大跨越導線微風振動波的色散關系分析

陳曉娟， 王璋奇

(1.華北電力大學 能源動力與機械工程學院，河北 保定 071003； 2.內蒙古科技大學 機械工程學院，內蒙古 包頭 014010)

0 引 言

微風振動是架空導線發(fā)生最為頻繁的風振之一，長時間的高頻微幅累積運動，使得架空線常常在高應變點發(fā)生疲勞斷股、甚至斷裂，威脅導線的使用壽命和線路的運行安全[1]。對導線微風振動的認識與研究由來已久，從對導線結構模型的描述來看，主要經歷了二維靜止圓柱[2]和強迫振動圓柱的尾流特性研究[3]、到彈簧振子模型的強迫振動特性分析[4]、均勻流中剛性節(jié)段模型的尾流特性[5]和渦激振動特性[6]研究，到現(xiàn)階段考慮空間相關性的長柔性結構模型的微風振動特性研究[7-9]，這一過程也體現(xiàn)了對導線微風振動認識的逐步深入和技術手段的提高。

大跨越導線的幾何結構具有典型的長柔性圓柱結構特點，長徑比(單檔導線長度和直徑之比)高達104～105，同時架空導線一般采用多股細金屬絲絞合而成，剛度對其懸掛空間曲線形狀影響很小，一般來說承受拉力而不能承受彎矩[10]。研究導線的微風振動特性時，常常采用一維連續(xù)弦模型[9，11]描述其結構運動特性。對外界激勵的響應分析一般采用振動模態(tài)法或行波法。前一種方法將駐波視為振型，將結構的振動看作是各階振動模態(tài)的疊加；后一種方法將振動視為彈性擾動在結構介質中的傳播，形成結構行波力學模型。振動模態(tài)法忽視了擾動傳播速度的有限性，對大型結構、柔性結構等計算結果偏差較大[12]。而行波法不僅能直接給出結構的固有頻率、振型和瞬態(tài)響應，還可以有效地研究結構系統(tǒng)在邊界、接頭等不連續(xù)處的能量傳遞規(guī)律以及阻尼結構中波的衰減吸收等，更符合動力響應的物理本質，因而在研究長柔導線微風振動特性時表現(xiàn)出優(yōu)越性。

國內外對結構振動波特性開展了一些研究工作，大多局限于與實波數(shù)相關的波。文獻[13]對復合材料層合板在沖擊載荷作用下的瞬態(tài)波動特性開展了研究。文獻[14，15]從不同角度對梁模型中振動波的建模、傳播特性及其主動控制進行研究。

色散關系反映了結構模型振動的共同特征，決定了所描述系統(tǒng)自由運動的模態(tài)，而且在強迫運動中也會包含這些自由運動的模態(tài)。長柔導線系統(tǒng)的固有頻率非常密集，因而尾流漩渦脫落與結構頻率的鎖定，往往形成的是多模態(tài)[16，17](一定頻率帶寬范圍)的鎖定，即鎖定區(qū)的風激勵可看作多個不同頻率簡諧諧波的傅里葉疊加形成。因此在研究導線微風振動鎖定后的波動問題時，鎖定區(qū)振動所形成的橫波在導線中的傳播、衰減、色散特性可首先借助結構的色散關系進行定性分析。國內對輸電線路風振橫波色散規(guī)律的研究相對缺乏，尤其是對典型長柔導線模型色散關系的全面研究和對比分析，而根軌跡法可清晰直觀地反映出系統(tǒng)參數(shù)變化時，特征根在復平面內隨參數(shù)變化的移動軌跡，從而成為掌握和控制結構系統(tǒng)性能的重要途徑。

綜上，為全面認識連續(xù)弦模型在導線微風振動中的應用，本文建立典型導線模型的橫向運動方程，退化形成4中典型模型的色散關系；明確復波數(shù)虛、實部在導線微風振動波研究中的物理意義；引入根軌跡法，繪制復平面內4種模型色散關系的移動軌跡圖，分析復波數(shù)的虛、實部隨頻率和阻尼的變化規(guī)律，討論振動波在幾種典型結構模型中的傳播和衰減規(guī)律，以及波速隨阻尼和彈性剛度的色散規(guī)律，為架空導線微風振動波特性的研究提供基礎理論。

