例談適合發(fā)展的數(shù)學(xué)課堂的實施要領(lǐng)*

王九紅

《國家中長期教育改革和發(fā)展規(guī)劃綱要（2010—2020 年）》提出，要“尊重教育規(guī)律和學(xué)生身心發(fā)展規(guī)律，為每個學(xué)生提供適合的教育”。作為國家教育發(fā)展目標(biāo)，“適合的教育”需要教育系統(tǒng)乃至全社會為之協(xié)力共為，其中，課程教學(xué)是一種主要的載體和途徑?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》在“課程基本理念”中指出，“要面向全體學(xué)生，適應(yīng)學(xué)生個性發(fā)展的需要，使得：人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”。這可視為“適合的教育”的理念和要求在義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)學(xué)科上的具體表達(dá)，也可當(dāng)作我們實施“適合的數(shù)學(xué)教育”時應(yīng)遵循的準(zhǔn)則，即要適應(yīng)學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知規(guī)律和個性發(fā)展需要，采用適宜學(xué)生學(xué)習(xí)的方法來開展數(shù)學(xué)教學(xué)，促進(jìn)學(xué)生適性地發(fā)展。概而言之，就是要適合發(fā)展。下面，筆者以六年級下學(xué)期一則數(shù)學(xué)思考題的教學(xué)為例，談?wù)勥m合發(fā)展的數(shù)學(xué)課堂的實施要領(lǐng)。

一、教學(xué)現(xiàn)場

出示思考題：一個等腰直角三角形減掉一個三角形后，剩下一個梯形。（如圖1）已知梯形的面積是42 平方厘米，上底長4 厘米，梯形的高是（ ）厘米。

1.教學(xué)常規(guī)解法。

師：這道題比較難，但還是有不少同學(xué)做出來了。哪位同學(xué)來說說自己的解法？張同學(xué)很踴躍，讓他先說吧。

張同學(xué)：上面小三角形的高是4cm，它的面積就是4×4÷2=8（cm2）；大三角形的面積就是42+8=50（cm2）；50×2=100=102，10-4=6（cm），這就是梯形的高。

師：同學(xué)們，你們聽懂了嗎？100是什么？

生：100是大三角形面積的2倍。

師：誰能畫圖表示這個2倍的面積？

張同學(xué)（在原圖上添輔助線，畫出圖2）：100 是兩個三角形的面積，也就是這個正方形的面積。

師：現(xiàn)在大家知道10是什么了吧？10-4=6呢？

…………

2.教學(xué)方程解法。

師：其他同學(xué)還有別的解法，哪位來說一說？范同學(xué)的解法很特別，讓他說吧。

范同學(xué)面露得意之色，在實物展臺上呈現(xiàn)并解釋他的解法：

解：設(shè)梯形的高為xcm。

（4+x+4）×x÷2=42

x2+8x=42×2

x2+8x-84=0

（x+14）×（x-6）=0

x1=-14（舍去）

x2=6

范同學(xué)講解得很詳細(xì)，但大多數(shù)學(xué)生還是一頭霧水。

師：哈，范同學(xué)列出了個一元二次方程，這是初中才能學(xué)到的知識，他現(xiàn)在就掌握了，了不起!范同學(xué)，我給你提個建議，如果你設(shè)梯形的下底為x會更好一些。那我們就能列出這樣的方程——（x+4）（x-4）÷2=42，大家能看懂嗎？誰來說說道理？……范同學(xué)，你覺得這個方程和你的方程相比怎么樣？

范同學(xué)：這個更加簡單、清楚。

師：對！你看它——（x+4）（x-4）很對稱哦！我們還可以讓方程變得更對稱呢，（x+4）（x-4）=42×2，大家看看，等號兩邊都是兩個部分相乘，這也是對稱的，是不是？誰知道（x+4）（x-4）算出來的是什么？42×2 呢？大家相互討論一下。

