變速箱串聯(lián)齒輪傳動(dòng)模態(tài)分析與有限元仿真*

王勝曼，唐宇恒

(1.保定理工學(xué)院，河北 保定 071000； 2.河北省地礦局第一地質(zhì)大隊(duì)，河北 邯鄲 056000 )

0 引 言

對(duì)于齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)，在剛性機(jī)械系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析中，假設(shè)所有構(gòu)件都是剛體。但是隨著機(jī)械運(yùn)動(dòng)速度的提高，機(jī)械本身重量的減輕和機(jī)械工作精度的提高，構(gòu)件本身的彈性變形成為不可忽略的因素。構(gòu)件的彈性可以引起運(yùn)動(dòng)配合關(guān)系失調(diào)、降低運(yùn)動(dòng)精度、產(chǎn)生機(jī)械振動(dòng)和機(jī)件疲勞損壞。在齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)中當(dāng)傳動(dòng)軸的長(zhǎng)度比較大時(shí)，由于軸的彈性變形在機(jī)械起動(dòng)、停車或載荷變化時(shí)會(huì)出現(xiàn)同一軸上零件運(yùn)動(dòng)的不同步或振動(dòng)現(xiàn)象，從而影響機(jī)械的正常工作。因此整個(gè)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的彈性問(wèn)題在運(yùn)行中產(chǎn)生的振動(dòng)和精度問(wèn)題是機(jī)械系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)研究的重點(diǎn)問(wèn)題。

為了保證變速箱齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)轉(zhuǎn)精度減少振動(dòng)，近年來(lái)不少學(xué)者針對(duì)此問(wèn)題展開了機(jī)械系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)研究。一些學(xué)者利用不同的軟件或者實(shí)驗(yàn)方法對(duì)其變速箱箱體進(jìn)行了自由模態(tài)或約束模態(tài)的動(dòng)力學(xué)仿真，其目的是為了改進(jìn)箱體的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)以便減輕振動(dòng)[1-7]。還有一些學(xué)者把齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)中的一對(duì)齒輪嚙合作為研究對(duì)象，利用ANSYS或其他軟件進(jìn)行模態(tài)分析，其目的是改善齒輪傳動(dòng)產(chǎn)生的振動(dòng)和噪聲[8-10]。還有一些學(xué)者把齒輪傳動(dòng)及變速箱殼體裝配在一起作為研究對(duì)象，進(jìn)行整體結(jié)構(gòu)的模態(tài)分析，從而提出改進(jìn)箱體整體結(jié)構(gòu)的建議，以便減輕機(jī)械傳動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)問(wèn)題[11]。以上這些研究只限于齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的部分構(gòu)件的研究，只分析了部分構(gòu)件的振動(dòng)特性，沒有對(duì)整個(gè)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行研究。

馮宇晨,陳艷鋒撰寫的行星齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)接觸模態(tài)分析一文中，作者對(duì)行星齒輪傳動(dòng)進(jìn)行了自由模態(tài)和約束條件下兩種模態(tài)仿真分析，獲得了行星齒輪系統(tǒng)相應(yīng)的固有頻率和振型[12]。樊智敏撰寫的帶式嚙合介質(zhì)齒輪傳動(dòng)的模態(tài)分析一文中，把普通漸開線齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)和帶式嚙合介質(zhì)齒輪傳動(dòng)作為研究對(duì)象進(jìn)行模態(tài)分析，并對(duì)比了兩種仿真結(jié)果，發(fā)現(xiàn)改變介質(zhì)帶的彈性模量、泊松比、厚度等可以改變系統(tǒng)的振型[13]?；贏baquas的齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)模態(tài)分析一文中，將系統(tǒng)結(jié)構(gòu)進(jìn)行離散，使無(wú)限自由度問(wèn)題簡(jiǎn)化成多自由度問(wèn)題。建立了多自由度系統(tǒng)振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程，并利用利用Abaquas軟件對(duì)變速箱進(jìn)行了模態(tài)分析[14]。以上研究中研究者大都基于剛性機(jī)械系統(tǒng)多自由度動(dòng)力學(xué)理論，采用了不同的研究工具，針對(duì)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行機(jī)械系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析，得出來(lái)系統(tǒng)的模態(tài)振型。但是對(duì)于齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)中把軸類構(gòu)件看作彈性構(gòu)件進(jìn)行扭轉(zhuǎn)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)分析的較少。

