“整體思想”在整式運(yùn)算中的運(yùn)用與思考

顏厥勝

[摘要]整式運(yùn)算法則的教學(xué)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的難點(diǎn)，其形成伴隨著對(duì)“整體思想”的不斷滲透和整體結(jié)構(gòu)的不斷擴(kuò)展。文章以整式的加減運(yùn)算和乘除運(yùn)算中出現(xiàn)的問題為例，具體闡述如何在教學(xué)中運(yùn)用“整體思想”，從整體結(jié)構(gòu)上把握運(yùn)算形式;運(yùn)用“整體思想”不斷豐富學(xué)生對(duì)整式運(yùn)算法則的理解和認(rèn)識(shí);利用思想方法的遞進(jìn)式滲透和對(duì)舊知識(shí)的再認(rèn)識(shí)，幫助學(xué)生克服學(xué)習(xí)過程中的重重困難。

[關(guān)鍵詞]整體思想;整式的加減;整式的乘除

[中圖分類號(hào)]G633.6 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1674-6058（ 2020） 21-0059-02

一、問題的提出

筆者在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在學(xué)習(xí)七年級(jí)上冊(cè)“整式的加減”和七年級(jí)下冊(cè)“整式的乘除”中出現(xiàn)了較多的問題，包括對(duì)字母表示數(shù)的理解以及運(yùn)用乘法公式計(jì)算等都出現(xiàn)了一些典型的錯(cuò)誤，學(xué)生學(xué)習(xí)的障礙在哪里？教師教學(xué)中應(yīng)該怎樣處理呢？經(jīng)過深入地鉆研教材、系統(tǒng)地思考和整理，筆者認(rèn)為在問題解決中應(yīng)該強(qiáng)化運(yùn)用“整體思想”解題，在學(xué)習(xí)運(yùn)算法則時(shí)也應(yīng)該利用“整體思想”幫助學(xué)生加深對(duì)運(yùn)算法則的認(rèn)識(shí)，下面以學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中出現(xiàn)的問題為例進(jìn)行闡述。

二、據(jù)果索因

1.整式加減運(yùn)算出現(xiàn)的問題示例分析

[錯(cuò)例1]-a表示負(fù)數(shù)

[錯(cuò)例2] _4ab+3b²_9ab_b²=_4ab+9ab_3b²_b²

[錯(cuò)例分析]錯(cuò)例1主要是學(xué)生對(duì)字母表示數(shù)的概念理解不透徹，對(duì)負(fù)數(shù)表示方式的認(rèn)識(shí)不清，把-a前的“一”號(hào)作為整個(gè)數(shù)唯一的符號(hào)，沒有意識(shí)到-a中的整體a還含有符號(hào)。錯(cuò)例2是學(xué)生在學(xué)習(xí)有理數(shù)加減運(yùn)算時(shí)已經(jīng)接觸過類似的問題，也犯過類似的錯(cuò)誤，但在整式加減運(yùn)算時(shí)仍然會(huì)再犯錯(cuò)，特別是整式前面是負(fù)號(hào)時(shí)，移動(dòng)位置容易漏掉負(fù)號(hào)或者把負(fù)號(hào)給了移過來的項(xiàng)。

2.整式的乘法運(yùn)算出現(xiàn)的問題示例分析

[錯(cuò)例3] （2n+4m）（2n-4m）=2n²-4m²

[錯(cuò)例4]（2m-1）²=2m²-1

[錯(cuò)例分析]出現(xiàn)錯(cuò)例3、錯(cuò)例4的原因主要是對(duì)平方差公式和完全平方公式的結(jié)構(gòu)沒有完全掌握，對(duì)算式中的代數(shù)式與公式中的字母a、b的對(duì)應(yīng)關(guān)系沒有認(rèn)清楚。錯(cuò)例3主要是對(duì)字母前的數(shù)字不知道怎樣處理，而錯(cuò)例4則是直接把完全平方公式當(dāng)作平方差公式處理，而且還出現(xiàn)了與錯(cuò)例3同樣的錯(cuò)誤，沒有把“整體”括號(hào)起來。

3.去括號(hào)時(shí)出現(xiàn)的問題示例分析

[錯(cuò)例5]（x+1）²一（x+2）（x-2）=（x+1）²-x²-2²

[錯(cuò)例6 ]4x²-2（x-3）=4x²-2x-3

[錯(cuò)例分析]錯(cuò)例5、錯(cuò)例6出現(xiàn)的主要是符號(hào)和漏乘的錯(cuò)誤，這類題學(xué)生容易出錯(cuò)，主要原因是對(duì)去括號(hào)法則理解不透徹，另一方面是由于學(xué)生“跳步”造成的，分配律和去括號(hào)同時(shí)進(jìn)行，對(duì)初學(xué)者來說容易顧此失彼。

