基于遺傳算法的非高斯系統(tǒng)隨機(jī)分布控制

洪越 殷利平

0 引言

工業(yè)技術(shù)的不斷發(fā)展一方面使得生產(chǎn)率快速提高，社會(huì)不斷進(jìn)步，另一方面工業(yè)過程中的不確定因素也使得工業(yè)控制越來越復(fù)雜，傳統(tǒng)的控制理論在很多情況下已經(jīng)不符合現(xiàn)代工業(yè)的發(fā)展要求.近幾十年來，在控制理論界中有很多面向隨機(jī)系統(tǒng)的隨機(jī)控制和隨機(jī)估計(jì)方面的研究[1-2]，其研究成果已經(jīng)廣泛地應(yīng)用于諸多工業(yè)領(lǐng)域，如最小方差控制，它屬于隨機(jī)最優(yōu)控制的一種特殊情形，具有求解和實(shí)現(xiàn)簡便的優(yōu)點(diǎn).對(duì)于線性高斯系統(tǒng)，可以采用最小方差控制等方法[3-4]，但是當(dāng)系統(tǒng)含有非高斯變量時(shí)，使用均值和方差不能完全描述系統(tǒng)的特征，這些方法便不適用.有鑒于此，以PDF(概率密度函數(shù))為控制對(duì)象的非高斯隨機(jī)分布系統(tǒng)控制理論逐漸成為隨機(jī)控制研究領(lǐng)域的一個(gè)新分支[5-6].盡管非高斯隨機(jī)分布系統(tǒng)控制理論研究意義重大，但是開展非高斯隨機(jī)分布系統(tǒng)的理論研究是相當(dāng)復(fù)雜的.

在隨機(jī)分布控制系統(tǒng)中，控制的目標(biāo)是實(shí)現(xiàn)輸出的PDF跟蹤目標(biāo)PDF[7-10]，在基于泛函算子模型的隨機(jī)分布控制系統(tǒng)中，基于數(shù)據(jù)采用KDE(核密度估計(jì))方法估計(jì)PDF具有很多優(yōu)越性[4].采用KDE估計(jì)輸出的PDF，根據(jù)控制目標(biāo)建立性能指標(biāo)函數(shù)，并將控制目標(biāo)轉(zhuǎn)化為性能指標(biāo)函數(shù)優(yōu)化的控制方法能夠大大簡化算法程序，并且即使當(dāng)建模發(fā)生誤差，由于該算法基于數(shù)據(jù)特征，因此也不會(huì)很敏感.在以往優(yōu)化性能指標(biāo)函數(shù)時(shí)，往往采用的是梯度算法.梯度算法的計(jì)算過程復(fù)雜，當(dāng)需要優(yōu)化的指標(biāo)函數(shù)復(fù)雜或者系統(tǒng)本身就很復(fù)雜時(shí)，算法過程中的求導(dǎo)和泰勒展開比較困難,且計(jì)算量大耗時(shí)長.因此，在實(shí)際應(yīng)用中尋找到對(duì)模型要求低、計(jì)算量小，能找到全局最優(yōu)解的算法是很關(guān)鍵的.現(xiàn)代智能算法大多來源于生物智能或者物理現(xiàn)象，雖然在理論上還不完善也不能確保找到解的最優(yōu)性，但是它符合非高斯隨機(jī)分布系統(tǒng)的優(yōu)化要求，即對(duì)模型要求低、搜索全局化、魯棒性強(qiáng)且高效.

遺傳算法最早由美國的Holland教授提出，它來源于20世紀(jì)60年代自然與人工自適應(yīng)系統(tǒng)研究的一種模擬生物的遺傳和進(jìn)化來解決最優(yōu)化的搜索啟發(fā)式算法[11].遺傳算法具有較強(qiáng)的靈活性，能夠通過稍加調(diào)整以適應(yīng)實(shí)際待解決問題.遺傳算法由于其特殊的搜索特性，對(duì)優(yōu)化問題沒有太多的數(shù)學(xué)要求，且具有有效地進(jìn)行概率意義的全局搜索的能力.作為一種智能算法，在工業(yè)生產(chǎn)中遺傳算法可以用來優(yōu)化性能指標(biāo)函數(shù)，通過種群個(gè)體的遺傳操作、交叉操作和變異操作不斷更新優(yōu)化種群，最終找到最優(yōu)解，即最優(yōu)控制輸入.

本文根據(jù)隨機(jī)分布相關(guān)控制理論，基于數(shù)據(jù)采用KDE估計(jì)輸出PDF，并建立性能指標(biāo)函數(shù)，采用遺傳算法對(duì)性能指標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，找到最優(yōu)控制.以磨礦系統(tǒng)為例進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，以證明所提方法的有效性.

