T?S模糊模型在單級倒立擺中的控制研究

朱嶸濤 陳希湘

摘? 要： 文中主要研究單級倒立擺的模糊控制，首先根據(jù)單級倒立擺數(shù)學(xué)模型和T?S模糊規(guī)則，采用三角隸屬函數(shù)實現(xiàn)對倒立擺擺角的模糊化，接著對T?S模糊控制器的方法作了具體介紹，并給出T?S模糊系統(tǒng)穩(wěn)定的判定依據(jù)，即線性矩陣不等式，然后運用YAPLMI工具箱對線性矩陣不等式求解出控制器的增益，最后采用并行分布式補償?shù)姆椒ㄔO(shè)計出單級倒立擺的T?S模糊控制器，并對兩種模糊規(guī)則的控制器進行了深入對比研究。實際測試結(jié)果表明，8條模糊規(guī)則的控制器在角速度最大值和盲區(qū)控制上的表現(xiàn)都優(yōu)于4條模糊規(guī)則的控制器，且能在不超過2.3 s時間內(nèi)實現(xiàn)對倒立擺角度和角速度的有效控制，因此在相應(yīng)的控制領(lǐng)域應(yīng)優(yōu)先采用8條模糊規(guī)則的控制器。

關(guān)鍵詞： 模糊控制; T?S模糊模型; 單級倒立擺; 系統(tǒng)設(shè)計; 并行分布式補償; 仿真測試

中圖分類號： TN876?34; TP242? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻標識碼： A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號： 1004?373X（2020）08?0179?04

Control of T?S fuzzy model in single inverted pendulum

ZHU Rongtao， CHEN Xixiang

（Yangtze University College of Technology & Enginerring， Jingzhou 434020， China）

Abstract： The fuzzy control of the single inverted pendulum is mainly studied. On the basis of the mathematical model of single inverted pendulum and T?S fuzzy rules， the fuzzification of inverted pendulum′deflection angle is realized by means of the triangular membership function. The method of T?S fuzzy controller is introduced in detail， and the criterion for judging the stability of T?S fuzzy system??linear matrix inequality is given. The gain of the controller is solved with the YAPLMI toolbox. The T?S fuzzy controller of single inverted pendulum is designed by means of the method of parallel distributed compensation， and two kinds of fuzzy rule controllers are comparative studied in detail. The actual testing results show that the performance of the controller with 8 fuzzy rules is better than that of the controller with 4 fuzzy rules in the maximum angular velocity and blind area control. It can effectively control the angle and angular velocity of inverted pendulum in no more than 2.3 s. Therefore， the controller with eight fuzzy rules should be preferred in the corresponding control field.

Keywords： fuzzy control; T?S fuzzy model; single inverted pendulum; system design; parallel distributed compensation; simulation test

單級倒立擺系統(tǒng)是一種特殊的單力臂機器人被控對象，是一種復(fù)雜的非線性、多變量、強耦合和快速運動的不穩(wěn)定系統(tǒng)，也是檢驗新的控制理論和方法有效性的典型理想模型[1?2]。它具有線性的T?S模糊模型，采用模糊規(guī)則的方法，并利用系統(tǒng)局部信息和專家控制經(jīng)驗，可在極高精度下擬合實際被控對象，且T?S模糊系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件可用線性矩陣不等式的形式表達出來[3]。

1? 系統(tǒng)整體設(shè)計

文中首先根據(jù)單級倒立擺數(shù)學(xué)模型和T?S模糊規(guī)則，采用三角隸屬函數(shù)實現(xiàn)了對倒立擺擺角的模糊化，接著對T?S模糊控制器的方法作了具體介紹，并給出T?S模糊系統(tǒng)穩(wěn)定的判定依據(jù)（線性矩陣不等式），然后運用YAPLMI工具箱對線性矩陣不等式進行求解，得出控制器的增益，最后采用并行分布式補償（Parallel Distributed Compensation）的方法設(shè)計出單級倒立擺的T?S型模糊控制器，并對兩種模糊規(guī)則的控制器進行了深入對比研究。

2? 單級倒立擺模型

倒立擺系統(tǒng)的控制問題一直是控制研究中的一個典型問題?？刂频哪繕耸峭ㄟ^給小車底座施加一個力（控制量），使小車停留在預(yù)定的位置，并使擺不倒下，即不偏離事先設(shè)定好的角度范圍[3?5]。

單級倒立擺模型公式如下：

式中：[x1]為擺的角度;[x2]為擺的角速度;l為擺長;u為加在小車上的控制輸入;M和m分別為小車和擺的質(zhì)量。

3? T?S模糊規(guī)則

對于具有n個變量、m個輸入的非線性系統(tǒng)，其T?S模糊模型可用r條模糊規(guī)則來描述[6?8]：

式中：[xj]為第j個狀態(tài)變量;[Mij]為第i條規(guī)則的第j個隸屬函數(shù);x為狀態(tài)向量;u為控制輸入向量。

根據(jù)模糊系統(tǒng)的反模糊定義，由模糊規(guī)則式（2）構(gòu)成的模糊模型總的輸出為：

式中：ωi為規(guī)則i的隸屬函數(shù)，依據(jù)每條T?S模糊規(guī)則，采用狀態(tài)反饋方法，可以設(shè)計出r條模糊控制規(guī)則：

根據(jù)模糊系統(tǒng)的反模糊化定義，針對連續(xù)非線性系統(tǒng)表達式（2），按照模糊規(guī)則式（4），采用并行分布式補償?shù)姆椒ㄔO(shè)計出的T?S模糊控制器為：