1 色散關系的推導

1.1 基本假設

(1)導線為均勻實體，不考慮導線各股之間的間隙和不連續(xù)性。

(2)導線內任意點的幾何變形可以利用其心形的位移和橫截面的轉動來表示。并假定變形前其心形線是一條直線。

(3)導線材料為粘彈性。

(4)在導線變形過程中，橫截面保持平面，并始終垂直于變形后的心線。

(5)對于導線的面內運動，假設變形過程中，導線始終處于x-o-y面內，且滿足小變形條件。

1.2 色散方程

基于架空導線的長柔性結構特點及微風振動的小位移特性，在上述假設的基礎上，將架空線簡化為沒有抗彎剛度的柔性弦，其微風振動橫向運動的控制方程表示如下：

(1)

式中：y為空間位置x處t時刻系統(tǒng)響應；T為水平張力；m為單位長度的質量；c為線性阻尼系數(shù)；k為等效彈性剛度；f為風激勵力。

假設方程中各系數(shù)均為恒值，將系統(tǒng)的行波解

y(x,t)=Aei(γx-ωt)或y(x,t)=Aeiγ(x-ut)

(2)

帶入式(1)中，可得系統(tǒng)的色散關系如下：

Tγ2-mω2-icω+k=0

(3)

式中：γ為橫波的波數(shù)，反應波在空間的傳播特性；ω為角頻率，反應波的時間特性；u為波速，u=ω/γ,單位時間內波的相位傳播速度；A為振動波的幅值。

色散關系將外部擾動在結構中形成的橫波的波數(shù)(或波長)、波速、頻率建立了聯(lián)系，可將波數(shù)看作波頻的函數(shù)或將波速看作波數(shù)的函數(shù)，求解色散式(3)將得到一組波數(shù)(速)解，它由頻率ω、阻尼c和結構本身的屬性決定，表示為

(4)

或

(5)

由式(3)知，弦模型的色散關系為二階方程，故存在兩種符號相反的波數(shù)(速)，響應橫波由兩種可能波動分量疊加形成。接下來討論用復波數(shù)γ來判別波動行為，以此作為模型微風振動行波解的分析基礎。

2 色散方程的物理意義

如式(4)所示，波數(shù)一般來說是復數(shù)。不失一般性，將色散方程解出的波數(shù)表示為γ=a+ib(a、b為實數(shù))，帶入行波解(2)，可得y(x,t)=Ae-bxei(ax-ωt)，討論復波數(shù)實部和虛部的取值：

(1)當a≠0，b=0時，波數(shù)γ為實數(shù)。y(x,t)=Aei(ax-ωt)。

在一維弦中，擾動以波的形式沿正負兩個方向傳播，傳播方向由波數(shù)的實部決定。實部a>0和a<0分別表示沿-x方向和+x方向行進的傳播波，波的相位傳播速度u=ω/|a|。

(2)當a=0，b≠0時，波數(shù)γ為虛數(shù)。y(x,t)=Ae-bxe-iωt。

從數(shù)學意義上，b表示系統(tǒng)波幅A在空間的衰減或增加，但從物理意義上來看，由于阻尼的存在，橫波在行進過程中波幅只能逐漸衰減而不能增大。圖1為任意時刻橫波在空間x>0時的運動狀態(tài)，可以看到，在b>0的情況下，y隨著傳播距離的增加而逐漸減小。當空間長度無限增大(無限遠離擾動位置)時，y→0。因此，對于b>0的情形，系統(tǒng)的擾動最終趨于消失，這符合系統(tǒng)在阻尼作用下響應幅值的變化規(guī)律，系統(tǒng)趨于穩(wěn)定。b<0的情況下，系統(tǒng)的運動隨著空間的增大而不斷增大，不論初始擾動多么微小，系統(tǒng)的擾動都會逐漸增長到非常大的數(shù)值，也就是說，一旦受到擾動，系統(tǒng)就永遠不可能再回到平衡狀態(tài)上去了。這樣的系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，顯然不符合實際導線的運動情況。因而b>0表示向x正方向的消逝波，b<0表示x負向的消逝波，此種情形下的擾動不能在結構中形成波動傳播。

