中間鉸支加固的懸臂梁穩(wěn)定性試驗(yàn)分析*

吳亞運(yùn)，劉培蕾

(中國船舶重工集團(tuán)第七一〇研究所，湖北 宜昌 443003)

0 引 言

浮標(biāo)作為一種水面探測工具載體，在當(dāng)前海洋探索不斷發(fā)展的前提下，對其承載能力、承載方式提出了新的要求。如某款超聲波氣象站傳感器需安裝在距水面3 m以上的高度，而一般單一功能的拋棄式氣象探測浮標(biāo)總體質(zhì)量輕，結(jié)構(gòu)尺寸小，只能在浮標(biāo)體上架設(shè)細(xì)長的支撐桿以滿足要求。本文將對浮標(biāo)體上架設(shè)的細(xì)長支撐桿的穩(wěn)定性問題進(jìn)行試驗(yàn)研究。

1 研究背景

出于經(jīng)濟(jì)、總體質(zhì)量控制的雙重目的，在浮標(biāo)設(shè)計(jì)階段，支撐桿選用常用的聚氯乙烯材料即PVC材料，其材料屬性見表1。浮標(biāo)支撐桿設(shè)計(jì)如圖1所示，其一端固定在浮標(biāo)的浮體上，另外一端自由。端部設(shè)有傳感器座，用于承載海洋探測所需的傳感器。支撐桿長3 m，截面為外徑32 mm、內(nèi)徑28 mm的圓環(huán)。

表1 聚氯乙烯材料屬性表

圖1所示的支撐桿是典型的歐拉梁結(jié)構(gòu)[1]，其穩(wěn)定性臨界值計(jì)算公式為：

(1)

經(jīng)計(jì)算，支撐桿的臨界壓載約為2.02 kg，由于探測任務(wù)的需要，各項(xiàng)傳感器質(zhì)量之和約為1 kg，安全裕度值僅為2，且后續(xù)升級空間不足。為此需要對支撐桿進(jìn)行加固。因?yàn)楦?biāo)有嚴(yán)格的質(zhì)浮心要求和空間體積限制，因此提出了如圖1所示的繩索加固方式。采用繩索加固，加固方式簡，增加的額外質(zhì)量輕，對浮標(biāo)的質(zhì)浮心影響可忽略不計(jì)。此文將對繩索加固的效果進(jìn)行研究，確定加固位置，為加固設(shè)計(jì)提供理論依據(jù)。

圖1 浮標(biāo)結(jié)構(gòu)示意圖 圖2 支撐桿簡化模型示意圖

2 模型簡化

繩索加固，限制了支撐桿水平方向的移動(dòng)，但允許其豎直方向運(yùn)動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)，因此繩索牽引約束可以簡化為鉸鏈約束。支撐桿可簡化為圖2所示的底部為固定約束，中部承受鉸支約束，頂端自由且承受垂向載荷的細(xì)長桿。令桿長為l，底部約束至中間鉸支約束處的距離為ml，m為比例因數(shù)表示AB段與桿長的比值。

圖2中，自由端的水平位移為δ，壓感臨界壓力為P，固定約束端A處的受力為：垂直方向的支反力，大小為P；水平方向受力為Fa；且有浮體對A的矩Ma。中間鉸支處B僅受到水平作用力。

3 求解過程

分析過程基于歐拉小撓度微分方程[5]，以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB方向?yàn)閄軸建立直角坐標(biāo)系。其中，沿X軸方向變量x表示離開原點(diǎn)的距離，用M(x)表示距離原點(diǎn)x處的彎矩大小，w(x)表示距原點(diǎn)x處的撓度大小，壓桿的穩(wěn)定性臨界值P求解分析過程如下：

3.1 平衡關(guān)系

對B點(diǎn)取矩，根據(jù)力平衡關(guān)系有如下方程：

Fa*ml-ma-P*δ=0

(2)

3.2 變形關(guān)系

AB段小撓度變形關(guān)系如下：

(3)

(4)

BC段小撓度變形關(guān)系如下：

(5)

BC段的撓曲線方程的通解為：

wbc(x)=ccos(Kx)+dsin(Kx)+δ

(6)

AC段的撓度曲線方程可有式(4)和式(6)表示，其中a、b、c、d為待定系數(shù)。

3.3 邊界條件

由于底端固定約束，故底端固定約束的位移為零，約束點(diǎn)的微分也為零；B點(diǎn)鉸支約束，故有B點(diǎn)的位移為零且AB段與BC段在B點(diǎn)連續(xù)且光滑；C點(diǎn)為支撐桿自由端，C點(diǎn)的位移為δ。將邊界條件進(jìn)行整理即式(7)～(12)：

wab(0)=0

(7)

wab′(0)=0

(8)

wab(ml)=0

(9)

wbc(ml)=0

(10)

wab′(ml)=wbc′(ml)

