水輪機模型綜合特性曲線數(shù)值處理方法研究

陳 玉，王 煜，戴凌全

(三峽大學 水利與環(huán)境學院，湖北 宜昌 443002)

1 研究背景

水輪機模型綜合特性曲線反映了水輪機的流量、轉(zhuǎn)輪轉(zhuǎn)速、效率及導葉開度等各參數(shù)間的非線性關(guān)系[1]，在水輪機選型、水電站優(yōu)化運行及計算機仿真過程中，均需要對其進行數(shù)值處理來查詢各計算工況點的特征參數(shù)[2]。模型綜合特性曲線上的數(shù)據(jù)來自于水輪機模型能量實驗和汽蝕實驗，而實驗工況有一定的局限性，無法反映出水輪機非實驗工況點的工況數(shù)值。因此，需要在由實驗工況結(jié)果數(shù)據(jù)繪制的模型綜合特性曲線的基礎(chǔ)上對水輪機運行區(qū)域進行相關(guān)參數(shù)的數(shù)值拓撲。

目前，水輪機模型綜合特性曲線的數(shù)值處理主要有插值法和擬合法兩大類。數(shù)值插值方法又可分為基于離散點的插值和網(wǎng)格數(shù)值插值，前者主要是進行3次樣條插值[3]，較線性插值、最鄰近插值及三次多項式插值，3次樣條插值可解決分界面處的導數(shù)不連續(xù)問題，數(shù)據(jù)的平滑性最佳，但在輸入數(shù)據(jù)分布不均或數(shù)據(jù)點間距過近時將產(chǎn)生錯誤[4]。同時，3次樣條插值是依次對每1條等開度曲線或等效率曲線進行處理，操作量較大；后者包括規(guī)則的矩形網(wǎng)格插值及不規(guī)則的三角形網(wǎng)格插值[5-6]，這種插值方法將綜合特性曲線視作單位流量-單位開度為基準平面，導葉開度或效率為高程的空間曲面，進行類等高線處理，可得到較為準確的結(jié)果，但這種處理方法對網(wǎng)格的質(zhì)量有著較高的要求，網(wǎng)格質(zhì)量直接影響數(shù)據(jù)插值結(jié)果。非線性擬合方法主要有二元多項式擬合[7]及神經(jīng)網(wǎng)絡擬合。

二元多項式擬合主要是基于最小二乘法，對各等開度曲線及等效率曲線分別用多項式表示，各參數(shù)間的相關(guān)關(guān)系描述較為準確，但這種方法需要對表達式的階次進行試算，同時由于是對每一條曲線的分別擬合，操作量極大。當前神經(jīng)網(wǎng)絡的處理方法主要有RBF神經(jīng)網(wǎng)絡[8]和BP神經(jīng)網(wǎng)絡[9-11]。這兩種處理方法均能以一種未知的擬合關(guān)系準確描述水輪機模型綜合特性曲線，但各有優(yōu)缺點。RBF神經(jīng)網(wǎng)絡訓練時間更短，逼近精度較低，易受分散常數(shù)的影響，且分散常數(shù)的選取沒有具體的方法，只能嘗試選取；而BP神經(jīng)網(wǎng)絡有著更好的逼近精度，但存在局部極小和訓練時間長等缺陷[12]。