圖1 系統(tǒng)在x>0時波幅隨b的變化規(guī)律Fig.1 Variation of amplitude with b (x>0)

(3)當a≠0，b≠0時，波數(shù)γ為復數(shù)。y(x,t)=Ae-bxei(ax-ωt)。

上述分析知，虛部b>0表示波幅沿+x方向衰減，b<0則對應波幅沿-x方向衰減；實部a>0和a<0分別表示沿-x方向和+x方向行進的傳播波。故復波數(shù)代表一列向某個方向傳播的波同時幅值向特定方向衰減。因此有y(x,t)=Ae-|b| xei(ax-ωt)。其中，A是波的幅值，復波數(shù)的虛部|b|是衰減波的衰減因子，|b|越大，單位距離上幅值衰減的程度越大，幅值完全衰減掉所需路程也越短；|b|越小，單位距離上幅值衰減的程度越小，幅值完全衰減掉所需路程也就越長。

3 色散關系的分析

上述分析知，復波數(shù)的實部和虛部對擾動在結構中形成的傳播波的行為有著明確的物理意義，實部決定了波傳播的方向和波長(速)，而虛部表明了波幅在空間的衰減。因此，了解結構特性對波數(shù)的影響以及波數(shù)隨頻率的變化對于掌握振動波的傳播行為是很重要的。為此將導線的結構模型退化為4種典型模型，如表1所示，分別討論其色散關系及根軌跡特點。

3.1 無阻尼無剛度模型

表1 4種典型導線模型的色散關系

根軌跡法是立足于復數(shù)域中一套完整的系統(tǒng)研究方法，研究系統(tǒng)某一參數(shù)從零變到無窮大時，系統(tǒng)特征方程的根在復平面上移動的軌跡。色散關系的根在復平面內的位置在計算諧激勵時的格林函數(shù)解時也有重要作用。這里借用根軌跡法來研究復平面內波數(shù)隨頻率、阻尼等參數(shù)的變化規(guī)律。

圖2 無阻尼弦模型中的橫波傳播示意圖Fig.2 Wave propagation in undamped string

經典弦模型在復平面γ域內的根軌跡如圖3所示，兩個波數(shù)分別落在實軸的正半軸和負半軸上，隨頻率增大波數(shù)絕對值相應增大。圖中，分別用實線、虛線表示不同根在復平面內隨頻率變化的軌跡圖，箭頭方向為頻率增加的方向。

圖3 無阻尼弦模型在復γ域的根軌跡Fig.3 Root locus for an undamped string in the complex γ-plane

3.2 無阻尼有剛度模型

ω>ωc，擾動頻率高于臨界頻率時，波數(shù)為兩個符號相反的實根。結構中存在一對行進方向相反的傳播波。

ω<ωc，擾動頻率低于臨界頻率時，波數(shù)為兩個符號相反的虛根，對應空間幅值變化但不能傳播的兩列方向相反的消逝波。考慮到分析的目的是判斷行波解存在的條件，就本文而言，這個虛波數(shù)解不是需要的解，因為它不能在結構中形成傳播，但是這個解在瞬時載荷問題和邊界耦合問題中有重要作用。

ω=ωc，為結構中橫波從傳播到不傳播的臨界頻率值，此時對應波數(shù)γ=0。模型的運動形式可表示為y=Aexp(-iωct)。此頻率下擾動沒有引起結構的空間波動，而形成類似于彈簧振子的上下往復運動形態(tài)。

為將模型的色散關系更加形象的表達出來，分別繪制了模型的頻譜圖以及色散曲線，如圖4、圖5所示。

圖4 有剛度弦模型的頻譜圖Fig.4 Frequency spectrum for a stiffness string model

圖5 有剛度弦的色散曲線Fig.5 Dispersion curve for a stiffness string

如圖4所示，設定頻率ω為正實數(shù)，波數(shù)γ在實平面內曲線分支為雙曲線，虛平面內的分支曲線為橢圓線。實平面內的兩條直線(虛線)表示k=0時經典弦的頻譜曲線。由u=ω/γ知，相速度恰為頻譜曲線任意一點與原點連線構成的斜率，而經典弦模型的直線頻率圖也表明該模型無色散現(xiàn)象出現(xiàn)。