1 系統(tǒng)模型

本文考慮一個(gè)工業(yè)上的模型——磨礦系統(tǒng)模型，該模型的控制目標(biāo)是：在每一個(gè)時(shí)刻，系統(tǒng)輸出PSD(粒度分布)跟蹤一個(gè)目標(biāo)PSD.本文用PDF表征PSD，二者可視為等價(jià).選礦是礦產(chǎn)品生產(chǎn)過程中最重要的環(huán)節(jié)，而磨礦又是選礦中動(dòng)力和金屬材料消耗最大的一個(gè)階段[12].磨礦回路是一個(gè)非常復(fù)雜的非線性系統(tǒng)，為了提高資源利用率，提高礦料研磨后的磨礦作業(yè)指標(biāo)是一項(xiàng)富有挑戰(zhàn)性但是非常有意義的任務(wù).

圖1所示為磨礦結(jié)構(gòu)回路，考慮較為普遍的濕磨情況，在工作過程中研磨機(jī)和蓄液池都需不斷加入水.其中水力旋流器的作用是在離心力和重力的作用下使質(zhì)量大的礦物顆粒與質(zhì)量小的礦物顆粒分離，質(zhì)量大的成為底流礦料通過沉沙口再次進(jìn)入研磨機(jī)，質(zhì)量小的隨溢流排出.同時(shí)新添礦料通過進(jìn)料器添加到研磨機(jī)內(nèi)，研磨后的礦物顆粒通過排礦口進(jìn)入蓄液池，蓄液池的懸浮液由水泵抽入水力旋流器[13].

設(shè)磨礦系統(tǒng)模型為

(1)

其中k表示的是系統(tǒng)生產(chǎn)過程的采樣時(shí)刻，uk是控制輸入序列，即磨礦機(jī)新添礦料量，yk是受控輸出序列，即磨礦系統(tǒng)輸出的隨機(jī)粒度，xk是系統(tǒng)的狀態(tài)序列,即磨礦系統(tǒng)磨礦濃度，ωk和vk是非高斯隨機(jī)輸入序列，即磨礦過程中不確定因素引起的輸入.

在采樣時(shí)刻k，將系統(tǒng)(1)的輸出PDF記為γyk，目標(biāo)PDF由礦料性質(zhì)和后續(xù)選擇方法決定，記為γd，即磨礦產(chǎn)品的PSD[14-15]設(shè)定值.在每個(gè)采樣時(shí)刻k，將系統(tǒng)輸出的L個(gè)溢流產(chǎn)品粒度{yki}(=1,2,…,L)作為樣本，采用KDE的方法得到系統(tǒng)輸出的PDF，即γyk，根據(jù)控制目標(biāo)建立性能指標(biāo)函數(shù)，使用遺傳算法優(yōu)化性能指標(biāo)函數(shù)得到最優(yōu)控制uk，使得輸出PDF跟蹤目標(biāo)PDF.

磨礦系統(tǒng)的算法結(jié)構(gòu)如圖2所示.

2 基于KDE的粒度PDF估算

KDE是一種非參數(shù)估計(jì)，不需要先驗(yàn)知識(shí)和任何概率分布形式的假設(shè)，單純地從數(shù)據(jù)出發(fā)研究樣本的分布特征，適合于求取每一采樣時(shí)刻k流溢產(chǎn)品粒度的PDF.根據(jù)KDE原理，γyk(τ)的核密度估計(jì)[16-17]為

(2)

其中τ表示為統(tǒng)計(jì)學(xué)中肯德爾相關(guān)系數(shù)的值，L為樣本容量，h為帶寬，起平滑系數(shù)的作用，K(·)為核函數(shù)，通常選擇鏡像對(duì)稱的單峰函數(shù)，此處為高斯核函數(shù)：

(3)

h=1.06σL-1/5，

(4)

其中σ為樣本的標(biāo)準(zhǔn)差.

3 性能指標(biāo)建立

本文跟蹤的目標(biāo)是一個(gè)給定的PDFγd(τ)，控制目標(biāo)是設(shè)計(jì)控制律，使輸出的條件PDFγyk(τ|xk,uk) 滿足：

γyk(τ|xk,uk)→γd(τ),k→+∞ .

(5)

基于泛函算子模型的隨機(jī)分布控制理論，涉及到的性能指標(biāo)函數(shù)[18-20]一般可以寫成：

(6)

式(6)中第1項(xiàng)是統(tǒng)計(jì)特性，表示輸出PDF與目標(biāo)PDF之間的距離，可以用積分表示為

(7)

第2項(xiàng)為uk的能力約束項(xiàng).性能指標(biāo)函數(shù)表達(dá)式中Qk，Rk為權(quán)系數(shù).