不同的水輪機模型綜合特性曲線數(shù)值處理方法可能得到不同的計算結(jié)果，各結(jié)果間的差別及反映的各參數(shù)間相關(guān)關(guān)系的差異性未知[13-15]，從而可能造成水輪機實際運行與預估值間產(chǎn)生較大的差異，嚴重影響水輪機的安全和經(jīng)濟運行。為比較不同數(shù)值處理方法對水輪機模型綜合特性曲線數(shù)值處理的準確性和適用性，得到各數(shù)值處理方法的適用范圍?？紤]到在數(shù)據(jù)插值處理中，網(wǎng)格插值是基于面的插值，離散點插值是基于線或者點的插值，均是依賴于數(shù)據(jù)的平滑性，但基于面的插值含括了線的插值且不需要單獨對每條曲線進行處理，其操作更為簡單；同時，在基于網(wǎng)格剖分的面的插值中，考慮到廠家給定各等開度曲線及等效率曲線之間的間隔不一致，采用矩形網(wǎng)格插值在網(wǎng)格剖分過程中必然會出現(xiàn)較差的網(wǎng)格質(zhì)量，進一步影響插值結(jié)果，所以不規(guī)則的三角形網(wǎng)格插值可能更為適用；而在非線性擬合的處理中，高階曲面擬合可獲得明確的表達關(guān)系式，神經(jīng)網(wǎng)絡擬合得到的權(quán)值閾值矩陣已知，但具體的表達關(guān)系未知，二者的處理具有對比分析的意義，而BP神經(jīng)網(wǎng)絡較RBF神經(jīng)網(wǎng)絡的操作更為簡單。因此，本文以A858a-36.6水輪機模型綜合特性曲線資料為例，分別進行基于最小二乘法的高階曲面擬合、基于不規(guī)則三角形剖分的三維空間曲面插值及BP神經(jīng)網(wǎng)絡擬合，并以數(shù)據(jù)處理值與樣本真實值間相對誤差和的大小作為基準，對這3種數(shù)值處理的結(jié)果進行比較，評判其數(shù)值處理精度，探討各方法的適用范圍，研究結(jié)果對水輪機模型綜合特性曲線的數(shù)值處理有一定的參考價值。

2 水輪機模型綜合特性曲線的離散

圖1為A858a-36.6型水輪機模型綜合特性曲線模型綜合特性曲線。圖1中包括：(1)等開度曲線，即導葉開度a為常數(shù)時，單位流量Q11與單位轉(zhuǎn)速n11的關(guān)系曲線；(2)等效率曲線，即效率η為常數(shù)時，單位流量Q11與單位轉(zhuǎn)速n11的關(guān)系曲線；(3)5%出力限制曲線，規(guī)定水輪機只能在95%的最大處理范圍以內(nèi)工作，其余的5%出力作為裕量；(4)運轉(zhuǎn)區(qū)域，即水輪機正常工作區(qū)間在綜合特性曲線上的投影區(qū)域。

圖1 A858a-36.6型水輪機模型綜合特性曲線(試驗水頭：30m)

通常，廠家提供的水輪機模型綜合特性曲線為圖形資料中給出的單位流量Q11、單位轉(zhuǎn)速n11、效率η及導葉開度a之間的相互關(guān)系。為確定參數(shù)Q11-(n11,a)、η-(n11,a)的相關(guān)關(guān)系，需要先將圖中的曲線處理成一系列的離散點，即為水輪機綜合特性曲線的離散化及數(shù)據(jù)提取。特性曲線的數(shù)據(jù)提取有3種方法，即直接離散提取法、正交網(wǎng)絡離散點提取法和非正交網(wǎng)絡離散點提取法[16]。在實際的處理過程中，采用直接離散提取法即可獲得滿足條件的離散點，同時操作也較為簡單。在進行直接離散提取數(shù)據(jù)的過程中，采用如下方法：將圖像資料導入CAD軟件中，新建圖層繪制出相應各曲線，并外載入AutoLisp語言逐點輸出坐標。依此提取了等開度曲線的88 024組工況離散點及等效率曲線的227 712組工況離散點，基于等效率曲線的數(shù)值處理與等開度曲線一致，本文主要以等開度曲線為樣本進行數(shù)值處理及比較。

3 高階曲面擬合法

3.1 高階曲面擬合處理

高階曲面擬合法以最小二乘法[17]為理論基礎(chǔ)，通過改變自變量的階次，使得所確定的擬合關(guān)系盡可能多地通過原始樣本點。其具體算法如下：

對于等開度曲線的離散點(n11,a,Q11)，非線性關(guān)系下各參數(shù)的階次未知，尋求一高階多項式：

(1)