頻譜曲線能夠較好的反映出模型的色散特性，而實際關心的僅是波數(shù)的虛實和正負，根軌跡圖能較好地反映出這樣的特性。故下文僅分析模型在復γ平面內的根軌跡特性。如圖6所示，實線為正根，虛線為負根，箭頭方向為頻率增大的方向。隨著頻率的增大，逐漸超過臨界頻率時，兩個根從虛軸轉向實軸，臨界頻率ω=ωc為圖中的交匯點。如圖中實線所示，隨頻率增大，正虛根(波數(shù))絕對值逐漸減小趨近于零，當ω>ωc時，波數(shù)轉向正實軸，隨頻率增大波數(shù)絕對值逐漸增大；虛線所示波數(shù)情況類似。顯然，無阻尼有剛度模型，隨頻率變化導線模型的波數(shù)均落在實軸或虛軸上，為純實數(shù)或純虛數(shù)，振動波的傳播特性對應第2節(jié)中色散方程物理意義的前兩種情形。

圖6 有剛度弦在復γ平面內的根軌跡圖Fig.6 Root locus for a stiffness string in the complex γ-plane

3.3 有阻尼無剛度模型

上述分析中認為能量守恒，當考慮振動波在傳播過程中的能量耗散時，根軌跡將在復平面內發(fā)生扭曲，這里僅考慮恒定阻尼模型。

實軸(Reγ=0)兩側的兩條軌跡線分別對應于不同的阻尼c條件，從圖7中知，當阻尼增大時，波數(shù)的虛部絕對值增大，意味著波幅在空間的衰減效應顯著。阻尼恒定時，箭頭方向表示頻率增大的方向，從圖中來看，低頻階段，頻率增大，虛部數(shù)值快速上升，意味著低頻時，振動波空間幅值的衰減效應明顯，且與頻率變化關系密切；而高頻時，振動波的波數(shù)基本恒定(阻尼恒定時)，高頻振動波幅在空間的衰減不再受波頻的影響。

圖7 有阻尼弦在復γ域內的根軌跡Fig.7 Root locus for a damped string in the complex γ-plane

由表1知，大部分頻率范圍內(尤其是高頻時)，γ→∞，u→u0，阻尼對結構的色散現(xiàn)象影響很小，就導線的小阻尼和高頻振動特性而言，阻尼對結構色散關系的影響可忽略不計。

3.4 有阻尼有剛度模型

圖8 有阻尼有剛度弦模型在復γ域內的根軌跡Fig.8 Root locus for a damped stiffness string in the complex γ-plane

4 結 論

基于大跨越導線橫向微風振動的線性方程，應用行波法，構造了彈性擾動在結構介質中傳播的形式解。推導了考慮彈性剛度和系統(tǒng)阻尼的導線橫向振動方程的色散關系，討論了四種典型結構中波的傳播、衰減特性和色散規(guī)律，分析了彈性剛度和阻尼對其產生的影響。

(1)波數(shù)、頻率以及波速構成的色散關系決定了結構中橫波的傳播特性。就本文構造行波解，復波數(shù)的實部決定了波傳播的方向和波長，虛部決定了波幅在空間的衰減特性。

(2)所建模型中彈性剛度和系統(tǒng)阻尼對擾動在結構中產生的振動波的傳播、衰減和色散特性有顯著影響。

(4)阻尼是結構中振動波衰減行為的控制參數(shù)。有阻尼無剛度模型中的橫波為沿正、反方向的衰減傳播波，阻尼的增大使得波幅在空間的衰減效應顯著，阻尼對結構色散現(xiàn)象的影響不大；由于阻尼的存在，有剛度有阻尼模型在實頻域范圍內不存在明確的波傳播模式發(fā)生轉變的臨界頻率ωc，但存在相似的波動變化趨勢。