雙層結(jié)構(gòu)模型預(yù)測控制穩(wěn)態(tài)優(yōu)化層QP 與LP 求解模態(tài)分析

王洪瑞 ，張 鑫 ，劉博文 ，藺 娜，鄒 濤

（1.中國科學(xué)院 網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)重點實驗室，遼寧 沈陽 110016；2.中國科學(xué)院 沈陽自動化研究所，遼寧 沈陽 110016；3.中國科學(xué)院 機(jī)器人與智能制造創(chuàng)新研究院，遼寧 沈陽 110169；4.中國科學(xué)院大學(xué)，北京 100049；5.國家科技風(fēng)險開發(fā)事業(yè)中心，北京 100038；6.廣州大學(xué)，廣東 廣州 510006）

0 引言

模型預(yù)測控制算法（model predictive control ，MPC）能有效地處理約束、多變量、耦合和純滯后問題，已經(jīng)在流程工業(yè)中得到了廣泛應(yīng)用[1-3]，在學(xué)術(shù)上也得到了深入的研究[4-8]，但理論研究與工程應(yīng)用的銜接不夠緊密，不能很好地相互促進(jìn)。本文將研究其中兩方面的問題：一是軟件開發(fā)尚存在標(biāo)準(zhǔn)化及計算機(jī)求解方面的問題，由于MPC 軟件價格昂貴，很多企業(yè)難以接受，因此企業(yè)或面向工程的研究人員自主開發(fā)MPC軟件的需求較大，而軟件開發(fā)要求MPC 具有通用、標(biāo)準(zhǔn)化、能夠利用計算機(jī)求解的描述，從當(dāng)前公開的理論研究成果來看尚無這方面內(nèi)容；二是工程應(yīng)用中如何配置MPC 的參數(shù)問題，很多先進(jìn)過程控制（advanced process control，APC）工程師采用試錯法調(diào)試參數(shù)，效果差、效率低，例如商業(yè)軟件都提供線性規(guī)劃(linear programming, LP)和二次規(guī)劃(quadratic programming,QP)兩種求解選項，但在選擇求解方法以及各方法對控制性能的影響分析方面沒有很好的理論指導(dǎo)。

目前工業(yè)應(yīng)用中主流MPC 采用集成穩(wěn)態(tài)優(yōu)化與動態(tài)控制的雙層結(jié)構(gòu)MPC，它在常規(guī)MPC 動態(tài)控制層之上增加穩(wěn)態(tài)優(yōu)化層，可計算存在過程約束時可行的動態(tài)控制層的設(shè)定值[9-12]。為保證工業(yè)過程中每個優(yōu)化控制周期內(nèi)MPC 都能給出合理的優(yōu)化值，穩(wěn)態(tài)優(yōu)化層采用兩階段法：第一階段進(jìn)行可行解判定及軟約束調(diào)整，保證存在可行空間；第二階段在可行空間內(nèi)進(jìn)行經(jīng)濟(jì)優(yōu)化。穩(wěn)態(tài)優(yōu)化的兩個階段最終都可轉(zhuǎn)化為一系列LP 或QP 問題，進(jìn)而利用成熟的LP 或QP 求解算法進(jìn)行求解。

本文基于MPC 已有研究成果及工程應(yīng)用中存在的問題，研究雙層MPC 穩(wěn)態(tài)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為LP 或QP 問題的標(biāo)準(zhǔn)化流程[13]，并進(jìn)一步分析穩(wěn)態(tài)優(yōu)化LP 與QP解的空間特性[14]，給出LP 與QP 選擇依據(jù)，為雙層MPC 的軟件開發(fā)及工程應(yīng)用提供理論支撐。

1 兩階段穩(wěn)態(tài)優(yōu)化算法標(biāo)準(zhǔn)化

穩(wěn)態(tài)優(yōu)化算法中的每個階段都是求解有約束數(shù)學(xué)規(guī)劃問題，即在滿足約束條件的前提下最小化目標(biāo)函數(shù)。按照在優(yōu)化過程中的滿足情況，其約束條件可分為硬約束（必須滿足）和基于優(yōu)先級的軟約束（可以不滿足，按照優(yōu)先級進(jìn)行放松）[15-17]。為了提高計算效率，一般根據(jù)操作變量（manipulated variable，MV）與被控變量（controlled variable，CV）間的關(guān)系將控制器分為幾個獨立的子控制器，各個子控制器間的CV 不存在耦合關(guān)系。本節(jié)研究基于優(yōu)先級的兩階段穩(wěn)態(tài)優(yōu)化算法的標(biāo)準(zhǔn)化過程，研究對象為子控制器。

