四旋翼無(wú)人機(jī)PDF控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)和抗干擾分析

尹 豪,唐 猛, 侯 凡

(西南交通大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，成都 610031)

0 引言

四旋翼無(wú)人機(jī)是當(dāng)下比較熱門的一種多旋翼無(wú)人機(jī)，目前已被大量應(yīng)用于航拍，偵察，巡線，噴灑農(nóng)藥等眾多領(lǐng)域。而常用的PID控制方法具有結(jié)構(gòu)比較簡(jiǎn)單，其參數(shù)調(diào)整也相對(duì)方便的特點(diǎn)，故在四旋翼無(wú)人機(jī)控制的工程實(shí)際應(yīng)用中技術(shù)人員一般都采用PID控制策略。但在某些特定的高精度控制和抗擾動(dòng)應(yīng)用場(chǎng)合，常用的PID控制算法往往不能滿足需求。為了能夠適應(yīng)這些應(yīng)用對(duì)四旋翼無(wú)人機(jī)控制性能的特定需求，在國(guó)內(nèi)外都出現(xiàn)了多種更智能的控制方法應(yīng)用在四旋翼無(wú)人機(jī)中的研究，比如：模糊PID控制[1]、自抗擾飛行控制[2]、滑膜控制[3]以及多種控制方法的結(jié)合等等。這些控制器相對(duì)于PID控制器的控制效果都比較好，但這些控制器的結(jié)構(gòu)也更加復(fù)雜，以及建立它們的數(shù)學(xué)模型變得困難，不利于四旋翼無(wú)人機(jī)的實(shí)際控制應(yīng)用[4]。

偽微分反饋(Pseudo Derivative Feedback)控制策略[5]，簡(jiǎn)稱為PDF控制，是由美國(guó)紐約州康奈爾大學(xué)的Phelan教授于1977年在其書籍《Automatic Control Systems》中提出的，是一種基于One-Master原則的實(shí)用性很強(qiáng)的控制架構(gòu)。以往許多的研究表明，PDF策略相比PID控制策略具有更強(qiáng)的魯棒性、較強(qiáng)的抗干擾能力和好的動(dòng)態(tài)控制性能。本文就主要工作就是研究將偽微分反饋控制方法引入到四旋翼無(wú)人機(jī)中，以提高其控制性能；通過(guò)建立PID和PDF姿態(tài)控制器的控制仿真模型，研究PDF和PID策略在階躍輸入和外部干擾下的的性能提升。

1 四旋翼無(wú)人機(jī)動(dòng)力學(xué)模型

1.1 坐標(biāo)系建立及坐標(biāo)系變換

四旋翼無(wú)人機(jī)的旋翼結(jié)構(gòu)布局常用的有十型結(jié)構(gòu)和X型結(jié)構(gòu)，本文的四旋翼機(jī)型采用X型，它的4個(gè)旋翼(1、2、3、4)分別位于X型結(jié)構(gòu)的前后左右4個(gè)端點(diǎn)上，分為正對(duì)角線和反對(duì)角線兩組，且飛行時(shí)兩組旋翼的旋轉(zhuǎn)方向剛好相反。即電機(jī)1和3逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，電機(jī)2和4順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，四旋翼無(wú)人機(jī)結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 四旋翼無(wú)人機(jī)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖

為描述四旋翼無(wú)人機(jī)的運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系，本文為此建立了兩個(gè)坐標(biāo)系，分別為地面坐標(biāo)系與以無(wú)人機(jī)重心為原點(diǎn)的機(jī)體坐標(biāo)系。其中地面坐標(biāo)系是用來(lái)表示四旋翼無(wú)人機(jī)在整個(gè)地球空間的三維位置坐標(biāo)XN、YN、ZN，以便觀察飛行器相對(duì)于地面的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，由此可以得到四旋翼無(wú)人機(jī)的航向、姿態(tài)和位置信息。地面坐標(biāo)系示意圖如圖2所示，規(guī)定坐標(biāo)原點(diǎn)與四旋翼無(wú)人機(jī)的起飛點(diǎn)重合，沿飛行器的前進(jìn)方向?yàn)镺NYN正軸，垂直于水平面向上為ONZN正軸，垂直于ONXNZN平面向上為ONYN正軸，其與軸ONXN、軸ONZN構(gòu)成右手坐標(biāo)系。

