基于CARMA 模型的動(dòng)力電池荷電狀態(tài)估計(jì)

黃玉莎，陳玉珊，秦琳琳，石 春，吳 剛

（中國科學(xué)技術(shù)大學(xué) 信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院，安徽 合肥 230026）

0 引言

鋰離子電池作為能量存儲(chǔ)部件，憑借其高效、環(huán)保等優(yōu)勢(shì)在電動(dòng)汽車行業(yè)被廣泛應(yīng)用[1]。電池自燃、碰撞后爆炸等安全性問題的發(fā)生也警示我們，鋰離子動(dòng)力電池及其管理技術(shù)尚未完全成熟[2]。準(zhǔn)確建立電池模型并估計(jì)荷電狀態(tài)(state of charge，SOC)，有利于了解電池剩余容量，實(shí)現(xiàn)電池的有效監(jiān)督和管理[3]；但由于電池的非線性時(shí)變特性，以及放電過程中電池內(nèi)部復(fù)雜的電化學(xué)反應(yīng)，SOC 無法直接被測(cè)量得到[4]。

SOC 通常被表示為電池剩余容量與當(dāng)前容量之比。常用的SOC 估計(jì)方法包括：

（1）安時(shí)積分法，即對(duì)電流積分得到電池充放電容量，結(jié)合初始SOC 計(jì)算當(dāng)前SOC，該方法簡單易行[5]，但由于采用開環(huán)預(yù)測(cè)，受初始SOC 及電流測(cè)量精度影響較大，易產(chǎn)生累積誤差。

（2）開路電壓法，即利用開路電壓（open circuit voltage，OCV）與SOC 之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，借助電池OCV 確定其SOC，不存在累積誤差和初值問題[6]?？紤]到在汽車實(shí)際行駛過程中無法通過長時(shí)間靜置得到電池OCV，多采用其他方法確定電池OCV，再結(jié)合開路電壓法計(jì)算電池SOC[7]。

（3）擴(kuò)展卡爾曼濾波法[8]或無跡卡爾曼濾波法等。該方法多取OCV 或SOC 作為狀態(tài)變量之一，控制變量為可測(cè)的電池端電壓，算法的準(zhǔn)確性受電池模型及初值選取影響較大，但閉環(huán)的卡爾曼濾波算法可以通過端電壓測(cè)量值與預(yù)測(cè)值的差值變化反饋調(diào)節(jié)SOC估計(jì)誤差，不存在累積誤差。

（4）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法。該方法多以電池電壓、電流和溫度作為輸入層，輸出層為電池SOC，大量數(shù)據(jù)訓(xùn)練后估算較為準(zhǔn)確[9]，但訓(xùn)練過程對(duì)計(jì)算機(jī)性能要求較高，僅利用整車上單片機(jī)來實(shí)現(xiàn)較為困難。

本文基于馬里蘭大學(xué)三元石墨鋰電池單體實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，考慮到OCV-SOC 曲線在SOC 低、中、高區(qū)間會(huì)呈現(xiàn)不同變化趨勢(shì)，為提高建模精度、降低模型階次，分段建立OCV-SOC 模型；為確定電池OCV，假設(shè)擾動(dòng)為平穩(wěn)隨機(jī)過程，建立電池受控自回歸滑動(dòng)平均模型(controlled auto-regressive moving average，CARMA)，推導(dǎo)得到OCV 最優(yōu)估計(jì)值，并將其代入OCV-SOC 模型以實(shí)現(xiàn)電池SOC 估計(jì)。

1 動(dòng)力電池建模與參數(shù)辨識(shí)

本文所進(jìn)行的動(dòng)力電池建模分為非線性靜態(tài)環(huán)節(jié)建模和動(dòng)態(tài)環(huán)節(jié)建模，即分別建立電池OCV-SOC 分段模型和CARMA 模型。

1.1 OCV-SOC 分段模型

低電流OCV 測(cè)試和增量OCV 測(cè)試是確定電池OCV-SOC 靜態(tài)非線性關(guān)系較為常用的方法。鄭方丹等人的研究進(jìn)一步表明，基于增量OCV 測(cè)試預(yù)先確定OCV 和SOC 之間的關(guān)系，在進(jìn)行SOC 在線估算時(shí)具有更高的估算精度[10]。據(jù)此，本文采用25 ℃下增量OCV 測(cè)試數(shù)據(jù)建立電池OCV-SOC 模型，利用試驗(yàn)過程中充、放電電量計(jì)算得到電池SOC，并認(rèn)為靜置2 h 后電池的端電壓為該SOC 下的OCV；同時(shí)，為降低充放電曲線之間滯后效應(yīng)的影響，取充放電過程中同等SOC處的OCV 平均值為開路電壓值，利用Matlab 擬合得到圖1 所示3 條OCV-SOC 曲線。