根據(jù)T?S模糊規(guī)則的式（2），可以設(shè)計出單級倒立擺的8條模糊規(guī)則：

根據(jù)單級倒立擺的8條模糊規(guī)則，采用三角形隸屬函數(shù)實現(xiàn)對擺角x的模糊化，如圖1所示。

4? T?S模糊系統(tǒng)穩(wěn)定的判定依據(jù)

當(dāng)T?S模糊系統(tǒng)滿足線性不等式（LMI）的要求時，該T?S模糊系統(tǒng)能穩(wěn)定運行。具體如下[9]：存在正定矩陣Q，滿足下面條件時，T?S模糊系統(tǒng)漸進穩(wěn)定：

根據(jù)式（6），可以寫出基于8條模糊規(guī)則的倒立擺線性矩陣不等式。

5? T?S模糊控制器的設(shè)計

根據(jù)倒立擺的的運動情況，設(shè)計8條模糊控制規(guī)則：

采用并行分布式補償?shù)姆椒ǎ鶕?jù)式（5）設(shè)計基于8條模糊規(guī)則的控制器，具體表達式如下：

6? 系統(tǒng)仿真測試

倒立擺模型式（1）中，通常取g=9.8 m/s2，擺的質(zhì)量m=2.0 kg，小車質(zhì)量M=8.0 kg，擺長l=0.5 m。根據(jù)模糊規(guī)則和LMI不等式，可以編寫出對應(yīng)的程序，并利用LMI工具YALMIP可求得對應(yīng)的狀態(tài)反饋增益，但在寫程序的時候，應(yīng)注意到4條模糊控制規(guī)則有3個臨界值，分別是0，[π2]和[π]，8條模糊控制規(guī)則有5個臨界值，分別是0，[π4]，[π2]，3[π4]和[π]，而在這些臨界值中以[π2]最為特殊，因為對應(yīng)的cos（[π2]）=0，因此在程序中不能直接取[π2]，文中分別?。?9°·[π180]°）和（91°·[π180°]）。

在相同擺角的擺動范圍下（[-π]，0），選取了角速度最大值、角速度上升時間和角速度下降時間三個指標，分別對4條模糊規(guī)則的控制器和8條模糊規(guī)則的控制器進行測試。4條模糊規(guī)則的角速度變化情況如表1所示，8條模糊規(guī)則的角速度變化情況如表2所示。

從表1和表2可知，兩種模糊規(guī)則控制下，倒立擺的角速度都出現(xiàn)了控制盲區(qū)，這是一個很重要的指標，盲區(qū)越小控制效果越好，抖動強度越弱越好。這里的盲區(qū)是指倒立擺出現(xiàn)了失控狀態(tài)，沒有達到預(yù)期的控制效果，即角速度會隨著時間的變化振蕩衰減直至為零，但倒立擺的角度卻基本不變，維持在初始角度。當(dāng)?shù)沽[初始狀態(tài)為-89.7°時就進入到盲區(qū)，4條模糊規(guī)則和8條模糊規(guī)則下的倒立擺角度和角速度曲線，分別如圖2和圖3所示。

在圖2中角速度最大振幅為0.807 7 rad/s，在圖3中角速度最大振幅為0.732 7 rad/s，因此在倒立擺角速度振蕩衰減的過程中，倒立擺會不停的抖動，直至角速度為零，且4條模糊規(guī)則下的抖動強度要強于8條模糊規(guī)則。經(jīng)測試，8條模糊規(guī)則的盲區(qū)為（-89.7°～-90.8°），4條模糊規(guī)則的盲區(qū)為（-89.7°～-91.1°），8條模糊規(guī)則的盲區(qū)范圍小于4條模糊規(guī)則的盲區(qū)范圍，且在盲區(qū)內(nèi)8條模糊規(guī)則的倒立擺角速度振蕩衰減效果要優(yōu)于4條模糊規(guī)則。

在盲區(qū)外，4條模糊規(guī)則和8條模糊規(guī)則下的倒立擺角度和角速度曲線，從形態(tài)上看非常相似，取倒立擺的初始角度-75°進行具體分析，倒立擺的角度和角速度曲線分別如圖4和圖5所示。

對比圖4和圖5，發(fā)現(xiàn)在初始擺角為-75°時，8條模糊規(guī)則的角速度上升時間、下降時間和控制時間都要低于4條模糊規(guī)則，且是在8條模糊規(guī)則的角速度最大值大于4條模糊規(guī)則的角速度最大值情況之下，然后再對比表1和表2中的數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)在倒立擺初始角度范圍在-75°～-110°之間（除去盲區(qū)），上述結(jié)論依然成立。

綜合以上分析結(jié)果，基于8條模糊規(guī)則的T?S模糊控制器在以下2個方面優(yōu)于4條模糊規(guī)則的T?S模糊控制器：

1） 在盲區(qū)的控制上，8條模糊規(guī)則的盲區(qū)范圍要小于4條模糊規(guī)則，且進入盲區(qū)的振蕩衰減效果要優(yōu)于4條模糊規(guī)則;

2） 當(dāng)?shù)沽[的初始擺角處于-75°～-110°之間（除去盲區(qū)）時，8條模糊規(guī)則的角速度上升時間、下降時間和控制時間都要優(yōu)于4條模糊規(guī)則。

7? 結(jié)? 語

本文設(shè)計的基于8條模糊規(guī)則的T?S模糊控制器，在保障系統(tǒng)穩(wěn)定運行的條件下，在不超過2.3 s的時間里能對單級倒立擺實現(xiàn)角度和角速度有效控制，該系統(tǒng)同時也存在較小的盲區(qū)范圍，只要使控制器不在盲區(qū)工作，就能較好地應(yīng)用在工業(yè)控制及其相關(guān)領(lǐng)域[10]。

注：本文通訊作者為陳希湘。

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