(11)

wbc(l)=δ

(12)

將邊界條件式(7)～(12)帶入AB段和BC段的通解方程即式(4)和式(6)，整理有以下方程式(13)～(18)：

(13)

(14)

=0

(15)

ccos(Kl*m)+dsin(Kl*m)+δ=0

(16)

-aKsin(Kl*m)+bKcos(Kl*m)+

(17)

ccos(Kl)+dsin(Kl)=0

(18)

顯然該方程組在[a，b，c，d，δ]T為非零的情況下才有物理意義，因此系數(shù)矩陣的行列式為零[6]是[a，b，c，d，δ]T有非零解的充分必要條件，即：

=0

(19)

式(19)表示的特征方程，其展開式是一個(gè)超越方程，該方程是以Kl(即value)為未知數(shù)，m為已知量，借助數(shù)值計(jì)算相關(guān)方法及計(jì)算機(jī)編程[2-3]，經(jīng)求解可知，在不同的m下，value以及μ的取值。部分計(jì)算結(jié)果見表2所列。

表2 長度因數(shù)μ隨比例因數(shù)m的變化表

3.4 擬合公式

根據(jù)表2計(jì)算得到的結(jié)果，繪制長度因數(shù)μ關(guān)于比例因數(shù)m的曲線可知，μ隨著m的增大而下降。

圖3 長度因數(shù)μ與比例因數(shù)m的關(guān)系圖

長度因數(shù)μ可以用比例因數(shù)m的4次曲線進(jìn)行擬合，擬合結(jié)果如下：

μ(m)=0.982 2m4-1.306 1m3+0.622 9m2-

1.598 7m+1.998 5

因此一端固定，一端自由，中間鉸支的細(xì)長桿的穩(wěn)定性臨界載荷計(jì)算公式可以用如下表達(dá)式(后稱擬合公式)擬合：

式中：m是鉸支點(diǎn)到固定端的距離與桿長的比值，0≤m≤1。

4 結(jié)果驗(yàn)證

假設(shè)有一根長為2.5 m，截面為直徑0.01 m的圓，彈性模量為2.11×1011Pa，泊松比0.3的細(xì)長壓桿計(jì)算其穩(wěn)定性臨界值。取相同的邊界條件分別使用有限元軟件和擬合公式進(jìn)行計(jì)算，然后進(jìn)行結(jié)果對比。其中m取0、0.26、0.46、0.66、0.86、1進(jìn)行計(jì)算。有限元計(jì)算結(jié)果見圖4(a)～(f)。

圖4 有限元計(jì)算結(jié)果

采用擬合公式計(jì)算的結(jié)果與有限元計(jì)算的結(jié)果詳見表3所列[4]。如表所示，誤差最大取值為0.462%，在0.5%以內(nèi)，滿足工程上5%以內(nèi)的誤差要求，因此對于一端固定、中間的鉸支加固的懸臂梁計(jì)算其穩(wěn)定性臨界值時(shí)，完全可以使用文中提供的擬合公式進(jìn)行計(jì)算分析，較有限元分析節(jié)省了建模時(shí)間，且計(jì)算精度能夠滿足工程實(shí)際的要求。

表3 中間鉸支加固的懸臂梁穩(wěn)定性臨界值有限元與擬合公式計(jì)算結(jié)果

5 結(jié) 論

(1) 對于中間鉸支加固的懸臂梁壓感穩(wěn)定性擬合公式如下：

m是鉸支點(diǎn)到固定端的距離與桿長的比值，0≤m≤1。

該公式保持了傳統(tǒng)歐拉梁穩(wěn)定性計(jì)算公式的形式，通過長度因數(shù)μ確定梁的穩(wěn)定性臨界值。長度因數(shù)μ與加固的鉸支點(diǎn)的位置有關(guān)。鉸支加固點(diǎn)越靠近自由端，即m越大，壓桿的穩(wěn)定性臨界值越大。

(2) 通過擬合公式計(jì)算的壓桿臨界值與仿真軟件計(jì)算的結(jié)果誤差在0.5%以內(nèi)，因此使用擬合公式進(jìn)行計(jì)算壓桿臨界值能夠大幅節(jié)約時(shí)間，提高了工作效率。

(3) 對于懸臂梁，在梁的正中間進(jìn)行鉸支加固，其穩(wěn)定性臨界值提升約為2.55倍(μ(0.5)-2/μ(0)-2)，因此對于本文研究背景中提到的浮標(biāo)支撐桿，在其中間部進(jìn)行加固，可以使得安全系數(shù)達(dá)到5以上，滿足工程設(shè)計(jì)需要。