二階線性自抗擾控制系統(tǒng)的內(nèi)部穩(wěn)定性

金輝宇，朱子毅， 蘭維瑤

（廈門大學(xué) 航空航天學(xué)院，福建 廈門 361102）

0 引言

韓京清研究員提出的自抗擾控制（active disturbance rejection control， ADRC）[1-3]是中國學(xué)者對(duì)控制科學(xué)的原創(chuàng)性貢獻(xiàn)，其繼承了錢學(xué)森“內(nèi)擾（internal disturbance） ”的觀點(diǎn)，將對(duì)象數(shù)學(xué)模型和對(duì)象本身之間的差異看作內(nèi)擾，與外擾(external disturbance)相對(duì)應(yīng)，同時(shí)內(nèi)擾和外擾又共同組成總擾動(dòng)（total disturbance）。 ADRC 建立擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器（extended state observer， ESO） 以實(shí)時(shí)估計(jì)總擾動(dòng)，再用反饋加以補(bǔ)償。ADRC 這種統(tǒng)一處理內(nèi)、外擾的方法，使其在克服對(duì)象不確定性和擾動(dòng)抑制方面具有獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)，不僅通用性好、不依賴模型、參數(shù)整定方便，而且易于獲得優(yōu)異的穩(wěn)態(tài)和暫態(tài)性能。因此，21 世紀(jì)以來，ADRC被成功應(yīng)用于機(jī)電系統(tǒng)、飛行控制及化工過程控制等領(lǐng)域[4-6]，受到控制界工程師們的歡迎。

總擾動(dòng)這一概念向理論研究提出一系列新課題，其中之一是總擾動(dòng)和穩(wěn)定性之間的關(guān)系。目前的研究常假設(shè)總擾動(dòng)有界[7-9]，但從穩(wěn)定性理論的角度來看，這一假設(shè)的合理性和必要性都值得商榷?？倲_動(dòng)有界是指內(nèi)擾和外擾均有界。假設(shè)內(nèi)擾有界不合理，因?yàn)閮?nèi)擾可能會(huì)破壞控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性，失去穩(wěn)定性后內(nèi)擾自身會(huì)發(fā)散，而假設(shè)內(nèi)擾有界就排除了發(fā)散的可能，導(dǎo)致穩(wěn)定性證明接近循環(huán)論證；但假設(shè)外擾有界很多時(shí)候又不必要，因?yàn)閷?duì)于線性時(shí)不變（linear time-invariant， LTI）系統(tǒng)這樣的典型情況，外擾不會(huì)影響穩(wěn)定性。從總擾動(dòng)有界這樣的假設(shè)出發(fā)，很難得到簡(jiǎn)潔有力的穩(wěn)定性結(jié)論，不利于解釋ADRC 在工程實(shí)踐中的通用性和魯棒性，從而影響ADRC 的進(jìn)一步推廣應(yīng)用，因此有必要進(jìn)一步研究總擾動(dòng)和穩(wěn)定性的關(guān)系。

既然內(nèi)擾和外擾對(duì)穩(wěn)定性的影響存在較大差別，那么不妨對(duì)其分別進(jìn)行研究。本文基于這一思路研究了線性自抗擾控制（linear ADRC，LADRC）[10]的穩(wěn)定性。針對(duì)二階LADRC 控制二階LTI 對(duì)象且外擾為加性這一簡(jiǎn)單而典型的情況，首先選用內(nèi)部穩(wěn)定性作為穩(wěn)定性的定義，內(nèi)部穩(wěn)定性被廣泛應(yīng)用于魯棒控制[11-12]，是加強(qiáng)的有界輸入有界輸出（bounded-input-bounded-output，BIBO）穩(wěn)定性，且在一定條件下等價(jià)于李雅普諾夫指數(shù)穩(wěn)定；然后，在時(shí)域找到了LADRC 系統(tǒng)內(nèi)部穩(wěn)定的一個(gè)充要條件，該條件與對(duì)象的不確定參數(shù)有關(guān)、與外擾無關(guān)，也不限制內(nèi)擾的大小，于是LADRC 的穩(wěn)定性既不需要內(nèi)擾有界，也不需要外擾有界。

1 二階LADRC 的問題描述

LADRC 的問題設(shè)定有多種形式，本文主要考慮基本而典型的二階LADRC。設(shè)有線性二階單輸入單輸出(single-input-single -output， SISO)對(duì)象為

式中：u——對(duì)象的輸入；y——對(duì)象的輸出；w——對(duì)象的外擾；a1,a2——系數(shù)，其值未知；b——正的輸入增益，其值未知，但是有標(biāo)稱值b0＞0。