使得總誤差為最小。

(2)

公式(2)可看作多元函數(shù)的極值問題：

(3)

式中：ωi和υi分別為最小二乘法擬合的表達關(guān)系式所對應的n11和a項的系數(shù)。

單位轉(zhuǎn)速及導葉開度的階次人為擬定，再代入公式(3)求解各階次對應的參數(shù)權(quán)值及擬合表達式；然后通過擬合關(guān)系反向求解各樣本值對應的數(shù)據(jù)求解值與真實值間的誤差，比較確定最小誤差所對應的導葉開度及單位轉(zhuǎn)速的階次，從而得到高階曲面擬合的表達關(guān)系式。

3.2 高階曲面擬合結(jié)果

基于最小二乘法的高階曲面擬合，以誤差值作為基準進行比較試算，求解得到單位轉(zhuǎn)速的階次為3次，導葉開度的階次為2次。關(guān)系表達式如下：

(4)

式中：p為系數(shù)，是一個95%置信區(qū)間內(nèi)的值；Q11為單位流量，L/s；n11為單位轉(zhuǎn)速，r/min；a為導葉開度，mm。

在XYZ空間內(nèi)繪出等開度曲線點及擬合的曲面，如圖2所示。由圖2可看出，擬合的曲面基本能通過所有的離散點，且曲面的光滑度較好；同時，該擬合關(guān)系下殘差的平方為0.999 3(殘差的平方值在閉區(qū)間[0,1]范圍內(nèi)，越接近于1認為擬合效果越好)，可認為該映射關(guān)系擬合度較高。

圖2 等開度曲線點及高階擬合曲面

4 三維空間曲面插值

4.1 三維空間曲面插值方法

水輪機模型綜合特性曲線中的等開度曲線(Q11,n11,a)及等效率曲線(Q11,n11,η)可看作一系列以開度a或效率η為高程，以(Q11,n11)為基底二維坐標的等高線圖所形成的投影。因此，可以將這種二維的等高線圖還原為三維的空間曲面進行處理。在空間曲面的處理過程中，網(wǎng)格的質(zhì)量直接決定了曲面的順滑程度，進而影響最終的插值結(jié)果。而Delaunay方法網(wǎng)格生成效率高，可以直接推廣到三維問題，能保證水輪機模型綜合特性曲線還原的三維空間曲面較為順滑[18]。

Delaunay方法[19]利用已知點集將已知平面劃分為凸多邊形，保證每個三角形的外接圓內(nèi)不存在除自身三個角點外的其他點，以期得到等邊的高質(zhì)量三角形單元。網(wǎng)格的剖分是基于以(Q11，n11)為基底的二維坐標，第三維數(shù)據(jù)開度的確立基于三次立方插值[20]，其基本原理是通過待插值位置周圍最鄰近點的4×4鄰域的16個點的值按照一定比例加權(quán)平均得到插值結(jié)果。待完成插值后，將三維曲面還原到等高線即可得到插值結(jié)果。

4.2 三維空間曲面插值結(jié)果

對離散后的二維等開度曲線進行三維空間曲面插值，三維空間曲面插值處理結(jié)果見圖3。由圖3可看出，網(wǎng)格劃分質(zhì)量較差，局部甚至出現(xiàn)了網(wǎng)格間隙過大的問題(圖3(a))。然后將三維空間曲面還原成一系列以導葉開度為高程的等高線，并與原始數(shù)據(jù)進行比較，二者間的差距也較大(圖3(b))。在還原后的等高線圖中，部分等高線處甚至出現(xiàn)了曲線的“回旋”，而這部分錯誤比較大的插值結(jié)果也恰好與較差的網(wǎng)格質(zhì)量相為對應。

