù)據(jù)觀測(cè)值波動(dòng)較大、光滑度不足時(shí)，易出現(xiàn)預(yù)測(cè)結(jié)果誤差浮動(dòng)較大的問題。由此可見，傳統(tǒng)GM(1，1)模型預(yù)測(cè)精度取決于初始數(shù)據(jù)的光滑度[14]。針對(duì)這個(gè)問題，宋建強(qiáng)在進(jìn)行貨運(yùn)量預(yù)測(cè)時(shí)，提出通過冪函數(shù)變換提高原始觀測(cè)數(shù)列的光滑度，以降低其預(yù)測(cè)誤差[15-16]。

以下結(jié)合某高鐵沉降監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，將其初始觀測(cè)數(shù)列進(jìn)行平滑處理，利用MATLAB編程，對(duì)高鐵沉降進(jìn)行預(yù)報(bào)，并與傳統(tǒng)GM(1，1)模型預(yù)報(bào)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，以驗(yàn)證改進(jìn)模型在高鐵沉降預(yù)測(cè)中的適用性。

1 灰色理論模型原理與方法

1.1 傳統(tǒng)GM(1，1)模型

首先，給定某一預(yù)測(cè)對(duì)象的非負(fù)原始數(shù)據(jù)列

x(0)(t)={x(0)(1)，x(0)(2)，…，x(0)(n)}

(1)

建立灰色預(yù)測(cè)模型，對(duì)x(0)(t)進(jìn)行一次累加(1-AGO)，生成一次累加序列

x(1)(k)={x(1)(1)，x(1)(2)，…，x(1)(n)}

(2)

建立一個(gè)灰色微分方程，即GM(1，1)模型，有

x(0)(k)+α·z(1)(k)=u

(3)

z(1)(k)=0.5·x(1)(k)+0.5·x(1)(k-1)

(4)

其中，k=2，3，…，n；z(1)(k)為緊鄰均值生成序列。

(5)

(6)

yn=[x(0)(2)，x(0)(3)，…，x(0)(n)]T

(7)

將求得的參數(shù)α、u值代入時(shí)間響應(yīng)函數(shù)，有

(8)

之后，累減還原得到的預(yù)測(cè)模型為

(9)

上述即為傳統(tǒng)GM(1，1)模型的基本推導(dǎo)過程，對(duì)應(yīng)高鐵沉降預(yù)報(bào)時(shí)，自變量k為沉降監(jiān)測(cè)的期數(shù)，應(yīng)變量x為對(duì)應(yīng)于期數(shù)k的沉降量。式(9)為累減還原后的沉降預(yù)報(bào)結(jié)果。

1.2 基于冪函數(shù)變換的GM(1，1)模型

針對(duì)傳統(tǒng)GM(1，1)模型的缺陷，利用冪函數(shù)變換法對(duì)模型進(jìn)行改進(jìn)，以提高原始數(shù)據(jù)數(shù)列的光滑度，進(jìn)而降低預(yù)報(bào)結(jié)果的預(yù)測(cè)誤差。

基于冪函數(shù)變換的GM(1，1)模型的建模過程如下。

首先，設(shè)原始數(shù)據(jù)列為

y(0)(t)={y(0)(1)，y(0)(2)，…，y(0)(n)}

(10)

對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行冪函數(shù)變換

x(0)(t)={x(0)(1)，x(0)(2)，…，x(0)(n)}

(11)

其中，x(0)(t)=[y(0)(t)]-a，t=1，2，…，n，0

其次，對(duì)x(0)(t)進(jìn)行一次累加(1-AGO)生成一次累加序列

x(1)(k)={x(1)(1)，x(1)(2)，…，x(1)(n)}

(12)

(13)

(14)

(15)

將求得的參數(shù)α、u值代入時(shí)間響應(yīng)函數(shù)，有

(16)

累減還原后得到的預(yù)測(cè)模型為

(17)

最后，將函數(shù)還原后即可得到預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)

(18)

利用冪函數(shù)做變換，即可得到改進(jìn)的GM(1，1)模型，y為高鐵基本初始觀測(cè)沉降序列，x為冪函數(shù)平滑處理后的沉降序列，k為沉降觀測(cè)的期數(shù)，式(18)為冪函數(shù)還原出的預(yù)報(bào)沉降結(jié)果。