二階LADRC 的問題是設(shè)計(jì)反饋控制器，使得y跟蹤參考輸入信號(hào)r。用標(biāo)稱值b0代替真值b，并定義總擾動(dòng)為；然后，引入狀態(tài)變量x1=y，x2=和擴(kuò)張狀態(tài)x3=f，則式（1）可被改寫為

再為式（2）和式（3）建立線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器(linear extended state observer， LESO)：

式中：β1,β2,β3——待定系數(shù)。

最后，以LESO 的輸出構(gòu)成控制器，其中系數(shù)l1和l2待定：

這樣，被控對(duì)象、LESO和控制器，見式（2）～式（5），就組成了一個(gè)LADRC 系統(tǒng)。

2 內(nèi)部穩(wěn)定性及其充要條件

其中：

于是，由式（2）～式（5） 組成的LADRC 系統(tǒng)是一個(gè)兩輸入一輸出的LTI 系統(tǒng)，其輸入分別為r和w，輸出為y。下面分析該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。考慮到穩(wěn)定性有多種定義，本文選擇內(nèi)部穩(wěn)定性作為穩(wěn)定性的主要定義，這一定義被廣泛應(yīng)用于魯棒控制中[11-12]。

定義1如果一個(gè)系統(tǒng)其組成部分都不含有不穩(wěn)定的隱模態(tài)，并且在由系統(tǒng)任何地方加入的有界外部信號(hào)的作用下，在系統(tǒng)任何地方量測(cè)到的輸出均為有界，則稱該系統(tǒng)是內(nèi)部穩(wěn)定的[11]。

引理1 和引理2 給出了內(nèi)部穩(wěn)定的充要條件。

引理1考慮線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，見式（6），其中z∈Rn，v∈Rm， 而A, B分別是（n×n）和（n×m）的常矩陣，則系統(tǒng)內(nèi)部穩(wěn)定的充要條件是其所有的極點(diǎn)都在開左半平面。

證明：見文獻(xiàn)[11]中定理4.3 ，內(nèi)部穩(wěn)定性與有界輸入有界輸出（bounded-input-bounded-output， BIBO）穩(wěn)定性、李雅普諾夫穩(wěn)定性等概念存在密切的聯(lián)系。

定義2如果對(duì)任意一個(gè)有界輸入，其對(duì)應(yīng)的輸出均為有界，則稱該系統(tǒng)是BIBO 穩(wěn)定的[13]。

由定義2 可知，內(nèi)部穩(wěn)定性是加強(qiáng)的BIBO 穩(wěn)定性。對(duì)于LTI 系統(tǒng)，內(nèi)部穩(wěn)定等價(jià)于無輸入時(shí)平衡點(diǎn)的李雅普諾夫指數(shù)穩(wěn)定。下面對(duì)此進(jìn)行討論。

考慮式（6）所示系統(tǒng)，當(dāng)v=0 時(shí)， 其退化為

此時(shí)其有平衡點(diǎn)z=0。

定義3如果存在C≥1 和λ＞0， 使得對(duì)于式（7）的任意一個(gè)解z(t)都有|z(t)|＜C|z(0)|e-λt，則稱系統(tǒng)是李雅普諾夫指數(shù)穩(wěn)定的。

引理2對(duì)于式（6）所示線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，其內(nèi)部穩(wěn)定當(dāng)且僅當(dāng)其無輸入系統(tǒng)的李雅普諾夫指數(shù)穩(wěn)定。

證明：由文獻(xiàn)[14]中定理4.5 可知，對(duì)無輸入系統(tǒng)，即式（7），李雅普諾夫指數(shù)穩(wěn)定的充要條件是矩陣A的特征值都在開左半平面，而矩陣A的特征值也就是式（6）所示系統(tǒng)的極點(diǎn)。于是由引理1 和引理2 得證。

現(xiàn)在我們給出本文的主定理。

定理1由式（2）～式（5）組成的LADRC 系統(tǒng)，其內(nèi)部穩(wěn)定性與參數(shù)a1,a2和b有關(guān)，而與外擾w無關(guān)。

證明：由引理1 可知，上述LADRC 系統(tǒng)內(nèi)部穩(wěn)定的充要條件是式（7）定義的矩陣A的所有特征值都在開左半平面；而矩陣A與參數(shù)a1,a2,b有關(guān)，與外擾w無關(guān)，于是得證。