圖3 三維空間曲面插值處理結(jié)果

4.3 改進的三維空間曲面插值結(jié)果

由于單位流量與單位轉(zhuǎn)速的量綱不一致，而忽略這種不一致直接進行網(wǎng)格剖分，將導致網(wǎng)格質(zhì)量較差，影響插值結(jié)果?；诖?，考慮對單位流量與單位轉(zhuǎn)速同時進行去量綱化處理。將等開度曲線導入CAD軟件，如圖4所示，圖4中所示樣本點在等開度曲線中的含義是：導葉開度為16 mm，單位流量為700 L/s，單位轉(zhuǎn)速為90 rad/s所對應的工況點。轉(zhuǎn)換到CAD圖中，該點對應以(295.787 6,135,8 405)為基底坐標，等高線高程為16 mm的數(shù)值點。此時，單位流量與單位轉(zhuǎn)速的值均由平面基底坐標所代替，轉(zhuǎn)換為兩個無量綱的純數(shù)值。將等開度曲線在CAD圖中所處的位置坐標命名為“像素坐標”，像素坐標值與曲線工況點數(shù)值在插值前后的對應關(guān)系，即為二者之間的映射。

圖4 等開度曲線原始坐標映射變換示意圖

對等開度曲線進行坐標轉(zhuǎn)換，再進行不規(guī)則三角形網(wǎng)格剖分及三次立方插值，繪成的等開度像素坐標曲面如圖5(a)所示，與直接用等開度曲線繪成的曲面3(a)相比，進行映射變換后形成的等開度曲面明顯網(wǎng)格質(zhì)量更好，曲面也更加平滑。然后根據(jù)三維空間曲面的特點，將導葉開度視作等高線高程，依據(jù)等高線的性質(zhì)對曲面進行還原，即將等開度曲面再次投影到二維平面，如圖5(b)所示。經(jīng)過映射變換后的插值結(jié)果較圖3(b)，曲線與原始數(shù)據(jù)明顯更加吻合，也證明了這種去量綱化的映射變換的必要性，及三維空間曲面插值法的準確性。

圖5 改進的三維空間曲面插值處理結(jié)果

5 BP神經(jīng)網(wǎng)絡擬合

5.1 BP神經(jīng)網(wǎng)絡的數(shù)值拓撲

基于大量試算基礎(chǔ)，在進行BP神經(jīng)網(wǎng)絡[21]的非線性擬合過程中，采用典型的雙輸入(單位轉(zhuǎn)速n11及導葉開度a)、單輸出(單位流量Q11)的雙層BP神經(jīng)網(wǎng)絡，水輪機模型綜合特性曲線BP神經(jīng)網(wǎng)絡數(shù)值拓撲結(jié)構(gòu)如圖6所示。由15個神經(jīng)元組成(圖6)。由于BP神經(jīng)網(wǎng)絡對各參數(shù)較為敏感，訓練之前，為了保證擬合精度，對各參數(shù)需要進行歸一化，將各變量轉(zhuǎn)化為[-1,1]范圍內(nèi)的同一量綱的數(shù)值。神經(jīng)網(wǎng)絡隱層神經(jīng)元之間采用標準的log-sigmoid函數(shù)進行傳遞：

圖6 水輪機模型綜合特性曲線BP神經(jīng)網(wǎng)絡數(shù)值拓撲結(jié)構(gòu)

(5)

在經(jīng)過神經(jīng)網(wǎng)絡的非線性擬合，且確定好權(quán)值矩陣及閾值矩陣后，最終的非線性擬合關(guān)系可以表示為：

(6)