1.1 約束條件標(biāo)準(zhǔn)化

通過對邊界條件加極小值解決數(shù)值截斷誤差造成的優(yōu)化不可行問題，對原始約束條件進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化描述，并基于優(yōu)先級對其進(jìn)行排序。

1.1.1 約束條件原始形式

設(shè)被控對象MV 個數(shù)為m，CV 個數(shù)為n。CV 分為穩(wěn)定型與積分型兩種類型，設(shè)穩(wěn)定型CV 個數(shù)為ns，積分型CV 個數(shù)為nr，則ns+nr=n。

（1）硬約束

MV 上下限約束：

MV 增量約束：

（2）軟約束

MV 設(shè)定值約束：

穩(wěn)定型CV 上下限約束：

穩(wěn)定型CV 增量約束：

穩(wěn)定型CV 設(shè)定值約束：

積分型CV 斜率控制范圍：

積分型CV 斜率安全范圍：

式中：ULL——MV 操作下限，m維向量；UHL——MV操作上限，m維向量；+ΔUSS——MV 穩(wěn)態(tài)增量，m維向量；U(k)——MV 當(dāng)前值，m維向量；ΔUmax——MV最大增量，m維向量；USP——MV 設(shè)定值，m維向量；USPRange——MV 設(shè)定值范圍，m維向量；YLL——CV 操作下限，ns維向量；YHL——CV 操作上限，ns維向量；YSSOpen(k)——CV 開環(huán)穩(wěn)態(tài)值，ns維向量；GU,S——穩(wěn)定型CV 增益矩陣，ns×m維矩陣；GU,R——積分型CV 斜率矩陣，nr×m維矩陣；ΔYmax——CV最大增量，ns維向量；YSP——CV 設(shè)定值，ns維向量；YSPRange——CV 設(shè)定值范圍，ns維向量；——積分型CV 開環(huán)穩(wěn)態(tài)斜率，nr維向量；——積分型CV 斜率控制精度，nr維向量；——積分型CV 斜率安全范圍，nr維向量。

1.1.2 約束條件標(biāo)準(zhǔn)形式

MPC 一般采用內(nèi)點算法（IPOPT）求解[18-20]，需將約束條件轉(zhuǎn)化為A×ΔUSS≤B的標(biāo)準(zhǔn)形式。其中：

式（9）中的軟約束并不是都存在的，某個MV 或CV 的設(shè)定值約束是否存在由設(shè)定值開關(guān)決定，至于是穩(wěn)定型CV 約束還是積分型CV 約束，則由相應(yīng)的CV類型決定。

1.1.3 基于優(yōu)先級的約束排序

硬約束個數(shù)為2m，軟約束的個數(shù)設(shè)為Nc，約束矩陣A及約束邊界B按照硬約束及軟約束分塊表示為

式中：下標(biāo)h 代表硬約束邊界；s 代表軟約束邊界。

每個軟約束設(shè)置優(yōu)先級R和放松權(quán)重W，分別表示為列向量：

設(shè)共有Nr個不同的優(yōu)先級，從高到低排列，各個優(yōu)先級的約束個數(shù)排列成列向量NR：

按照優(yōu)先級從高到低將軟約束進(jìn)行重新排序，得到新的約束矩陣、約束邊界、優(yōu)先級向量、權(quán)重向量：

1.2 基于優(yōu)先級的軟約束松弛

設(shè)松弛變量為列向量ε，按照不同優(yōu)先級表示為分塊向量：

按照優(yōu)先級進(jìn)行約束松弛，每個優(yōu)先級松弛問題形成一個LP 或QP 問題，依次進(jìn)行求解；每個優(yōu)先級的松弛變量值在下一個優(yōu)先級的求解中被固定，將高優(yōu)先級軟約束作為低優(yōu)先級松弛問題中的硬約束。

由于采用計算機(jī)求解，數(shù)值求解過程存在截斷誤差，則高優(yōu)先級松弛變量固化后由于截斷誤差可能造成低優(yōu)先級松弛問題不可行。為避免此問題，提出在構(gòu)造低優(yōu)先級松弛問題時，將上一優(yōu)先級的松弛變量加上一個極小值δ（δ與ε同維，且分塊方式相同），該值可等于設(shè)定的數(shù)值求解精度。求解過程描述如下：