本文機(jī)體坐標(biāo)系的定義如下：機(jī)體坐標(biāo)系的選擇在以下幾個(gè)前提的假設(shè)下，不管飛行器高度如何變化，重力加速度是不會(huì)變的，也即四旋翼無(wú)人機(jī)的重量是不會(huì)變的；無(wú)人機(jī)的結(jié)構(gòu)保持穩(wěn)定，使得它的重心要保持不變；且飛行器是剛體，因此不會(huì)發(fā)生彈性形變。該坐標(biāo)系是一直附著在機(jī)體上的，其原點(diǎn)位于四旋翼無(wú)人機(jī)的重心位置，OBXB軸與無(wú)刷直流電機(jī)1和2的對(duì)稱線平行，假定向前為正；無(wú)刷直流電機(jī)2和3的對(duì)稱線即為機(jī)體坐標(biāo)系的OBYB軸 ，假定向左為正；而機(jī)體坐標(biāo)系的OBZB假定向上為正，符合右手坐標(biāo)系的規(guī)定。

圖2 地面坐標(biāo)系與機(jī)體坐標(biāo)系示意圖

由于四旋翼無(wú)人機(jī)具有特殊的結(jié)構(gòu)，使得僅通過(guò)調(diào)整4個(gè)旋翼的轉(zhuǎn)速，就可以改變它的飛行姿態(tài)。對(duì)于四旋翼的各種姿態(tài)控制有以下幾種情況：1)四只旋翼的旋轉(zhuǎn)速度恒定并相等，而且它們的升力之和等于四旋翼的重力，此時(shí)無(wú)人機(jī)處于懸停狀態(tài)；2)旋翼1和4的轉(zhuǎn)速增大，而旋翼2和3的轉(zhuǎn)速減小(或者旋翼1和4的轉(zhuǎn)速減小，而旋翼2和3的轉(zhuǎn)速增大)，此時(shí)無(wú)人機(jī)做滾轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)；3)旋翼1和2的轉(zhuǎn)速增大，而旋翼3和4的轉(zhuǎn)速減小(或者旋翼1和2的轉(zhuǎn)速減小，而旋翼3和4的轉(zhuǎn)速增大)，此時(shí)無(wú)人機(jī)做俯仰運(yùn)動(dòng)；4)旋轉(zhuǎn)方向相同的一組旋翼轉(zhuǎn)速增大(或減小)，而另一組旋轉(zhuǎn)方向相反的旋翼轉(zhuǎn)速減小(或增大)，此時(shí)無(wú)人機(jī)做偏航運(yùn)動(dòng)。為方便描述四旋翼無(wú)人機(jī)的姿態(tài)，本文將3個(gè)歐拉角分別定義如下：滾動(dòng)角φ為機(jī)體軸ZB與地面坐標(biāo)系中XNONZN平面之間的夾角，假定飛行器向右滾動(dòng)角度為正；俯仰角θ為機(jī)體軸XB與地面坐標(biāo)系中XNONYN平面之間的夾角，假定飛行器低頭時(shí)為正；偏航角ψ為機(jī)體軸XB在水平面上的投影與地面坐標(biāo)系XN軸之間的夾角，假定飛行器機(jī)頭向左偏航時(shí)為正。

由歐拉角定義可知，從機(jī)體坐標(biāo)系到地面坐標(biāo)系的位置變換，可以通過(guò)繞不同機(jī)體坐標(biāo)軸的三次連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)來(lái)實(shí)現(xiàn)。因此，將四旋翼飛行器的機(jī)體坐標(biāo)系依次繞ZB軸，YB軸，XB軸(即Z-Y-X順序)旋轉(zhuǎn)三次可以轉(zhuǎn)換到地球坐標(biāo)系，機(jī)體坐標(biāo)系到地面坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矩陣為：

(1)