綜合建模精度以及SOC 估計(jì)效果，本文根據(jù)放電 過 程OCV(voc)和SOC 數(shù) 據(jù)，按0＜SOC≤0.2、0.2＜SOC≤0.6、 0.6＜SOC≤1 分成3 個(gè)不同區(qū)間；利用Matlab 中polyfit 命令進(jìn)行多項(xiàng)式擬合，得到OCVSOC 分段模型，具體如式（1）所示。為方便擬合，本文取voc1=voc-3。

圖1 OCV-SOC 曲線Fig.1 OCV-SOC curves

OCV-SOC 分段模型的擬合效果及其誤差如圖2所示，圖中虛線表示模型分段點(diǎn)。在各OCV 點(diǎn)，估計(jì)SOC 的最大絕對(duì)誤差為1.97%，誤差平均值為-0.012%，均方根誤差（root mean square error，RMSE）為0.72%；未分段建模情況下，模型最高階次需達(dá)到7 次，才能實(shí)現(xiàn)各OCV 點(diǎn)處SOC 的最大絕對(duì)誤差為1.91%，RMSE 為0.94%。分段建模在保證建模精度的同時(shí)有效降低了模型階次。

圖2 OCV-SOC 分段模型擬合效果與誤差Fig.2 Fitting effect and error of the OCV-SOC segmentation model

1.2 CARMA 模型

常用的電池模型中，由于電動(dòng)汽車上單片機(jī)性能限制，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型較少被用于整車的電池SOC 估計(jì)；電化學(xué)模型能夠比較準(zhǔn)確而具體地描述電池內(nèi)部的反應(yīng)機(jī)理，但涉及耦合的時(shí)變偏微分方程，計(jì)算過程復(fù)雜且參數(shù)難以被辨識(shí)，更多用于電池設(shè)計(jì)；等效電路模型用電壓源、電阻和電容等描述電池的電性能，雖然無法反應(yīng)電池作用機(jī)理，但模型簡單直觀、參數(shù)易于辨識(shí)，適用于電池SOC 估計(jì)。何洪文等為鋰離子電池構(gòu)建不同階RC 網(wǎng)絡(luò)模型，仿真結(jié)果表明，利用一階和二階RC網(wǎng)絡(luò)建立電池等效電路模型，在估計(jì)電池SOC 時(shí)可以更好地追蹤真實(shí)值，其中二階RC 等效電路模型的精度更高[11]。綜合考慮模型精度和計(jì)算能力，本文選用如圖3 所示的二階RC 等效電路模型，圖中R0為歐姆內(nèi)阻，R1和R2為極化電阻，C1和C2為極化電容，I(t)表示t時(shí)刻端電流，x(t)和x′(t)分別表示t時(shí)刻R1C1和R2C2兩端的電壓，v(t)表示t時(shí)刻電池開路電壓，u(t)表示t時(shí)刻端電壓。

圖3 二階RC 等效電路模型Fig.3 Second-order RC equivalent circuit model

建立電池連續(xù)時(shí)間模型：

利用零階保持器離散化并假設(shè)系統(tǒng)存在一階純滯后，得到離散時(shí)間模型：

用q-1表示一步平移算子，簡化式（3）得到

式中：θ1=α1+α2；θ2=α1α2；θ3=R0；θ4=R1+R2-R1α1-R2α2-R0α1-R0α2；θ5=(R0+R1+R2)α1α2-R1α2-R2α1。

假設(shè)擾動(dòng)平穩(wěn)且具有有理譜密度，擾動(dòng)通道的極點(diǎn)多項(xiàng)式與過程通道相同，令zk=vk-uk-1，得到式（5）所示電池CARMA 模型：

式中：{ξk}——同方差、獨(dú)立（至少為不相關(guān)）、零均值的隨機(jī)變量序列。

1.3 漸消記憶遞推最小二乘法參數(shù)辨識(shí)

為解決傳統(tǒng)遞推最小二乘法的數(shù)據(jù)飽和問題，本文采用遺忘因子來減少舊數(shù)據(jù)所占權(quán)重，同時(shí)提高新數(shù)據(jù)比重；在每個(gè)采樣間隔，基于當(dāng)前的測(cè)量值更新參數(shù)估計(jì)值。漸消記憶遞推最小二乘法具體實(shí)現(xiàn)過程如下：

