導(dǎo)數(shù)概念與圓錐曲線的切線

黃良發(fā)

(廣東省江門市第一中學(xué),529080)

高中數(shù)學(xué)中的切線最早見于直線與圓的位置關(guān)系之中;其后,在高中數(shù)學(xué)人教A版教材選修2-1的圓錐曲線中也常常見到各類切線;而切線作為嚴密的數(shù)學(xué)概念卻在導(dǎo)數(shù)一章中才給出嚴格的定義.導(dǎo)數(shù)的概念是高中數(shù)學(xué)教材中最重要、最深邃的概念之一,定義本身就體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中無限逼近、以不變代變、化歸轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.

在教學(xué)中,筆者發(fā)現(xiàn)有不少學(xué)生常感到困惑:既然導(dǎo)數(shù)可以用來求曲線的切線方程,為什么在實際解題中很少見到用導(dǎo)數(shù)來求圓錐曲線的切線呢? 如果能,該如何求?其一般性結(jié)論是什么?作這一線教師,筆者以導(dǎo)數(shù)概念為出發(fā)點,探索求圓錐曲線切線方程的一般方法,供同學(xué)們參考.

解法4利用圓的參數(shù)方程

考慮圓B的參數(shù)方程，令

通過以上幾種解法,可以看出:本題看似復(fù)雜,實則簡單易解.解題的關(guān)鍵是在于能否把問題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的問題，體現(xiàn)了對數(shù)學(xué)基本概念、基本思想方法和基本計算能力的要求,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng),這也是高考對我們的基本要求.

綜上,結(jié)論1成立.

有了結(jié)論1,可提高解決與橢圓切線有關(guān)問題的解題速度.比如

利用導(dǎo)數(shù)的定義,還可以得出如下更一般性的結(jié)論.

結(jié)論2已知二次曲線Ax2+By2+Cx+Dy+E=0(A2+B2≠0),設(shè)P(x0,y0)為曲線上定點,則曲線在點P處的切線方程為

①

推論2拋物線y2=2px(p>0)上定點P(x0,y0)處的切線方程為y0y=p(x+x0).

推論3圓(x-a)2+(y-b)2=r2上定點P(x0,y0)處的切線方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.