學(xué)生討論期間，教師畫出圖3。

師：現(xiàn)在大家明白了嗎？對，（x+4）（x-4）就是這個長方形的面積，是由兩個梯形拼成的，它是多少呢？（是42×2，也就是84）（x+4）（x-4）是可以變化的，誰知道它能變成什么樣子？

生：（x+4）（x-4）=x2-42=x2-16。

師：對?。▁+4）（x-4）=x2-42是個平方差公式，到初中才學(xué)到，你也很厲害！大家想知道這個公式是怎么來的嗎？哈，這個老師現(xiàn)在不說，把它作為今天課后的思考題。這個方程現(xiàn)在你們會解了嗎？

學(xué)生解答，匯報，教師板書：

（x+4）（x-4）=42×2

x2-42=84

x2=100

x2=102

x=10

師：大家看，和范同學(xué)的解法相比，這個解法確實更簡潔、更漂亮。

3.教學(xué)分解因數(shù)法。

師（指著圖3）：大家看這個長方形，它的面積是多少？

生：是42×2等于84。

師：那它的長和寬分別是多少呢？（ ）×（ ）=84，這兩對圓括號分別表示長和寬，填什么數(shù)？

生：1×84=2×42=3×28=4×21=6×14=7×12。

師：如果讓你選一個數(shù)做這個梯形的高，你選哪一個？

生：我選6或者7。

師：為什么不是12、14或者別的數(shù)呢？

生：因為我看上面的圖，6 和7 比較接近這個梯形高的長度，其他的數(shù)相差太大。

師：你真聰明！我們有時可以根據(jù)圖上的比例直接估計答案，然后計算驗證，看哪個合適。

教師板書：

（4+6+4）×6÷2=42……√

師：所以，梯形的高就是6。

4.教學(xué)據(jù)圖估數(shù)法。

師：同學(xué)們，有些題目比較難，我們不會做，但我們可以先根據(jù)題目中的圖估計出一個答案，沒有圖的題目可以先畫圖，這個圖要盡量精確。當(dāng)然，要保證正確，我們最好再驗證一下。大家看，這個梯形的上底是4 厘米，估計一下，它的高是多少厘米？

生：大概是5、6、7厘米。

師：這都有可能，但到底是哪一個呢？你準(zhǔn)備先驗證哪一個？

生：中間的6。

師：你真聰明！我們通常先驗證中間的，大了就換小一點的，小了就換大一點的。

二、課后反思：適合發(fā)展的數(shù)學(xué)課堂的實施要領(lǐng)

適合發(fā)展的數(shù)學(xué)課堂由多種元素構(gòu)成?；谏鲜鼋虒W(xué)案例的分析和反思，筆者認(rèn)為，教學(xué)目標(biāo)的制定與達(dá)成、教師的啟發(fā)引導(dǎo)方式和隨機(jī)應(yīng)變智慧是眾多元素中較為重要的三個方面。

1.目標(biāo)要“立地頂天”：讓每個學(xué)生都得到適性的發(fā)展。

制定適切的教學(xué)目標(biāo)是教師備好一節(jié)課的首要任務(wù)。制定教學(xué)目標(biāo)的依據(jù)主要有兩個方面——教學(xué)內(nèi)容和學(xué)情。教師對教學(xué)內(nèi)容理解得越深刻，對學(xué)生了解得越全面、越深入，制定的教學(xué)目標(biāo)就越有可能合適。對于了解到的學(xué)情，秉持不同教學(xué)理念的教師的處理方式是不同的。有些教師會將其進(jìn)行“多數(shù)化”或“中間化”處理，即根據(jù)大多數(shù)人的情況或取中間那部分人的情況來確立教學(xué)目標(biāo)，這樣設(shè)立的目標(biāo)是一種“截面”的狀態(tài)，是唯一的。秉持適合發(fā)展教學(xué)理念的教師則會將學(xué)情視為一種連續(xù)體，不僅重視“大多數(shù)”“中間數(shù)”，還關(guān)注兩頭的情況，以期達(dá)成“立地頂天”的教學(xué)目標(biāo)。具體而言，“立地”是指要努力讓學(xué)困生達(dá)到國家課程標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的基本水平，“頂天”就是讓學(xué)優(yōu)生努力達(dá)到他所能達(dá)到的最高標(biāo)準(zhǔn)?！傲⒌仨斕臁钡慕虒W(xué)目標(biāo)是適合發(fā)展的數(shù)學(xué)課堂有別于一般數(shù)學(xué)課堂的首要因素，要求教師以適合發(fā)展的眼光來看待學(xué)生。