1 研究理論基礎(chǔ)

1.1 串聯(lián)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)等效力學(xué)模型

對(duì)于由N個(gè)軸組成的多級(jí)串聯(lián)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)，利用拉格朗日方程可以簡(jiǎn)化成一單軸系統(tǒng)。

(1) 串聯(lián)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)原始參數(shù)

如圖1所示，已知J1,J2,J2′,J3,J3′,J4分別為轉(zhuǎn)盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，θ1,θ2,θ2′,θ3,θ3′,θ4分別為轉(zhuǎn)盤的轉(zhuǎn)角，K1,K2,K3分別為軸的剛度系數(shù)。

圖1 傳動(dòng)系統(tǒng)簡(jiǎn)化力學(xué)模型

對(duì)于等截面軸，轉(zhuǎn)角θ、剛度系數(shù)K可以采用材料力學(xué)中的計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算求解。

式中：T為軸的扭矩；L為軸的長(zhǎng)度；d為軸的直徑；G為剪切模量；I為極慣性矩[15]。

(2)串聯(lián)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)廣義坐標(biāo)

6.牛流行熱。急性死亡多因窒息所致。剖檢可見氣管和支氣管黏膜充血和點(diǎn)狀出血，黏膜腫脹，氣管內(nèi)充滿大量泡沫粘液。

根據(jù)圖1(a)所示，θ2和θ2′,θ3和θ3′之間有確定的速比關(guān)系：

θ2′=i2′2θ2=i31θ1

θ3′=i3′3θ3=i43θ3

因此θ1,θ2,θ3,θ4相互獨(dú)立為廣義坐標(biāo)，系統(tǒng)的自由度為4。

1.2 串聯(lián)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程

采用拉格朗日方程來(lái)建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程。具有完整理想約束的有N個(gè)廣義坐標(biāo)系統(tǒng)的拉格朗日方程的形式是：

(1)

式中：E為系統(tǒng)動(dòng)能；U為系統(tǒng)的勢(shì)能；qr為第r個(gè)廣義坐標(biāo)；Fr為第r個(gè)廣義坐標(biāo)的廣義力[16]。

系統(tǒng)的動(dòng)能：

E對(duì)個(gè)參數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)得：

(2)

系統(tǒng)的勢(shì)能：

勢(shì)能U對(duì)各參數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)得：

=-i2′2K2θ2+(K2+K3i3′3)θ3-i3′3K3θ4

(3)

將公式(2)和公式(3)帶入公式(1)中可得：

i3′3K3θ4=0

(4)

對(duì)公式(4)廣義坐標(biāo)進(jìn)行變換，并進(jìn)行參數(shù)替換得：

(5)

公式(5)為無(wú)外力時(shí)的動(dòng)力學(xué)方程，圖1(a)和(c)兩個(gè)系統(tǒng)具有相同的動(dòng)能和勢(shì)能。

2 串聯(lián)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)三維模型的建立

2.1 串聯(lián)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)各構(gòu)件的參數(shù)

如圖1(a)所示，串聯(lián)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)由帶輪1、齒輪2、齒輪3、齒輪4、齒輪5、滾筒和軸1、軸2、軸3組成。各構(gòu)件的原始參數(shù)見表1、表2所列。

表1 各輪參數(shù)表

表2 各軸參數(shù)

2.2 串聯(lián)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)各構(gòu)件材料特性

為了便于分析，串聯(lián)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)各構(gòu)件均采用優(yōu)質(zhì)碳素鋼45，45號(hào)鋼為中碳鋼，含碳量為0.45%，一般用于比較重要的機(jī)械零部件的材料。見表3所列。

