基于Dulac函數(shù)的捕食-食餌模型的定性行為

吳玉敏 李福坤

摘要：為解決傳統(tǒng)捕食-食餌模型對(duì)定性行為中極限環(huán)的不存在性判斷時(shí)間較長的問題，為此對(duì)基于Du-lac函數(shù)的捕食-食餌模型定性行為進(jìn)行研究，并對(duì)食餌常數(shù)投放率進(jìn)行計(jì)算。驗(yàn)證模型定性行為的必然持續(xù)性，為平衡位置的計(jì)算提供充分必要條件，由Dulac函數(shù)判別模型極限環(huán)的不存在性，計(jì)算出定性行為的平衡點(diǎn)。通過實(shí)驗(yàn)論證得出，捕食-食餌模型相比文獻(xiàn)！模型判斷時(shí)間縮短0.4mino

關(guān)鍵詞：捕食者;極限環(huán);Dulac函數(shù);定性行為

中圖分類號(hào)：0175.12;017.26

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1001-5922（2020）07-0150-04

0引言

在生態(tài)系統(tǒng)中食餌的充裕性和豐富性對(duì)捕食者發(fā)展具有深遠(yuǎn)影響，其影響因素包括生存空間規(guī)模以及.棲息地空間等，因此在研究捕食-食餌模型時(shí)要與實(shí)際情況相貼近。在該模型研究過程中，對(duì)捕食者提供額外食餌補(bǔ)充所產(chǎn)生的影響以及在生態(tài)調(diào)控中的作用成為研究熱點(diǎn)，將模型具有的常數(shù)投放率和收獲率的定性行為作為研究方向，討論該模型的平衡點(diǎn)狀態(tài)，使捕食-食餌模型一類食餌具有常數(shù)投放率的定性捕食行為。而Dulac函數(shù)在研究微分方程定性理論領(lǐng)域內(nèi)起著關(guān)鍵作用，能夠?qū)Σ妒?食餌模型定性理論中極限環(huán)的不存在性進(jìn)行充分判斷，因此利用捕食-食餌模型對(duì)食餌常數(shù)投放率進(jìn)行計(jì)算時(shí)，Dulac函數(shù)的運(yùn)用十分重要。并且由于其正解的持久性主要依賴于收獲力和對(duì)額外食餌的吸收，指出Dulac函數(shù)的一般構(gòu)造方法，表明額外食餌補(bǔ)充對(duì)捕食-食餌模型結(jié)果好壞的影響，并對(duì)Dulac函數(shù)的構(gòu)造進(jìn)行了總結(jié)和探討。利用Dulac函數(shù)對(duì)模型極限環(huán)不存在性的問題進(jìn)行討論，運(yùn)用環(huán)域定理得到正平衡點(diǎn)周圍極限環(huán)的存在與唯一性的相關(guān)條件，從而對(duì)具有常數(shù)投放率的捕食-食餌模型的全局穩(wěn)定性進(jìn)行分析，通過極限環(huán)存在的唯一條件得到平衡位置，實(shí)現(xiàn)捕食和食餌2個(gè)種群的共存。

1計(jì)算捕食-食餌模型定性行為平衡位置

1.1驗(yàn)證模型定性行為的必然持續(xù)性

首先驗(yàn)證捕食-食餌模型定性行為的持續(xù)必然性，捕食和食餌兩個(gè)種群的變化規(guī)律隨時(shí)間的變化而變化，因此其定性行為的持續(xù)必然性，即驗(yàn)證兩個(gè)種群能否一致持久生存是計(jì)算捕食-食餌模型定性行為平衡位置的前提"。具有常數(shù)投放率的捕食-食餌模型是通過建立生物數(shù)學(xué)模型來反映種群的變化規(guī)律，并且由于種群本身周期性的出生和死亡等因素，獲得種群一致持久性的條件尤為重要，因此在驗(yàn)證捕食-食餌模型定性行為的持續(xù)必然性時(shí)，要將流行病以及時(shí)變因素作為影響因素并加以充分考慮。