式中：k——時(shí)刻；φ——觀測(cè)向量；——參數(shù)向量；e——模型殘差；K——增益矩陣；P——誤差的協(xié)方差矩陣；λ——遺忘因子，多取0.95 ≤λ≤1 ，λ越小，新數(shù)據(jù)在參數(shù)修正過程中所占權(quán)重越高，能更好地追蹤參數(shù)變化，但同時(shí)受噪聲影響大，參數(shù)估計(jì)波動(dòng)較大。

實(shí)驗(yàn)過程中，由于采樣周期足夠小，電池放電能力有限，SOC 變化足夠小，對(duì)應(yīng)的開路電壓變化很小，可以假設(shè)Δvk=vk-vk-1=0[11]，將其代入CARMA 模型，得到

辨識(shí)過程中取

式中：θ6k=(1-θ1k+θ2k)vk。

2 電池SOC 估計(jì)算法

要實(shí)現(xiàn)電池SOC 估計(jì)，首先應(yīng)推導(dǎo)得到電池OCV 的最優(yōu)估計(jì)表達(dá)式?；谑剑?）所示電池CARMA 模型，結(jié)合廣義預(yù)測(cè)控制相關(guān)知識(shí)，推導(dǎo)得到電池OCV 表達(dá)式[12]：

式中：G1(q-1)=θ3+θ4q-1+θ5q-2；F1(q-1)=θ1-θ2q-1。

以開路電壓估計(jì)誤差均值為零、方差最小為最優(yōu)標(biāo)準(zhǔn)，推導(dǎo)電池OCV 最優(yōu)估計(jì)表達(dá)式。用表示OCV 最優(yōu)估計(jì)值，表示估計(jì)誤差，具體過程如下[13]：

（1）OCV 誤差均值為零

式 中，E(ζk)=0， 要 使， 當(dāng) 且 僅 當(dāng)，即。

（2）OCV 誤差方差最小

令E(ζk)2=σ2，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，OCV 估計(jì)誤差方差最小。此時(shí)，得到OCV 最優(yōu)估計(jì)表達(dá)式為

將實(shí)時(shí)辨識(shí)得到的k時(shí)刻各參數(shù)代入式（16），得到；結(jié)合建立的OCV-SOC 分段模型，計(jì)算出k時(shí)刻的SOC 值。重復(fù)該過程，遞推得到下一時(shí)刻的SOC 值，實(shí)現(xiàn)基于CARMA 模型的SOC 估計(jì)。

3 試驗(yàn)與仿真

通過Matlab 仿真試驗(yàn)來驗(yàn)證本文提出的電池CARMA 模型及基于此模型的SOC 估計(jì)算法的準(zhǔn)確性。

3.1 試驗(yàn)數(shù)據(jù)說明

本文仿真過程中使用數(shù)據(jù)來自馬里蘭大學(xué)先進(jìn)壽命周期工程中心（center for advanced life cycle engineering，CALCE）電池公開數(shù)據(jù)集，選用圓柱形三元石墨鋰電池INR 18650-20R 型電池單體試驗(yàn)數(shù)據(jù)：電池額定容量為2 000 mAh；充、放電截止電壓分別為4.2 V和2.5 V；直徑為18.33±0.77 mm，長度為64.85 ±0.15 mm；質(zhì)量為45.0 g。本文主要選用25 ℃下美國聯(lián)邦城市運(yùn)行工況（The federal urban driving schedule，F(xiàn)UDS）[14]數(shù)據(jù)辨識(shí)電池CARMA 模型參數(shù)，并實(shí)現(xiàn)電池SOC 仿真估計(jì)。FUDS 作為城市駕駛車輛實(shí)際行駛工況的常用模擬，多年來一直被應(yīng)用于電動(dòng)汽車性能測(cè)試。FUDS 工況一個(gè)完整周期為1 372 s，相應(yīng)的電流變化如圖4 所示，整個(gè)實(shí)驗(yàn)過程中電池端電壓、電流變化如圖5 所示。

圖4 FUDS 工況單周期電流變化Fig.4 Single-cycle current variation under the FUDS conditions

圖5 FUDS 工況循環(huán)電壓、電流變化Fig.5 Voltage and current variation under the FUDS conditions

3.2 CARMA 模型參數(shù)辨識(shí)及驗(yàn)證分析

用Matlab 實(shí)現(xiàn)電池參數(shù)辨識(shí)時(shí)，給定參數(shù)初始值λ=0.99，P(0)=105×I，I為6階單位矩陣。按式（6）～式（9）進(jìn)行辨識(shí)，得到FUDS 工況下各模型參數(shù)，具體如圖6所示。