表3 構(gòu)件材料特性

2.3 模型的建立和網(wǎng)格的劃分

在建模環(huán)境下利用UGNX軟件，建立串聯(lián)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)各構(gòu)件的三維模型。模型完成后在裝配環(huán)境下，利用接觸、對(duì)齊、距離、平行等約束等命令，對(duì)串聯(lián)齒輪系統(tǒng)各構(gòu)件進(jìn)行約束。帶輪與軸1、齒輪2與軸1、齒輪3與軸2、齒輪4與軸軸2、齒輪5與軸3、滾輪與軸3之間的裝配采用接觸與對(duì)齊進(jìn)行約束；齒輪2與齒輪3、齒輪4與齒輪之間采用接觸、對(duì)其、中心距離進(jìn)行約束，從而完成串聯(lián)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的裝配工作。在高級(jí)仿真環(huán)境下，利用NX NASTRAN求解器進(jìn)行求解。NX NASTRAN求解器模態(tài)分析用于計(jì)算和評(píng)估結(jié)構(gòu)的固有頻率和自然模態(tài)即陣型分析，計(jì)算時(shí)不考慮阻尼，和外載荷也不相關(guān)。它提供了跟蹤法、變換法和蘭索士法3種數(shù)值解算方法。設(shè)置各構(gòu)件材料屬性，并指派對(duì)應(yīng)材料。創(chuàng)建物理屬性為PSOLID1，網(wǎng)格收集器為SOLID1，單元屬性CTETRA10四面體網(wǎng)格。采用自由網(wǎng)格劃分，單元大小為11.5 mm，單元總數(shù)為71 574個(gè)。有限元模型如圖1所示，仿真模型如圖2所示。

圖2 串聯(lián)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)三維裝配模型 圖3 串聯(lián)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)有限元模型

3 仿真結(jié)果

文中分別對(duì)齒輪串聯(lián)傳動(dòng)系統(tǒng)，采取自由模態(tài)進(jìn)行計(jì)算和約束模態(tài)進(jìn)行計(jì)算。自由模態(tài)仿真對(duì)象類型分別采用面對(duì)面粘接和面對(duì)面接觸兩種方案進(jìn)行仿真計(jì)算。

3.1 串聯(lián)齒輪傳動(dòng)自由模態(tài)計(jì)算結(jié)果

解算方案類型為SEMODES-103，子工況特征值法。特征值方法采用Lanczos法，所需數(shù)據(jù)模態(tài)數(shù)設(shè)置為14。仿真對(duì)象類型為面對(duì)面粘接，搜索距離為1mm，共創(chuàng)建17個(gè)面對(duì)。在無(wú)約束下狀態(tài)下進(jìn)行模態(tài)仿真。在[后處理導(dǎo)航器]窗口中，可以發(fā)現(xiàn)仿真計(jì)算結(jié)果的前6階模態(tài)非常接近零，因?yàn)楸敬斡?jì)算的是齒輪系統(tǒng)的自由模態(tài)，放開了6個(gè)自由度，在6個(gè)自由度方向中出現(xiàn)了剛體位移。仿真結(jié)果如表4和表5所列，串聯(lián)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)非零后8階模態(tài)見圖4所示。

表4 非零后6階模態(tài)頻率及振型

表5 非零后6階模態(tài)頻率及最大應(yīng)力

圖4 串聯(lián)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)非零后8階模態(tài)

從以上仿真數(shù)據(jù)可以看出，軸1、軸2、軸3的剛度嚴(yán)重不足，在各階振型下發(fā)生了較大變形，且在各軸端部應(yīng)力最大。如果激勵(lì)頻率與系統(tǒng)固有頻率接近時(shí)發(fā)生共振，各軸將是最薄弱環(huán)節(jié)。同時(shí)各軸的較大變形，將嚴(yán)重影響系統(tǒng)的運(yùn)轉(zhuǎn)精度。因此在軸的端部施加支座或增加質(zhì)量，將改善軸的振型，提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