（1）優(yōu)先級最高的約束松弛問題

目標(biāo)函數(shù)：

約束條件：

其中，JLP表示線性型目標(biāo)函數(shù)，JQP表示二次型目標(biāo)函數(shù)，下文定義與此一致。

（2）優(yōu)先級為i(i=1, 2, …,Nr)的約束松弛問題

目標(biāo)函數(shù)：

約束條件：

1.3 經(jīng)濟(jì)優(yōu)化

軟約束松弛結(jié)束后可進(jìn)一步執(zhí)行經(jīng)濟(jì)優(yōu)化，決策變量為各個MV 的增量，可分為代價變量和最小移動變量兩種類型。設(shè)代價變量為v個，則最小移動變量為(m-v)個，排列前面v個為代價變量，后面的為最小移動變量。優(yōu)化問題由目標(biāo)函數(shù)及約束條件兩部分描述，下面分別從這兩方面對LP 及QP 經(jīng)濟(jì)優(yōu)化問題進(jìn)行闡述。

（1）原始形式

LP 經(jīng)濟(jì)優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)：

QP 經(jīng)濟(jì)優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)：

LP 及QP 約束條件相同：

（2）標(biāo)準(zhǔn)形式

由于原始描述目標(biāo)函數(shù)中含有決策變量絕對值形式，不利于優(yōu)化問題的求解，因此針對每個絕對值項引入兩個輔助變量及相應(yīng)約束條件[21]：

則經(jīng)濟(jì)優(yōu)化標(biāo)準(zhǔn)化描述如式（24）～式（27）所示，其中表示形式為Ah,(v+1)～m的矩陣表示Ah的第(v+1)列至m列。

（a）LP 經(jīng)濟(jì)優(yōu)化標(biāo)準(zhǔn)化

目標(biāo)函數(shù)：

約束條件：

（b）QP 經(jīng)濟(jì)優(yōu)化標(biāo)準(zhǔn)化

目標(biāo)函數(shù)：

約束條件：

2 LP 與QP 解特性分析

根據(jù)上述分析可知，在穩(wěn)態(tài)優(yōu)化的軟約束調(diào)整階段及經(jīng)濟(jì)優(yōu)化階段，目標(biāo)函數(shù)可以采用線性函數(shù)或者二次函數(shù)，從而分別構(gòu)成約束條件相同的LP 及QP 問題；本節(jié)將通過研究LP 及QP 解的特性來解釋提供這兩種穩(wěn)態(tài)優(yōu)化描述形式的原因并給出這兩種形式的選擇依據(jù)。

2.1 幾何關(guān)系分析

一般約束條件為凸集。LP 問題是平移一個截距可變的超平面（二維退化為直線）與約束空間相交于一點，并使得超平面的截距最小，其交點一定為約束空間的頂點；QP 問題是擴(kuò)張一個半徑可變的超橢球（二維退化為橢圓）與約束空間交于一點，并使得超橢球的半徑最小，交點在約束空間邊界平面上或某個固定點。隨著目標(biāo)函數(shù)權(quán)重變化，線性規(guī)劃最優(yōu)解在約束空間不同頂點間跳變，如圖1（a）所示；而二次規(guī)劃最優(yōu)解在約束空間邊界平面上平滑移動，如圖1（b）所示，或為某個固定點，如圖1（c）所示。

圖1 不同權(quán)重系數(shù)對最優(yōu)解的影響Fig.1 Influence of different weight coefficients on the optimal solution

2.2 代數(shù)關(guān)系分析

接下來以2 個MV、3 個CV 系統(tǒng)為例，從代數(shù)關(guān)系層面進(jìn)一步驗證上述方法。設(shè)所有CV 為同一級別，所有MV 都是代價變量，且硬約束空間內(nèi)軟約束無交集。如圖2 所示，灰色矩形區(qū)域為硬約束；直線a和b，c和d，e和f分別圍成的區(qū)域為軟約束區(qū)間，可知所有約束條件沒有交集，即不存在可行空間，可通過向上調(diào)整邊界b、向下調(diào)整邊界e、向下調(diào)整邊界c，使區(qū)域S1 與S2相連。為使目標(biāo)函數(shù)最小，即移動的距離盡可能小，最優(yōu)策略是使直線b,e,c相交于一點，如圖3 所示。

圖2 約束條件幾何關(guān)系圖——不存在解空間Fig.2 Constraint geometry— no solution space

圖3 約束條件幾何關(guān)系圖——存在解空間Fig.3 Geometric diagram of constraints—existence of solution space