在上述教學(xué)中，“立地頂天”的教學(xué)目標(biāo)是通過三個環(huán)節(jié)來實現(xiàn)的。首先是抓中間。教師課前對這道題的答題情況已然了解。面對多種解法，他首先選擇的是常規(guī)解法。這種解法運用了梯形面積計算的知識，大多數(shù)學(xué)生都可以理解，教學(xué)效率很高。

接著是“頂天”。教師讓范同學(xué)呈現(xiàn)方程解法，這需要運用中學(xué)的一元二次方程知識才能解出。教師將其視為一種幫助學(xué)生“頂天”的寶貴資源加以利用，不僅使范同學(xué)的方程知識變得更“漂亮”了，還借此引出了分解因數(shù)法、據(jù)圖估數(shù)法，使其他學(xué)生也有所獲益。

最后是“立地”。對于極少數(shù)學(xué)困生而言，常規(guī)解法、方程解法、分解因數(shù)解法可能都太難理解了，他們需要更簡單的方法，于是教師借助分解因數(shù)法將解題方法引導(dǎo)到“無厘頭”的估計答案法上。這種解法對思維邏輯性的要求不是很高，但也絕非瞎碰運氣，它是建立在學(xué)生觀察、猜測、幾何直觀和直覺思維的基礎(chǔ)上的。

“立地頂天”其實不是新鮮事物，它只是傳統(tǒng)“因材施教”的新表達(dá)而已。但在當(dāng)前教育均衡化和規(guī)范辦學(xué)的形勢下，一些人認(rèn)為這會拉大學(xué)生之間的差距，有違教育公平。其實，適合才是最好的，真正公平的教育是讓不同的人得到適合的發(fā)展。

2.啟發(fā)要由遠(yuǎn)及近：讓更多的學(xué)生進(jìn)行深度思維。

教學(xué)內(nèi)容的難度與教師的啟發(fā)方式之間具有一種對應(yīng)的關(guān)系。具體而言，當(dāng)教學(xué)內(nèi)容難度較小時，教師應(yīng)該直接讓學(xué)生自行學(xué)習(xí)；當(dāng)教學(xué)內(nèi)容難度適中時，教師應(yīng)該采取由近及遠(yuǎn)的啟發(fā)方式。這樣做，就是要讓學(xué)生通過適度的思維負(fù)荷得到發(fā)展。

由遠(yuǎn)及近啟發(fā)是將全體學(xué)生視為一個認(rèn)知水平由低到高的連續(xù)體，從學(xué)困生到中等生再到學(xué)優(yōu)生，教師都要兼顧。先做出的點撥和啟發(fā)高于教學(xué)目標(biāo)，只有少數(shù)學(xué)優(yōu)生能理解掌握，然后借助這些學(xué)優(yōu)生的力量或其他辦法讓較多的中等生理解掌握，最后通過中等生的幫助讓其余學(xué)生理解掌握，直至學(xué)困生也有所收獲。這種啟發(fā)方式特別注重學(xué)生思維的過程和數(shù)學(xué)活動的過程，目的是擴(kuò)大思維空間，讓學(xué)生盡可能多地得到一些有一定負(fù)荷思維的機(jī)會。教師秉持的假設(shè)是所有學(xué)生都有巨大的學(xué)習(xí)潛能，都可以在適當(dāng)?shù)膸椭碌玫桨l(fā)展。