三、教學(xué)對(duì)策

1.運(yùn)用“整體思想”，從整體結(jié)構(gòu)上把握運(yùn)算形式

整體思想就是從問題的整體性質(zhì)出發(fā)，突出對(duì)問題整體結(jié)構(gòu)的分析和改造，發(fā)現(xiàn)問題的整體結(jié)構(gòu)特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或圖形看成一個(gè)整體，把握它們之間的關(guān)聯(lián)，進(jìn)行有目的、有意識(shí)的整體處理。

錯(cuò)例1、錯(cuò)例2是在學(xué)習(xí)整式的加減運(yùn)算時(shí)出現(xiàn)的，錯(cuò)例1表明學(xué)生對(duì)字母a的意義認(rèn)識(shí)不清，字母a 可以代表任何有理數(shù)?？梢园炎帜竌 看成是一個(gè)“整體”，而前面的“一”號(hào)是a的前面加個(gè)負(fù)號(hào)，表示a的相反數(shù)，-a是不是負(fù)數(shù)由a的符號(hào)決定，有三種情況。只有當(dāng)a是正數(shù)時(shí)，-a才是負(fù)數(shù)。對(duì)于-a的理解對(duì)后面的學(xué)習(xí)也有較大的影響。比如求|a|時(shí)，要考慮整體的a的符號(hào)，也是分三種情況：①當(dāng)a>0時(shí)，|a|=a;②當(dāng)a=0時(shí)，|a|=0;③當(dāng)a<0時(shí)，|a|=-a。第③種情況的-a表示正數(shù)，而不是學(xué)生一開始認(rèn)為的負(fù)數(shù)。錯(cuò)例2中學(xué)生在進(jìn)行整式加減運(yùn)算的時(shí)候，沒有把每一項(xiàng)當(dāng)作一個(gè)“整體”，在移動(dòng)它們的位置時(shí)把前面的符號(hào)搞混了。首先應(yīng)弄清-4ab+3b²-9ab-b²這個(gè)多項(xiàng)式應(yīng)由哪些項(xiàng)構(gòu)成，這些項(xiàng)就是一個(gè)整體，在運(yùn)用加法交換律交換他們的位置時(shí)，應(yīng)“整體”交換，而不應(yīng)該把他們前面的符號(hào)丟了或者換了，這也是一個(gè)典型的沒有從整體上把握運(yùn)算的錯(cuò)誤。在有理數(shù)的加減運(yùn)算中就已經(jīng)滲透過這種整體思想的運(yùn)用。

錯(cuò)例3出現(xiàn)的問題就是在運(yùn)用平方差公式時(shí)沒有把左邊的2n，4m“整體”看作公式里的a和b，等式右邊的平方應(yīng)對(duì)“整體”平方，即（ 2n）²一（4m）²，最后才能得到正確的結(jié)果。錯(cuò)例4初看是平方差公式與完全平方公式弄混淆了，究其原因還是沒有從整體上把握算式的結(jié)構(gòu)，（2m-1）²是一個(gè)整體，（2m-1）的平方與完全平方公式（a-b）²=a²-2ab+b²左邊的形式相同，2m相當(dāng)于公式中的a，1相當(dāng)于公式中的b。

解決錯(cuò)例5的問題也可以把（x+2）（x-2）看作一個(gè)整體，是（x+1）²減去一個(gè)整體。整體用平方差公式先加括號(hào)得（x+1）²- （x²-2²），再去括號(hào)即得正確結(jié)果。錯(cuò)例6錯(cuò)在去括號(hào)時(shí)符號(hào)的錯(cuò)誤，可以把-2看作整體乘另一個(gè)整體（x-3），用乘法分配律得到正確結(jié)果4x²-2x+6。或者分兩步走，先等于4x²-（2x-6）再去括號(hào)等于4x²-2x+6。第二種解法中也是強(qiáng)調(diào)減去整體（2x-6），先把整體括號(hào)起來，再去括號(hào)。

2.運(yùn)用“整體思想”，從整體結(jié)構(gòu)上豐富學(xué)生對(duì)運(yùn)算法則的理解和認(rèn)識(shí)

比如教材中的合并同類項(xiàng)法則：合并同類項(xiàng)是把各個(gè)同類項(xiàng)的系數(shù)相加，字母和字母的指數(shù)不變。但是在實(shí)際應(yīng)用中學(xué)生不理解這個(gè)法則，比如3a-5a=（ 3-5）a=-2a，其中系數(shù)是3減5，學(xué)生問為什么法則里面卻是“系數(shù)相加”呢？這里仍然是運(yùn)用“整體思想”“理解運(yùn)算法則，代數(shù)式是由兩個(gè)“整體”3a與-5a相加，而-5a的系數(shù)是一5，3加一5就是3減5。通過運(yùn)用整體思想能較輕松地理解法則的含義。