圖6 CARMA 模型參數(shù)辨識(shí)結(jié)果Fig.6 Parameter identification results of the CARMA model

將辨識(shí)得到的參數(shù)代入式（17），估計(jì)電池端電壓以驗(yàn)證模型準(zhǔn)確性，得到模型輸出端電壓相比FUDS 工況下電池實(shí)際端電壓誤差，如圖7 所示。

考慮到放電到最后時(shí)模型參數(shù)變化較為劇烈而導(dǎo)致辨識(shí)不準(zhǔn)確，模型端電壓誤差曲線只給出前10 000個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，此時(shí)SOC 為6%。由圖7 可以看出，端電壓估計(jì)誤差總體集中在±2 mV 之間，誤差平均值為0.153 5 mV, RMSE 為0.594 8 mV，平均絕對(duì)誤差（mean absolute error，MAE）為0.368 3 mV，與鄭方丹等人研究得到的MAE 為0.291 mV 的結(jié)果所差無幾[10]，較為準(zhǔn)確地估計(jì)出電池端電壓。因此所建立的電池CARMA模型可以被作為試驗(yàn)所用電池的等效模型。

圖7 CARMA 模型輸出端電壓誤差Fig.7 Output voltage errors of the CARMA model

3.3 電池SOC 估計(jì)算法仿真驗(yàn)證

FUDS 工況循環(huán)試驗(yàn)過程中，SOC 初始值為0.8?？紤]到SOC 值小于0.2 時(shí)，模型參數(shù)辨識(shí)不準(zhǔn)確，會(huì)導(dǎo)致OCV 估計(jì)值存在較大誤差，此時(shí)基于CARMA 模型的SOC 估計(jì)方法不再適用。為此，本文在SOC 值小于0.2 時(shí)，使用安時(shí)積分法繼續(xù)估計(jì)電池SOC，得到FUDS 工況下SOC 估計(jì)值及誤差如圖8 所示。

圖8 FUDS 工況下SOC 估計(jì)結(jié)果Fig.8 SOC estimation results under the FUDS conditions

分析SOC 估計(jì)結(jié)果可知，誤差曲線的多個(gè)尖峰出現(xiàn)在電流值突變時(shí)，此時(shí)極化電阻劇烈變化，模型參數(shù)辨識(shí)不準(zhǔn)確，造成較大的SOC 估計(jì)誤差。SOC 估計(jì)的最大絕對(duì)誤差為2.39%，誤差平均值為-0.50%，RMSE為0.93%。可見，誤差在可接受范圍±5%之內(nèi)。

4 結(jié)語

本文主要工作圍繞電池建模及其SOC 估計(jì)展開，基于馬里蘭大學(xué)CALCE 三元石墨鋰電池試驗(yàn)數(shù)據(jù)建立電池CARMA 模型，據(jù)此估計(jì)電池OCV，并結(jié)合OCVSOC 分段模型，實(shí)現(xiàn)電池參數(shù)的實(shí)時(shí)辨識(shí)以及電池SOC 的實(shí)時(shí)估計(jì)。

相較于簡單的安時(shí)積分法，本文提出的基于CARMA 模型估計(jì)SOC 的算法準(zhǔn)確度更高，且不會(huì)產(chǎn)生累積誤差；相較于目前研究較多的卡爾曼濾波算法，本文提出的方法雖然在精確度上略有不足，但該法不涉及矩陣的大量迭代運(yùn)算，運(yùn)行速度更快，對(duì)計(jì)算能力要求較低，估計(jì)電池SOC 時(shí)不存在給定初值問題,適合汽車電池管理系統(tǒng)在線估計(jì)電池SOC；另外，與模型參數(shù)固定的常規(guī)卡爾曼濾波算法不同，采用本算法可實(shí)現(xiàn)模型參數(shù)在線實(shí)時(shí)辨識(shí)，對(duì)電池老化以及更換不同種類電池情況的適應(yīng)性更好。

由于該SOC 估計(jì)算法中結(jié)合了開路電壓法，在SOC-OCV曲線存在較為平緩平臺(tái)時(shí)，該算法失效。此外，本文所用數(shù)據(jù)為25 ℃環(huán)境溫度下試驗(yàn)得到，而實(shí)際電池性能受溫度影響較大，后續(xù)可以就溫度對(duì)電池SOC的影響做進(jìn)一步研究。