其中：c代表cos函數(shù)，而s代表sin函數(shù)。

1.2 動(dòng)力學(xué)模型的建立

四旋翼無(wú)人機(jī)，顧名思義就是它具有4個(gè)旋翼，每個(gè)旋翼由一個(gè)無(wú)刷電機(jī)驅(qū)動(dòng)旋轉(zhuǎn)，而4個(gè)旋翼一共需要4個(gè)無(wú)刷電機(jī)驅(qū)動(dòng)，這4個(gè)無(wú)刷電機(jī)即為系統(tǒng)的動(dòng)力輸入。而四旋翼無(wú)人機(jī)在三維空間有6個(gè)自由度，6個(gè)自由度僅有4個(gè)動(dòng)力輸入，所以它是一個(gè)欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)。而且它的姿態(tài)角度與水平位置之間具有較強(qiáng)的耦合關(guān)系，故四旋翼無(wú)人機(jī)是一個(gè)強(qiáng)耦合、欠驅(qū)動(dòng)的非線性系統(tǒng)。本文采用牛頓-歐拉公式推導(dǎo)四旋翼無(wú)人機(jī)的動(dòng)力學(xué)方程，由于它的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)是非常復(fù)雜的，想要完全準(zhǔn)確的建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型極其困難。本文為了方便的研究對(duì)象，將無(wú)人機(jī)的動(dòng)力模型簡(jiǎn)化，建立一個(gè)相對(duì)準(zhǔn)確的模型，提出以下假設(shè)[6]：

1)把飛行器視為一個(gè)剛體，忽略它的彈性變形；

2)把地面坐標(biāo)系視為慣性坐標(biāo)系，以忽略地球自轉(zhuǎn)與公轉(zhuǎn)對(duì)飛行器的影響；

3)飛行器的飛行領(lǐng)域內(nèi)，重力加速度保持不變；

4)無(wú)人機(jī)的形狀與質(zhì)量關(guān)于它的中心都是X型對(duì)稱的；

5)忽略它在飛行中所受到的空氣阻力；

6)四旋翼無(wú)人機(jī)在低速的，小角度情況下飛行。

在上面假設(shè)的情況下，四旋翼無(wú)人機(jī)所受合外力主要由飛行器本身的重力和4個(gè)旋翼旋轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的升力和某些外部干擾力(比如風(fēng)力)組成。飛行器受到的升力與4個(gè)旋翼的旋轉(zhuǎn)速度的平方是正比關(guān)系，記4個(gè)旋翼的轉(zhuǎn)速分別為Ωi(下標(biāo)i的取值為1,2,3,4)，則

(2)

其中，kF為旋翼升力系數(shù)。

四旋翼在地面坐標(biāo)系下受到的合力為：

(3)

其中:Fx、Fy、Fz為XN、YN、ZN軸所受合力，fx、fy、fz為XN、YN、ZN軸的擾動(dòng)。由牛頓第二定律得：

(4)

由于四旋翼無(wú)人機(jī)的結(jié)構(gòu)布局是均勻?qū)ΨQ的，故Jxy、Jyz和Jzx都等于零，可知機(jī)體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣為對(duì)稱矩陣，即

(5)

其中，Jx、Jy、Jz為無(wú)人機(jī)繞機(jī)體坐標(biāo)系XB、YB、ZB軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

則由歐拉方程可得

(6)

其中Mx、My、Mz為繞機(jī)體坐標(biāo)系三軸所受力矩，p、q、r為繞機(jī)體坐標(biāo)系三軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度。

進(jìn)一步對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)力矩進(jìn)行分析：

(7)

其中:L為旋翼中心與機(jī)體重心之間的距離，kM為旋翼反扭矩系數(shù)。

將式(7)代入式(6)得

(8)

機(jī)體角速度與歐拉角速度對(duì)應(yīng)關(guān)系：

(9)

本文研究的情況為四旋翼無(wú)人機(jī)小角度、低速飛行，因此可以做如下近似：

(10)

將式(10)代入式(8)整理得

(11)

為簡(jiǎn)化系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，令

(12)

它們?yōu)樗男頍o(wú)人機(jī)4個(gè)獨(dú)立通道的控制量，U1、U2、U3、U4分別為垂直升降、滾動(dòng)力矩、俯仰力矩、偏航力矩控制量。四旋翼無(wú)人機(jī)飛行器的動(dòng)力學(xué)最終模型為：

(13)

2 無(wú)人機(jī)PDF姿態(tài)控制器設(shè)計(jì)

2.1 PDF控制策略

PDF控制器的架構(gòu)類似PI控制器，但是目標(biāo)值和反饋的誤差只作為I(積分)控制器的輸入，誤差不是P(比例)控制器的輸入，改用反饋?zhàn)鳛镻(比例)控制器的輸入，因?yàn)檎`差不是比例控制器的輸入，因此也被Phelan稱之為偽微分反饋(PDF)[7]。

圖3 二階PDF策略控制器結(jié)構(gòu)