5.2 BP神經(jīng)網(wǎng)絡數(shù)值化結(jié)果

將離散后的等開度曲線工況點進行歸一化，隨機取其90%樣本容量的離散點為訓練樣本，按上述原理經(jīng)過BP神經(jīng)網(wǎng)絡的訓練和擬合，然后以剩下的10%樣本容量點為檢驗樣本，利用擬合好的非線性關(guān)系進行樣本檢驗，取“(擬合結(jié)果-真實數(shù)值)/真實數(shù)值”所得到的相對誤差為評判準則，若這種相對誤差較大，則重新擬合，直至滿足精度要求，最終處理結(jié)果如圖7所示。由圖7(a)可知，BP神經(jīng)網(wǎng)絡擬合的樣本與檢驗樣本之間的相對誤差在范圍±0.004內(nèi)，擬合度較好?；跀M合好的非線性關(guān)系，設(shè)置樣本點的單位轉(zhuǎn)速-導葉開度為輸入值，得到擬合的單位流量結(jié)果，進一步繪制BP神經(jīng)網(wǎng)絡擬合后的等開度曲面與原始的等開度曲線。如圖7(b)所示，擬合后的曲面光滑度較好，且基本能通過所有的離散點，擬合度較高。

圖7 BP神經(jīng)網(wǎng)絡處理結(jié)果

6 水輪機模型綜合特性曲線多方法數(shù)值處理比較

6.1 多方法數(shù)值處理精度比較

對等開度曲線分別進行高階曲面擬合、三維空間曲面擬合及BP神經(jīng)網(wǎng)絡擬合后，可知這3種方法均適用于水輪機模型綜合特性曲線的數(shù)值處理。為比較這3種方法的處理精度，以數(shù)值處理值和原始樣本值間的相對誤差的累加值為基準：

(7)

式中：ε為相對誤差的累加值；ri為樣本點的真實值;di為數(shù)值方法處理值;n為樣本點的總個數(shù)。

對各開度曲線的擬合精度按公式(7)計算得到的結(jié)果如表1所示。由表1中數(shù)據(jù)可以直觀的看出，對比這3種數(shù)值處理方法，高階曲面擬合法的相對誤差值最大，其精度也最差，但它在這3種方法中確最為簡單；三維空間曲面插值及BP神經(jīng)網(wǎng)絡擬合方法均具有較高的精度，其中三維空間曲面插值的相對誤差累加值是最小的，其精度最高。但這兩種方法在處理時均需要對離散數(shù)據(jù)進行一定工作量的前處理及數(shù)值變換，三維空間曲面插值需要對數(shù)據(jù)進行去量綱化及映射變換，BP神經(jīng)網(wǎng)絡擬合則需要進行歸一化及反歸一化的數(shù)值處理。

表1 水輪機模型綜特性曲線在不同導葉開度下3種數(shù)值處理方法的相對誤差比較

6.2 多方法數(shù)值處理適用范圍探討

高階曲面擬合法具有最差的精度，但這種處理較三維空間曲面插值及BP神經(jīng)網(wǎng)絡擬合，其明顯的優(yōu)勢體現(xiàn)在可以求解得到一個已知權(quán)值的映射關(guān)系，可以粗略地反映出各參數(shù)間的相關(guān)關(guān)系。此外，高階曲面擬合較三維空間曲面插值而言，不需要進行數(shù)據(jù)的去量綱化處理；較BP神經(jīng)網(wǎng)絡擬合法而言，不需要進行反復的訓練。其操作時間最短，平均耗時3 s左右，可以在短時間內(nèi)獲取一個粗略的表達式。

三維空間曲面插值雖然具有最高的精度，但由于構(gòu)成三維曲面的網(wǎng)格質(zhì)量直接影響最終的插值結(jié)果，因而在使用這種方法時，為了構(gòu)造出最佳的網(wǎng)格，必須找到某一特定的對應映射關(guān)系，將參量轉(zhuǎn)換為同一量綱下的數(shù)值，最后再根據(jù)同一映射關(guān)系將處理后的數(shù)據(jù)進行還原操作。因此，三維空間曲面插值更適用于純圖像類型或可視化問題的數(shù)據(jù)處理。同時，在進行三維空間曲面插值后的等高線處理時，可看到在邊界處(如本算例中的a=6 mm及a=28 mm的等開度曲線)，三維空間曲面插值結(jié)果并不好(圖5(b))。因此，三維空間曲面插值更適用于邊界條件已知(如已知等開度曲線a=0)時的工況；或者將處理范圍擴大，如本算例中欲獲得a=28 mm時的插值結(jié)果，可以再處理a=30 mm時的等開度曲線結(jié)果，使a=28 mm時的等開度曲線由邊界條件變?yōu)閮?nèi)部條件，以減小誤差。