2 實(shí)驗(yàn)分析

某高鐵施工過程中，通過對(duì)現(xiàn)場(chǎng)沉降控制點(diǎn)進(jìn)行監(jiān)測(cè)，得到了各沉降點(diǎn)的變形數(shù)據(jù)。為檢驗(yàn)改進(jìn)模型的準(zhǔn)確性和適用性，選擇兩個(gè)監(jiān)測(cè)地點(diǎn)的各一組1～15期的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)作為基礎(chǔ)數(shù)據(jù)，分別以GM(1，1)模型和基于冪函數(shù)的GM(1，1)模型對(duì)16～30期的沉降量進(jìn)行預(yù)報(bào)，并且將擬合結(jié)果和實(shí)際測(cè)量值進(jìn)行對(duì)比分析和精度比較。

2.1 第一組數(shù)據(jù)

原始觀測(cè)數(shù)據(jù)見表1。

表1 原始觀測(cè)數(shù)據(jù) mm

根據(jù)第一組原始觀測(cè)數(shù)據(jù)，利用傳統(tǒng)GM(1，1)模型和冪函數(shù)變換的GM(1，1)模型分別進(jìn)行擬合，可以得到如圖1、圖2所示的結(jié)果。

圖1 第一組兩種模型擬合結(jié)果

圖2 第一組兩種模型預(yù)報(bào)結(jié)果

根據(jù)兩種模型計(jì)算出的結(jié)果與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，可以得到如表2所示結(jié)果。

表2 第一組數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)精度對(duì)比

根據(jù)表2的誤差結(jié)果，可以得到如圖3(a)所示誤差變化趨勢(shì)，前10期數(shù)據(jù)中，傳統(tǒng)GM(1，1)模型和基于冪函數(shù)變換的GM(1，1)模型得出的擬合值相差不大；從第11期開始，基于冪函數(shù)變換改進(jìn)的GM(1，1)模型的精度較傳統(tǒng)GM(1，1)模型有明顯的提高。傳統(tǒng)GM(1，1)模型的計(jì)算值平均誤差為0.088 7 mm，預(yù)測(cè)中誤差為0.097 3 mm；基于冪函數(shù)變換的GM(1，1)模型計(jì)算值平均誤差為0.030 4 mm、預(yù)測(cè)中誤差為0.059 3 mm。相較于傳統(tǒng)GM(1，1)模型，改進(jìn)模型預(yù)測(cè)平均誤差僅有其34%，預(yù)測(cè)中誤差僅有其60%，預(yù)測(cè)誤差明顯降低。由圖3(b)可以看出，當(dāng)預(yù)測(cè)至30期數(shù)據(jù)時(shí)，改進(jìn)模型的預(yù)測(cè)值與原模型最大相差0.3 mm。

圖3 第一組模型誤差

2.2 第二組數(shù)據(jù)

原始觀測(cè)數(shù)據(jù)見表3。

表3 原始觀測(cè)數(shù)據(jù) mm

根據(jù)第二組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，利用傳統(tǒng)GM(1，1)模型和基于冪函數(shù)變換的GM(1，1)模型分別進(jìn)行擬合計(jì)算和預(yù)報(bào)計(jì)算，可以得到如圖4、圖5所示的結(jié)果。

圖4 第二組兩種模型擬合結(jié)果

圖5 第二組兩種模型預(yù)報(bào)結(jié)果

將兩種模型計(jì)算出的結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)(見表4)。

表4 第二組數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)精度對(duì)比

根據(jù)表4的誤差結(jié)果，可以得到如圖6(a)所示誤差變化趨勢(shì)。傳統(tǒng)GM(1，1)模型的計(jì)算值平均誤差為0.020 4 mm，預(yù)測(cè)中誤差為0.149 7 mm；基于冪函數(shù)變換的GM(1，1)模型計(jì)算值平均誤差為0.010 7 mm、預(yù)測(cè)中誤差為0.142 5 mm。由圖6(b)可以看出，針對(duì)第二組波動(dòng)較大的數(shù)據(jù)，相較于傳統(tǒng)GM(1，1)模型，改進(jìn)模型預(yù)測(cè)平均誤差僅有其52%，預(yù)測(cè)中誤差為原函數(shù)模型的95%，預(yù)測(cè)誤差明顯降低。由此可見，改進(jìn)模型適用性更好，預(yù)測(cè)精度更高。

圖6 第二組兩種模型的誤差

3 結(jié)論

(1)高速鐵路施工沉降監(jiān)測(cè)預(yù)報(bào)中，傳統(tǒng)GM(1，1)模型在擬合和預(yù)報(bào)方面具有其局限性，當(dāng)原始觀測(cè)值波動(dòng)較大時(shí)，會(huì)影響其預(yù)測(cè)精度。

(2)針對(duì)GM(1，1)模型擬合和預(yù)報(bào)時(shí)的不足，利用冪函數(shù)變換法將初始觀測(cè)序列進(jìn)行平滑處理，可提高GM(1，1)模型的擬合精度、預(yù)報(bào)精度。