由公式(13)可知，四旋翼無(wú)人機(jī)的姿態(tài)控制模型是一個(gè)二階控制系統(tǒng)。PDF策略的二階控制結(jié)構(gòu)如圖3所示，整個(gè)系統(tǒng)的末級(jí)控制元件由傳遞函數(shù)1代表，其物理元件的最大能量輸出決定了輸出最大值M2的取值[8]，Ki、Kd1和Kd2都為PDF控制系統(tǒng)的系數(shù)。

2.2 PDF控制器系數(shù)確定

本研究對(duì)象模型參數(shù)如表1所示。

表1 四旋翼模型參數(shù)

由文獻(xiàn)[9]可知，對(duì)于一個(gè)二階對(duì)象來(lái)說(shuō)，PDF控制系數(shù)的設(shè)定公式如下：

Ki=6.52·[Mmax/(I·r0)]1.5

(14)

Kd1=8.53·Mmax/(I·r0)

(15)

Kd2=4.13·[Mmax/(I·r0)]0.5

(16)

式中，I為被控對(duì)象的最大階項(xiàng)系數(shù)，r0為系統(tǒng)的階躍參考輸入的最大值，Mmax為末級(jí)控制元件的最大輸出值。由式(13)可知，I等于機(jī)體軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，r0=30*pi/180，末級(jí)控制元件最大輸出為滾動(dòng)、俯仰和偏航最大瞬時(shí)力矩乘以對(duì)應(yīng)的機(jī)體軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，最大力矩為2.5 N·m，3個(gè)PDF姿態(tài)控制器的系數(shù)如表2所示。

表2 四旋翼PDF控制器參數(shù)

2.3 四旋翼仿真模型

由式(13)可知，四旋翼無(wú)人機(jī)的3個(gè)姿態(tài)控制量具有耦合關(guān)系。但在較小的姿態(tài)角速率情況下，可以忽略它們相互間的耦合影響，由此可以按照單通道控制系統(tǒng)分別設(shè)計(jì)。Matlab/Simulink軟件平臺(tái)具有強(qiáng)大的仿真功能，可以在此平臺(tái)上對(duì)四旋翼的動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行動(dòng)態(tài)仿真。本文對(duì)滾動(dòng)、俯仰、偏航3個(gè)通道分別獨(dú)立進(jìn)行PID和PDF控制仿真，整個(gè)系統(tǒng)的Simulink仿真模型如圖4所示。

在圖4中，仿真模型的構(gòu)成主要有四部分：姿態(tài)信號(hào)模塊、控制器、控制量轉(zhuǎn)換和四旋翼無(wú)人機(jī)動(dòng)力學(xué)模型。其中姿態(tài)信號(hào)模塊包括姿態(tài)角命令信號(hào)和反饋信號(hào)。姿態(tài)控制器采用PID和PDF控制器，其輸入為歐拉角命令值和反饋值，輸出為U1、U2、U3、U4。姿態(tài)控制器的輸出是中間控制量，這些量的實(shí)現(xiàn)最終都是靠四旋翼無(wú)人機(jī)的4個(gè)電機(jī)實(shí)現(xiàn)的，要達(dá)到這些控制，每個(gè)電機(jī)的具體值可有前面的式(12)反推得到。四旋翼無(wú)人機(jī)動(dòng)力學(xué)模型通過(guò)一個(gè)level-2 MATLAB S-Function來(lái)實(shí)現(xiàn)。四旋翼PID控制器仿真模型和PDF控制大致結(jié)構(gòu)類似，只是把PDF控制器換成里Simulink自帶的PID Controller模塊。

3 控制及仿真結(jié)果

下面通過(guò)如下幾個(gè)方面進(jìn)行控制性能仿真，從而從仿真的角度評(píng)估PDF算法在四旋翼姿態(tài)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)及抗干擾的優(yōu)越性。

3.1 PID和PDF在階躍輸入的輸出響應(yīng)

3個(gè)姿態(tài)角Φ、θ、ψ的初始值都是0，最終輸出分別是10*pi/180rad、20*pi/180rad和30*pi/180rad，階躍時(shí)間點(diǎn)分別是4 s、7 s和10 s。滾動(dòng)角Φ、俯仰角θ和偏航角ψ的PID和PDF控制輸出仿真如圖5所示。