4 基于遺傳算法的最優(yōu)控制策略

(8)

基本遺傳算法由選擇算子、交叉算子和變異算子組成，在遺傳算法中優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)即為適應(yīng)度函數(shù).選擇算子中使用比例的方法來計(jì)算個(gè)體遺傳下去的概率，所以要求所有個(gè)體的適應(yīng)度必須不為負(fù).在遺傳算法中，個(gè)體適應(yīng)度越大被遺傳到下一代的概率越大，個(gè)體適應(yīng)度越小被遺傳到下一代的概率越小.本文中所需優(yōu)化的性能指標(biāo)函數(shù)Jk為優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)即遺傳算法中的適應(yīng)度函數(shù)，Jk不為負(fù)，但是優(yōu)化的目標(biāo)為求最小值，即所求目標(biāo)函數(shù)為最小，使用下式方法進(jìn)行轉(zhuǎn)換[21-22]：

(9)

式中Cmax是相對(duì)較大的數(shù)，選取方法有：1)預(yù)先選擇一個(gè)較大的數(shù)；2)進(jìn)化到當(dāng)前代為止最大的目標(biāo)函數(shù)的值；3)最近幾代群體中的最大目標(biāo)函數(shù)值.

基于遺傳算法的非線性非高斯系統(tǒng)的PDF跟蹤控制算法的詳細(xì)步驟可總結(jié)如下:

1)初始化磨礦系統(tǒng)(1)的隨機(jī)狀態(tài)變量x0和輸入控制u0.

2)設(shè)采樣時(shí)刻k=0.

②令t=2；

⑤為了進(jìn)行交叉運(yùn)算，將種群個(gè)體進(jìn)行二進(jìn)制編碼操作；

⑨若t>T進(jìn)入4)否則進(jìn)入③.

該算法可以用圖3表示.

5 仿真

下面將以模型(10)為例，詳細(xì)闡述怎樣采用遺傳算法優(yōu)化性能指標(biāo)函數(shù)，以實(shí)現(xiàn)對(duì)磨礦粒度PDF的跟蹤控制:

(10)

其中，ωk的PDF為

(11)

vk的PDF為

(12)

設(shè)磨礦產(chǎn)品的PSD指標(biāo)為高斯分布N(1,0.252)，即跟蹤目標(biāo)的PDF為

(13)

在仿真中設(shè)定的初始條件為x0=-0.1,u0=0.1,權(quán)系數(shù)取為Qk=15，Rk=0.1.通過多次測(cè)試，在遺傳算法中種群的個(gè)體個(gè)數(shù)為30，迭代的次數(shù)T=10，雜交率= 0.7，選擇率= 0.5，變異率= 0.1.本仿真中采用式(9)的方法，取Cmax=30,即：

(14)

與遺傳算法相似，粒子群算法也是屬于進(jìn)化優(yōu)化算法的一種，它源于對(duì)鳥群捕食行為的研究.對(duì)于粒子群算法系統(tǒng)初始化仍為一組隨機(jī)解，以適應(yīng)度函數(shù)為評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，在算法中將每個(gè)優(yōu)化問題的解看作是一個(gè)粒子，通過粒子速度的改變找到粒子最優(yōu)位置即系統(tǒng)最優(yōu)解.在粒子群優(yōu)化算法中粒子位置的更新與速度的更新都具有良好的導(dǎo)向性，因此粒子群對(duì)空間中的最優(yōu)解有很強(qiáng)的逼近能力，且收斂速度快，但是這種導(dǎo)向性很容易導(dǎo)致該算法出現(xiàn)陷入局部最優(yōu)解的情況，全局搜索能力弱.于是在復(fù)雜的工業(yè)問題中，遺傳算法相比于粒子群算法更具實(shí)際應(yīng)用的適應(yīng)能力.

6 結(jié)論

本文以磨礦系統(tǒng)為例，將適當(dāng)調(diào)整后的遺傳算法應(yīng)用于PDF的控制算法中，通過調(diào)整每一采樣時(shí)刻的磨礦機(jī)新添礦料量，控制系統(tǒng)的輸出.首先在每一采樣時(shí)刻k，用KDE估計(jì)磨礦產(chǎn)品粒度的PDF，然后根據(jù)控制目標(biāo)基于輸出PDF和目標(biāo)PDF的誤差建立性能指標(biāo)函數(shù)，最后用調(diào)整后的遺傳算法優(yōu)化性能指標(biāo)函數(shù)，實(shí)現(xiàn)最優(yōu)控制.仿真結(jié)果表明，在實(shí)際應(yīng)用中，遺傳算法進(jìn)行小的調(diào)整后就能夠適應(yīng)模型的要求，實(shí)現(xiàn)隨機(jī)分布控制系統(tǒng)的控制目標(biāo).