此時，優(yōu)化問題可簡化為如下形式：

約束條件為

5 個決策變量、3 個等式約束條件且等式約束矩陣滿秩，可以將等式約束條件簡化為

將式（31）代入目標(biāo)函數(shù)式（28）和式（29），將優(yōu)化問題化為單一決策變量優(yōu)化：

且滿足

（1）對于LP

若W2-W5·K1-W6·K2＞0，則 最 優(yōu) 值 為ε1=0,ε5=B1,ε6=B2；

若W2-W5·K1-W6·K2＜0，且B2K1-B1K2＞0，則最優(yōu)值為ε1=B1/K1,ε5=0,ε6=(B2K1-B1K2)/K1；

若W2-W5·K1-W6·K2＜0，且B2K1-B1K2≤0，則最優(yōu)值為ε1=B2/K2,ε5=(B1K2-B2K1)/K2,ε6=0；

若W2-W5·K1-W6·K2=0，則最優(yōu)值為，ε5=B1-K1ε1,ε6=B2-K2ε1。

（2）對于QP

最優(yōu)值為

2.3 模型失配條件下解特性分析

實際應(yīng)用中模型皆存在失配，即控制模型與實際對象存在不完全一致。雙層MPC 采用滾動時域控制，由于存在模型失配，每個周期輸出預(yù)測值與輸出實際值間存在誤差，如不進(jìn)行修正，則誤差累計造成控制誤差甚至失穩(wěn)。對此MPC 采用輸出誤差反饋校正輸出動態(tài)預(yù)測序列及輸出穩(wěn)態(tài)值，抑制模型失配造成的控制波動問題。輸出穩(wěn)態(tài)值的校正公式如式（35）和式（36），其中e(k)為預(yù)測誤差向量，即當(dāng)前輸出實際值向量與預(yù)測值向量之差。

穩(wěn)定型CV 開環(huán)穩(wěn)態(tài)預(yù)測值為

積分型CV 開環(huán)穩(wěn)態(tài)斜率值為

MPC 滾動優(yōu)化過程中輸出預(yù)測誤差e(k)每個周期都在變化，因此輸出穩(wěn)態(tài)值也相應(yīng)變化。結(jié)合式（9）可知，輸出穩(wěn)態(tài)值的變化僅改變約束邊界B，不改變約束條件系數(shù)矩陣A。通過第2.1 節(jié)可知，若可行域有界，LP 的最優(yōu)解一定在約束空間的頂點上，因此在滾動優(yōu)化過程中，即隨時間變化LP 的解一定會變化；而QP的解可能在約束空間的邊界上、頂點上或內(nèi)部，當(dāng)解在邊界上或頂點上時也會變化，若解一直在約束空間內(nèi)部則不隨時間變化。

2.4 結(jié)論

通過上述理論分析，可得到以下兩個結(jié)論：

（1）由LP 與QP 的解的形式可知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)權(quán)重系數(shù)或者模型系數(shù)在一定范圍內(nèi)變化時LP 最優(yōu)解保持不變，但隨著權(quán)重系數(shù)或模型系數(shù)的連續(xù)變化，LP解會發(fā)生跳變，并且在LP 問題中權(quán)重并不能很好體現(xiàn)對決策變量的偏向；QP 的解隨著權(quán)重系數(shù)或模型系數(shù)的變化而連續(xù)變化，并且權(quán)重能夠很好地體現(xiàn)決策的偏向性?？梢?，QP 的權(quán)重能夠更加精確地調(diào)節(jié)各個決策變量的偏向程度，而LP 的權(quán)重對偏向程度的反應(yīng)相對比較粗略；但在求解過程中，由于QP 時間及空間復(fù)雜度皆高于LP 的。因此，實際工程中小規(guī)模的優(yōu)化控制問題采用QP，更能體現(xiàn)優(yōu)化的意愿；大規(guī)模優(yōu)化控制問題采用LP，提高求解的快速性。

（2）由于實際工程中模型失配的存在，在滾動優(yōu)化過程中，即隨時間變化時，可行域邊界的變化導(dǎo)致LP 的解一定會變化；若QP 的解在邊界上或頂點上時也會變化，若QP 的解一直在約束空間內(nèi)部則不隨時間變化。