圖4 四旋翼基于PDF控制的仿真模型

圖5 PID和PDF控制下的姿態(tài)角曲線

在沒(méi)有外部擾動(dòng)作用時(shí)，加上積分環(huán)節(jié)控制會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能變差，而當(dāng)有變化的外部擾動(dòng)作用時(shí)，積分控制又不能很好的發(fā)揮它對(duì)干擾的抑制作用。因此，在對(duì)四旋翼無(wú)人機(jī)的Simulink模型進(jìn)行基于PID姿態(tài)控制和抗干擾控制模擬仿真時(shí)，本文主要利用比例環(huán)節(jié)和微分環(huán)節(jié)對(duì)姿態(tài)進(jìn)行控制[10]。基于PID控制算法的調(diào)試主要是利用試湊法整定PID算法的各個(gè)參數(shù)，通過(guò)先比例、后微分的步驟反復(fù)試湊調(diào)試，觀察仿真結(jié)果，以便得到滿意的控制效果，各個(gè)控制參數(shù)最終調(diào)得分別為[0.5 0 1.4],[0.4 0 1.4],[0.3 0 1.0]。圖5中，基于PID控制算法的姿態(tài)角Φ、θ、ψ的響應(yīng)曲線超調(diào)量分別為14.4%、13.1%和15.7%，上升時(shí)間分別為0.9 s、0.94 s和1.3 s。圖5中，基于PDF控制算法的姿態(tài)角Φ、θ、ψ的響應(yīng)曲線超調(diào)量分別為0.505%、0.505%和0.505%，上升時(shí)間分別為0.77 s、0.77 s和0.78 s?？芍?，在階躍輸入、無(wú)干擾的情況下，PID控制器經(jīng)過(guò)多次調(diào)參后，仍有較小的超調(diào)，而PDF控制器則幾乎無(wú)超調(diào)，且它們的上升時(shí)間相差不大。

3.2 抗干擾能力比較

通過(guò)模擬在第20 s給機(jī)體軸X軸施加一個(gè)階躍負(fù)載轉(zhuǎn)矩為1 N·m，得到的仿真結(jié)果如圖6～8所示。

圖6 干擾下PID和PDF控制的滾動(dòng)角

圖7 干擾下PID和PDF控制的俯仰角

圖8 干擾下PID和PDF控制的偏航角

由圖6～8可知，在階躍輸入姿態(tài)控制器響應(yīng)穩(wěn)定后，當(dāng)給仿真模型系統(tǒng)一個(gè)較大的外在干擾力矩時(shí)，該干擾使得系統(tǒng)的總力矩相比原來(lái)的力矩瞬時(shí)增加數(shù)倍，基于PID控制器的滾動(dòng)角姿態(tài)響應(yīng)會(huì)立刻出現(xiàn)失穩(wěn)的情況，并且由于耦合的原因，使得俯仰角的控制會(huì)受到干擾，最終使得整個(gè)控制系統(tǒng)不可控。但是在PDF控制器下，雖然滾動(dòng)角也會(huì)受到擾動(dòng)影響，但是立刻就會(huì)恢復(fù)到設(shè)定的姿態(tài)角度，并且不會(huì)影響到俯仰角的控制，姿態(tài)控制完全受控，對(duì)四旋翼的整體控制基本上沒(méi)有影響。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文以四旋翼無(wú)人機(jī)為研究對(duì)象，在某些假設(shè)的條件下，對(duì)它的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)進(jìn)行了理論分析，然后建立了四旋翼無(wú)人機(jī)的簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)模型，并在Matlab/Simulink軟件平臺(tái)上對(duì)四旋翼無(wú)人機(jī)的高度和姿態(tài)控制建立了基于PID和PDF兩個(gè)控制器的仿真模型和工況仿真。仿真結(jié)果表明：采用PDF控制策略的四旋翼姿態(tài)控制系統(tǒng)仿真結(jié)果符合理論分析，較短的系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間，極其小的超調(diào)或無(wú)超調(diào)，轉(zhuǎn)矩波動(dòng)小，較好的穩(wěn)態(tài)性能，具有很強(qiáng)的魯棒性，相比傳統(tǒng)的PID控制策略有更好的控制效果。在外部干擾下也能夠達(dá)到很好的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，并快速恢復(fù)到命令姿態(tài)角度。對(duì)今后PDF控制在四旋翼無(wú)人機(jī)姿態(tài)控制中的研究與應(yīng)用有一定的實(shí)際意義。