定理1 澄清了二階LADRC 系統(tǒng)穩(wěn)定性與總擾動(dòng)之間的關(guān)系，相比文獻(xiàn)[7-9]把“總擾動(dòng)有界”作為L(zhǎng)ADRC 系統(tǒng)穩(wěn)定的假設(shè)條件，有以下改進(jìn)：

（1）如前所述，假設(shè)“總擾動(dòng)有界”存在不合理和不必要的問題，而定理1 解決了這個(gè)問題；

（2）定理1 適用于不能保證總擾動(dòng)有界的情況，提升了理論的解釋和指導(dǎo)能力；

（3）定理1 指出，只要保證式（7）中矩陣A的特征值都在開左半平面，就能保證二階LADRC 系統(tǒng)穩(wěn)定，這比保證總擾動(dòng)有界更容易，尤其是在系統(tǒng)初始狀態(tài)未知的情況下。第3 節(jié)的算例將說明這一點(diǎn)。

3 數(shù)值算例

考慮不穩(wěn)定二階對(duì)象：

設(shè)有b0=1，將式（8）改寫為狀態(tài)空間形式：

基于式（9）～式（10）， 分別按照式（4）和式（5）構(gòu)建LESO 和控制器，并用“帶寬法”[10]調(diào)參，得到l1=2，l2=1；β1=45，β2=675，β3=3 375。

整個(gè)LADRC 系統(tǒng)如式（6）所示，其中

矩陣A有5 個(gè)特征值，分別為p1=-0.79，p2=-14.29，p3=-21.54，p4=-3.69+1.73j；p5=-3.69-1.73j，其均在左半平面。于是由引理1 可知，LADRC 系統(tǒng)是穩(wěn)定的。由定理1 可知，系統(tǒng)的穩(wěn)定性與外擾無關(guān)。

考慮外擾和內(nèi)擾，式（6）的解為

故對(duì)外擾w的要求是：能和參考輸入r一起保證式（11）對(duì)任意都有意義。進(jìn)一步分析可知，只要w的拉普拉斯變換存在，就能滿足上述要求，而w及其各階導(dǎo)數(shù)都不必有界。取，其中n1和T是待定的兩個(gè)常數(shù)。顯然，w的拉氏變換存在，而只要取足夠大的n1，就能構(gòu)造出w，使得w和其導(dǎo)數(shù)都大于任一給定值。

另一方面，令Cin=[2, 3, -0.2, -0.4, -0.2]，則LADRC系統(tǒng)的內(nèi)擾為

于是有|din(0)|=|Cinz(0)+0.2r|≥2|x1(0)|-0.2|r|=2|y(0)|-0.2|r|。因此，只要y(0)足夠大，則初始時(shí)刻的內(nèi)擾可以大于任何給定的界?？梢?，y(0)未知時(shí)，無法保證內(nèi)擾和總擾動(dòng)有界。

現(xiàn)在用Matlab 進(jìn)行數(shù)值求解。令z(0)=[5, 0, 0, 0, 0],T=10，n1=50，參考輸入r是單位階躍信號(hào)。定義LESO的誤差為，其中i=1, 2, 3。求解結(jié)果如圖1 和圖2所示?？梢钥闯觯琇ADRC 系統(tǒng)確實(shí)穩(wěn)定，能克服初始誤差，準(zhǔn)確估計(jì)x1,x2,x3；而LADRC 系統(tǒng)能克服外擾w的躍動(dòng)，保證x1無差跟蹤r。

圖1 LADRC 的控制效果Fig.1 Control effect of LADRC

圖2 LESO 的誤差Fig.2 Errors of LESO

4 結(jié)語

本文針對(duì)二階LTI 對(duì)象和加性外擾的情況，研究了二階LADRC 系統(tǒng)的內(nèi)部穩(wěn)定性問題。理論推導(dǎo)和數(shù)值算例結(jié)果都表明，上述LADRC 系統(tǒng)的穩(wěn)定性與對(duì)象的參數(shù)有關(guān)，而與內(nèi)擾、外擾是否有界無關(guān)。于是，可以刪去目前常見的“總擾動(dòng)有界”這一假設(shè)， 擴(kuò)大LADRC 穩(wěn)定性理論的適用范圍。將式（7）中矩陣A替換為高階LADRC 的對(duì)應(yīng)矩陣后，上述結(jié)果可以推廣到更高階的LADRC 系統(tǒng)。

致謝：

感謝黃一研究員，她在長(zhǎng)沙“2019 自抗擾控制交流會(huì)”上指出，“總擾動(dòng)有界”不適合作為自抗擾控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的假設(shè)條件，這直接啟發(fā)了本文的構(gòu)思與寫作。