3 LP 及QP 解特性仿真分析

本節(jié)將通過隨權(quán)重變化的解特性和模型失配時的解特性的仿真對上述結(jié)論進(jìn)行驗證。

3.1 隨權(quán)重變化的解特性

將上述理論分析實例化，模型如式（37）所示，其中w1從1 至20 連續(xù)變化：

結(jié)合第1.2 節(jié)軟約束松弛標(biāo)準(zhǔn)化過程，形成如下優(yōu)化問題：

（2）約束條件

基于Matlab 編程，得到?jīng)Q策變量ε隨權(quán)重W1連續(xù)變化的變化情況，具體如圖4 所示，其中圖4（a）和圖4（b）的縱坐標(biāo)ΔUi為操縱變量增量，圖4（c）～圖4（h）為各決策變量ε的QP/LP 解，下標(biāo)H 代表ε的上限，L 代表ε的下限。

圖4 最優(yōu)解隨權(quán)重變化曲線Fig.4 Curves of the optimal solution changes with weight

從圖4 可見，當(dāng)W1在8 和10 附近時，LP 的解發(fā)生跳變；當(dāng)W1為其他值時，LP 解保持不變；QP 解隨著W1的變化而連續(xù)變化，第2.4節(jié)所示理論分析結(jié)論（1）得到了驗證。

3.2 模型失配時的解特性

采用第3.1 節(jié)模型，固定W=[2 5 3 2 3 4]T，仿真時間為100 個周期；并假設(shè)未校正輸出預(yù)測值不變化，即MPC 處于開環(huán)狀態(tài)，僅通過增加第一個輸出預(yù)測誤差反映實際模型失配；誤差信號采用均值為0，幅值在[-1, 1]之間的隨機(jī)值。仿真結(jié)果如圖5 所示，圖5（a）和圖5（b）縱坐標(biāo)ΔUi為操縱變量增量，圖5（c）和圖5（e）為各決策變量ε的QP/LP 解，圖5（f）縱坐標(biāo)e1為預(yù)測誤差。可見， LP 與QP 解隨著預(yù)測誤差的變化而變化，且預(yù)測誤差曲線與各個決策變量最優(yōu)解的曲線變化趨勢一致。圖6 最優(yōu)解與預(yù)測誤差散點圖進(jìn)一步表明這種變化呈線性相關(guān)，即預(yù)測誤差越大解的波動幅度越大，第2.4 節(jié)所示結(jié)論（2）得到了驗證。

圖5 模型失配下最優(yōu)解隨預(yù)測誤差變化曲線Fig.5 Curve of the optimal solution changing with weight in the case of model mismatch

圖6 最優(yōu)解與預(yù)測誤差散點圖Fig.6 Scatter diagram of the optimal solution and prediction error

4 結(jié)語

本文通過對穩(wěn)態(tài)優(yōu)化理論的標(biāo)準(zhǔn)化、通用化研究，為預(yù)測控制的軟件開發(fā)提供指導(dǎo)；通過對LP 及QP 最優(yōu)解的特性分析，為工程應(yīng)用中優(yōu)化問題的策略選擇提供了理論支撐。文中首先研究了雙層結(jié)構(gòu)預(yù)測控制的穩(wěn)態(tài)優(yōu)化層的兩階段法求解策略，將穩(wěn)態(tài)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為基于優(yōu)先級的一系列標(biāo)準(zhǔn)LP 或QP 問題，并通過引入輔助變量解決了目標(biāo)函數(shù)帶絕對值的問題，最終形成可由計算機(jī)求解的通用描述形式；之后討論了兩階段穩(wěn)態(tài)優(yōu)化求解策略中LP 及QP 解的特性，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)權(quán)重系數(shù)在一定范圍內(nèi)變化時，LP 最優(yōu)解保持不變，而QP 最優(yōu)解隨著權(quán)重系數(shù)的變化而連續(xù)變化。因此，QP 的解相比LP 具有更好的連續(xù)性，且QP 的權(quán)重能夠更加精確地調(diào)節(jié)各個決策變量的偏向程度，而LP 的權(quán)重對偏向程度的反應(yīng)相對比較粗略，并結(jié)合LP 與QP 的時間復(fù)雜度給出二者在工程應(yīng)用中的選擇原則；最后進(jìn)一步討論了模型失配對LP 與QP 解特性的影響，為實際應(yīng)用中預(yù)測控制器穩(wěn)態(tài)解的穩(wěn)定性分析提供一定依據(jù)。 由于LP 與QP 算法求解將會隨變量個數(shù)增大而變得復(fù)雜，如何在求解的過程中降低計算量是一個值得進(jìn)一步研究的問題。