又如，教學(xué)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式時(shí)，教師可通過講解計(jì)算相同長(zhǎng)方形面積的方法得出（m+n）（a+b）=m（a+b）+n（a+b） =ma+mb+na+nb或者（m+n）（a+b）=（m+n）a+（m+n）b=ma+na+mb+nb，兩種方式推導(dǎo)出多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則，都可以運(yùn)用“整體思想”來理解。第一種以（a+b）作為一個(gè)整體，用乘法分配律乘以多項(xiàng)式（m+n）;第二種以（m+n）為整體，用乘法分配律乘以多項(xiàng)式（a+b）推導(dǎo)出結(jié)果，最后再讓學(xué)生用文字語言來敘述法則，這樣學(xué)生就能從整體思想上理解多項(xiàng)式相乘法則的推導(dǎo)。

在運(yùn)用乘法公式計(jì)算時(shí)也需要用整體思想，如計(jì)算：（-x-1）（1-x）需要把一x看作一個(gè)整體，再用平方差公式展開，（-x-1）（1-x）=（-x-l）（-x+1）=（-x）²—1²。計(jì)算：（x+y-1）²需要把三項(xiàng)中的兩項(xiàng)看成一個(gè)整體，再運(yùn)用完全平方公式展開，如（龍+y一1）2=[（z+y）一1]2=（x+y）²—2（x+y）+1。又如，計(jì)算（a-b+c）（a+b-c）也需要把（b-c）看作一個(gè)整體，（a-b+c）（a+b-c）=[a-（b-c）][a+（b-c）]=a²一（b-c）²?！罢w思想”既加深了學(xué)生對(duì)運(yùn)算法則的理解和認(rèn)識(shí)，又鞏固了學(xué)生對(duì)運(yùn)算法則的運(yùn)用。

3.“整體思想”在數(shù)學(xué)運(yùn)算中的遞進(jìn)式擴(kuò)展

數(shù)學(xué)運(yùn)算是數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)之一，是數(shù)學(xué)活動(dòng)的基本形式，是學(xué)生必備的一項(xiàng)基本技能，是貫穿整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本鏈條，也是得到數(shù)學(xué)結(jié)果的重要手段。

從字母代表數(shù)、整式的加減到整式的乘除，包括單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式、多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式、多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，無不可以運(yùn)用整體思想去幫助學(xué)生加強(qiáng)對(duì)運(yùn)算法則的理解，運(yùn)用乘法公式解決問題也常用到這個(gè)方法。比如，已知a+b=14，a²+b²=100，求ab的值。有學(xué)生這樣解：因?yàn)閍+b=14，所以a= 14-b代人a2+b2=100中得（ 14-b）²+b²=100，接著就解不下去了（因?yàn)槠吣昙?jí)還沒學(xué)到一元二次方程的解法），所以，這里也是從整體思想人手，不可分別求Ⅱ、6的值，應(yīng)從整體去求ab。又如，已知a+b=5，ab=-3，求a²+b²和（a-b）²，這同樣也是用整體思想解決問題。整體思想在解決問題中有廣泛運(yùn)用，后面的二次根式、解二元一次方程組等運(yùn)算中，也可以時(shí)不時(shí)運(yùn)用整體思想，都伴隨著整體思想的不斷滲透和整體結(jié)構(gòu)的不斷擴(kuò)展。因此，教學(xué)中要加強(qiáng)知識(shí)的前后聯(lián)系。教師要利用思想方法的遞進(jìn)滲透和對(duì)舊知的再認(rèn)識(shí)，幫助學(xué)生克服學(xué)習(xí)過程中的重重困難。數(shù)學(xué)思想方法是從數(shù)學(xué)內(nèi)容中提煉出來的數(shù)學(xué)學(xué)科的精髓，是將數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)能力的橋梁。教師應(yīng)從樹立整體思想的概念人手，從整體結(jié)構(gòu)上把握運(yùn)算形式;運(yùn)用“整體思想”不斷豐富學(xué)生對(duì)整式運(yùn)算法則的理解和認(rèn)識(shí);利用思想方法的遞進(jìn)式滲透和對(duì)舊知識(shí)的再認(rèn)識(shí)，讓學(xué)生能夠靈活掌握并能應(yīng)用到具體問題中去，這對(duì)學(xué)生思維方式的創(chuàng)新和解題方法的提升都有幫助。

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（責(zé)任編輯譚斯陌）