由遠(yuǎn)及近啟發(fā)的具體方式有很多，包括提問、舉例、畫圖、演示等，提問是其中較為重要的啟發(fā)方式。為了提高學(xué)生的思維強度，提問需要遠(yuǎn)離教學(xué)目標(biāo)。遠(yuǎn)離教學(xué)目標(biāo)的提問具有含而不露、指而不明、引而不發(fā)、開而不達(dá)的特點。如果這樣的提問過于籠統(tǒng)，多數(shù)學(xué)生不得要領(lǐng)，就要朝教學(xué)目標(biāo)貼近些再問，如此由遠(yuǎn)及近，最終達(dá)成教學(xué)目標(biāo)。此案例中，教師靈活運用多種方式。如面對難以理解的方程解法，教師首先建議范同學(xué)換一種設(shè)未知數(shù)的方式；然后通過提問讓大家比較兩個方程的異同，感受數(shù)學(xué)的簡潔美、對稱美；最后利用畫圖幫助學(xué)生理解42×2 和（x+4）（x-4）的 意 義，自 然 地 引 出（ ）×（ ）=84，為分解因數(shù)法做好鋪墊。

3.執(zhí)教要富有智慧：善于發(fā)掘利用各種教學(xué)資源。

如何兼顧思維發(fā)展與知識學(xué)習(xí)效率，盡可能促進(jìn)每個學(xué)生適合地發(fā)展？這對教師的教學(xué)智慧提出了要求。教師要能及時捕捉到課堂中隨機(jī)生成的教育事件中的“機(jī)”，且要能見機(jī)行事，恰當(dāng)?shù)貙⑻囟ǖ膯栴}轉(zhuǎn)化為普遍的資源，促進(jìn)大家的發(fā)展。此案例中，教師的教學(xué)智慧較為集中地體現(xiàn)在對范同學(xué)一元二次方程解法這一“越位”行為的處理上。

首先，教師敏銳地發(fā)現(xiàn)了“機(jī)”。方程（4+x+4）×x÷2=42 對六年級學(xué)生來說解答起來確實比較困難，新方程（x+4）（x-4）=42×2 相對來說更簡潔、更對稱、更漂亮，這不僅可以使范同學(xué)獲益，也能讓大家感受到數(shù)學(xué)的簡潔美、對稱美。就此而言，要敏銳地發(fā)現(xiàn)隱藏在教學(xué)事件中有價值的資源，教師對教學(xué)內(nèi)容的理解就要深刻、系統(tǒng)。

其次，教師善于引導(dǎo)。在解答新方程時，教師將方程式進(jìn)行變形，又通過畫圖幫助學(xué)生理解其意義。畫圖其實是構(gòu)造出一個長方形，方程式中的（x+4）（x-4）其實就是長方形的長和寬相乘，其積就是42×2。這原本是一個就事論事的行為，但教師又將其普遍化為（ ）×（ ）=84，實現(xiàn)了從關(guān)注個別學(xué)優(yōu)生向關(guān)注全體學(xué)生的轉(zhuǎn)移。

最后，教師適時提供幫助。綜觀整個案例，教師該出手時就出手。如設(shè)梯形的下底為未知數(shù)更為恰當(dāng)，這是學(xué)生很難知曉的，因而教師沒有啟發(fā)學(xué)生去探究，而是自己直接說出；將方程（x+4）（x-4）÷2=42 變 為（x+4）（x-4）=42×2，這也是學(xué)生不易想到的，教師抓住“對稱”來相助。

綜上所述，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要做到適合每一個、發(fā)展每一個，就要恰當(dāng)制定“立地頂天”的教學(xué)目標(biāo)，采用“由遠(yuǎn)及近”的啟發(fā)方式，富有智慧地應(yīng)對課堂生成事件。