3.2 串聯(lián)齒輪傳動(dòng)等效模型模態(tài)計(jì)算結(jié)果

根據(jù)等效模型力學(xué)公式進(jìn)行計(jì)算各軸的等效剛度和各輪的等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，并將等效剛度進(jìn)行逆運(yùn)算，在各軸長(zhǎng)度不變的情況下，等效為各軸的直徑尺寸(見表6所示)。將等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量按照逆運(yùn)算，在各輪寬度尺寸不變得情況下，等效為各輪的直徑。(見表7所示)根據(jù)表6和表7中的尺寸，在UG建模環(huán)境下進(jìn)行三維模型的建立并完成裝配。在高級(jí)仿真環(huán)境中，設(shè)置各構(gòu)件材料屬性，材料同上，并指派對(duì)應(yīng)材料。創(chuàng)建物理屬性為PSOLID1，網(wǎng)格收集器為SOLID1，單元屬性CTETRA10四面體網(wǎng)格。采用自由網(wǎng)格劃分，單元大小為19.8 mm。解算方案類型為SEMODES-103，子工況特征值法。特征值方法采用Lanczos法，所需數(shù)據(jù)模態(tài)數(shù)設(shè)置為12。仿真對(duì)象類型為面對(duì)面接觸，搜索距離為1 mm，共創(chuàng)建10個(gè)面對(duì)。在無(wú)約束下狀態(tài)下進(jìn)行模態(tài)仿真。在[后處理導(dǎo)航器]窗口中，查看非零后6階模態(tài)頻率及振型，見圖6所示。仿真結(jié)果見表8和表9所列。

表6 等效模型各軸參數(shù)

表7 等效模型各輪參數(shù)

表8 兩種模型非零后6階自由模態(tài)頻率、最大變形量及最大應(yīng)力數(shù)值表

圖5 兩模型前6階振動(dòng)頻率

圖6 兩模型前6階最大變形量

通過(guò)表8中的數(shù)據(jù)可以得出，原模型自由模態(tài)數(shù)據(jù)和等效模型自由模態(tài)數(shù)據(jù)在非零后前2階振型頻率非常接近。原模型第7階模態(tài)頻率為67.97 Hz，等效模型第7階模態(tài)頻率為67.89 Hz。原模型第8階模態(tài)頻率為67.34 Hz，等效模型第8階模態(tài)頻率為67.89 Hz。這兩階自由模態(tài)數(shù)據(jù)與研究理論相符。從第9階開始，原模型模態(tài)頻率與等效模型模態(tài)頻率，開始出現(xiàn)差異。第12階原模型模態(tài)頻率遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于等效模型模態(tài)頻率，仿真結(jié)果與研究理論出現(xiàn)偏差。

4 分析與討論

在進(jìn)行串聯(lián)齒輪傳動(dòng)動(dòng)力學(xué)理論研究時(shí)，對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行了簡(jiǎn)化。

(1) 系統(tǒng)忽略了軸的質(zhì)量，將軸看看成無(wú)質(zhì)量的扭簧。實(shí)際中軸的幾何尺寸越大，軸的質(zhì)量也越大，軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量也越大。因軸的質(zhì)量被忽略，因此對(duì)振型產(chǎn)生了影響，影響了計(jì)算精度。

(2) 系統(tǒng)模型認(rèn)為支撐是剛性的，不考慮軸的彎曲變形和縱向變形。本文進(jìn)行了串聯(lián)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的自由模態(tài)分析，沒有對(duì)各構(gòu)件進(jìn)行約束限制，因此在仿真的過(guò)程中，軸的彎曲變形或縱向變形對(duì)仿真結(jié)果產(chǎn)生了一定的影響。

(3) 系統(tǒng)模型忽略了傳動(dòng)機(jī)構(gòu)內(nèi)部的彈性，將各軸之間的傳動(dòng)比看作常數(shù)。實(shí)際中齒輪之間的嚙合傳動(dòng)，在嚙合面上因齒面受力作用，會(huì)發(fā)生一定范圍內(nèi)的彈性變形。在系統(tǒng)簡(jiǎn)化中將其看作剛體，實(shí)際仿真結(jié)果與研究理論有一定的差距。

5 結(jié) 論

本文首先利用拉格朗日方程對(duì)對(duì)串聯(lián)齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行了機(jī)械系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型的建立和理論計(jì)算，并將其原模型轉(zhuǎn)化為等效系統(tǒng)模型。為了驗(yàn)證理論的正確性，筆者利用UGNX軟件對(duì)其原模型和三維模型分別建模并裝配，在高級(jí)仿真環(huán)境下進(jìn)行仿真運(yùn)算。并將兩者結(jié)果進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)非零后前2階即第7階和第8階兩者自由模態(tài)振型和頻率一致，符合研究理論。后四階兩者振型頻率有一定的誤差。此研究結(jié)論為齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)振動(dòng)分析與研究提供了理論參考。