BP神經(jīng)網(wǎng)絡擬合較高階曲面時會耗費更多的時間，由于對大容量樣本進行隨機選擇，根據(jù)每次選擇的樣本質(zhì)量的不同，訓練擬合的時長也有所不同，耗時在124～980 s之間不等。同時，為了檢驗BP神經(jīng)網(wǎng)絡的處理對樣本容量的需求量，用數(shù)值提取軟件共提取了等開度曲線上的869組工況離散點(遠小于CAD軟件提取的88 024組工況離散點)，進行歸一化-訓練-檢驗-反歸一化，也以相對誤差為檢驗值，當小樣本容量的相對誤差范圍達到±0.004(同大容量樣本時的相對誤差范圍一致)時停止訓練，并用訓練好的關(guān)系進行擬合，按公式(7)計算出各等開度曲線對應的相對誤差累加值，計算結(jié)果如圖8所示。圖8顯示，大樣本容量下的BP神經(jīng)網(wǎng)絡擬合精度要明顯高于小樣本容量。因此，BP神經(jīng)網(wǎng)絡適用于映射關(guān)系未知時的數(shù)據(jù)處理，可作為三維空間曲面插值的一種補充處理，在數(shù)據(jù)樣本容量越大時其處理精度也越高。

圖8 BP神經(jīng)網(wǎng)絡擬合不同樣本容量時的相對誤差

7 結(jié) 論

(1)高階曲面擬合、三維空間曲面插值及BP神經(jīng)網(wǎng)絡均可以對水輪機模型綜合特性曲線進行數(shù)值處理。高階曲面擬合基于最小二乘法，可以得到具體的映射關(guān)系；三維空間曲面插值依托于Delaunay三角網(wǎng)剖分及三次立方插值，然后由等高線的性質(zhì)還原數(shù)據(jù)，其精度最高；BP神經(jīng)網(wǎng)絡則借助于其強大的非線性逼近能力，對權(quán)值進行修正，得到準確的擬合關(guān)系。

(2)這3種不同的數(shù)值處理方法在具體使用中均具有各自的優(yōu)缺點：高階曲面擬合較三維空間曲面插值及BP神經(jīng)網(wǎng)絡擬合，具有最差的精度，但其直接對離散值進行擬合，操作最為簡單，處理時間最短；三維空間曲面插值及BP神經(jīng)網(wǎng)絡擬合均有較高的處理精度，但二者均需要對離散數(shù)值進行轉(zhuǎn)換及處理——三維空間曲面插值需要對離散值進行坐標的映射變換，BP神經(jīng)網(wǎng)絡則需要進行數(shù)據(jù)的歸一化；在進行相應的數(shù)值處理后，三維空間曲面插值又需要再一次將像素坐標轉(zhuǎn)換為實際數(shù)值，BP神經(jīng)網(wǎng)絡則需要進行反歸一化處理。同時，三維空間曲面插值的數(shù)據(jù)處理較BP神經(jīng)網(wǎng)絡繁瑣，但在得到精細的網(wǎng)格之后，可以直接插值得到準確的結(jié)果；而BP神經(jīng)網(wǎng)絡則需要較長的訓練時間，要經(jīng)過多次訓練才可以得到一個精度較高的擬合結(jié)果。

(3)高階曲面擬合適用于在短時間內(nèi)粗略地獲得水輪機模型綜合特性曲線的各參數(shù)間的相關(guān)關(guān)系；三維空間曲面插值適用于純圖像類型或可視化問題，且已知邊界處相關(guān)關(guān)系時的數(shù)據(jù)處理；BP神經(jīng)網(wǎng)絡擬合則可作為三維空間曲面插值的補充處理，尤其在樣本容量更多時，其擬合精度也更高。