對(duì)受流行病影響捕食-食餌模型加以分析，設(shè)易感食餌為S，捕食者的死亡率為r，捕食-食餌模型的捕食者為I，患病食餌為Y，捕食者的捕獲率為P，模型最大環(huán)境承載量為t，捕食者對(duì)食餌的營養(yǎng)轉(zhuǎn)化率為K，則食餌患流行病的生態(tài)流行趨勢(shì)計(jì)算公式為：

其中b為捕食者對(duì)患病食餌的捕獲因子，且b>l;代表患病食餌持久的充分必要條件，且0<0Sl;

K代表患病食餌滅絕的充分條件。根據(jù)式（2）可知，捕食-食餌模型的正平衡點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的。

根據(jù)捕食者持久生存和疾病流行的閾值條件對(duì)Lyapunov函數(shù)進(jìn)行構(gòu)造：

式（3）中的U代表Lyapunov函數(shù);V表示捕食者持久生存的閾值條件;V代表捕食者疾病流行的閾值條件。

根據(jù)該模型獲取受流行病影響的捕食-食餌模型全局吸引的充分條件，證明該模型存在支持自身穩(wěn)定性的Hopf分支，也就是受流行病影響的捕食-食餌模型，其捕食者和食餌定性行為存在必然性。

除了流行病影響因素，時(shí)變因素也是具有常數(shù)投放率的捕食-食餌模型需要考慮的重要條件。因此在時(shí)變因素驗(yàn)證過程中，選擇常微分方程和具有常數(shù)時(shí)滯的時(shí)滯微分方程，并且受幼年捕食者以及食餌從出生到成熟的周期時(shí)間，還應(yīng)選擇有年齡一結(jié)構(gòu)的偏微分方程，結(jié)合幼年階段生長過程以及捕食者對(duì)食餌不分年齡進(jìn)行捕獲等實(shí)際情況，使得年齡結(jié)構(gòu)成為捕食-食餌模型中最重要的特征之-2。由（1）可知食餌具有Logistic增長率，設(shè)幼年食餌和成年食餌在時(shí)刻的密度分別為X{i）及X

根據(jù)食餌密度得出捕食-食餌模型的疏散特征，即通過定義捕食者的凈再生數(shù)，能夠驗(yàn)證模型定性行為的一致持久性和全局漸近穩(wěn)定性。至此完成模型定性行為必然持續(xù)性的驗(yàn)證，為定性行為平衡位置的計(jì)算提供了充分必要的前提條件。

1.2Dulac函數(shù)判斷極限環(huán)的不存在性

利用Dulac函數(shù)對(duì)具有常數(shù)投放率的捕食-食餌模型的極限環(huán)進(jìn)行判斷，當(dāng)該區(qū)域內(nèi)的極限環(huán)不存在時(shí)，則捕食和食餌兩個(gè)種群在該區(qū)域內(nèi)全局漸近穩(wěn)定，是模型定性行為的平衡穩(wěn)定區(qū)間。設(shè)具有常數(shù)投放率且功能反應(yīng)函數(shù)為C，食餌種群的常數(shù)投放率為h，基于捕食-食餌模型正常數(shù)平衡解的局部性態(tài)得到C一M關(guān)系式。模型常數(shù)解的基本性態(tài)如圖1所示。

設(shè)捕食者的捕獲率為b，處理時(shí)間為c，捕食者間的強(qiáng)度為e，食餌為u，捕食者為v，體現(xiàn)物種間相互干擾的一項(xiàng)為ceuv，則C-M關(guān)系式的反應(yīng)函數(shù)為：

由此可得出處理時(shí)間c的具體數(shù)值，設(shè)捕食-食餌模型的平衡點(diǎn)坐標(biāo)為R（x，y），則模型平衡點(diǎn)的解為：

模型在R（x，y）內(nèi)無極限環(huán)，其點(diǎn)R也是捕食-食餌模型的穩(wěn)定點(diǎn)，捕食和食餌2個(gè)種群在R內(nèi)定性行為全局趨于平衡穩(wěn)定的狀態(tài)。其捕食-食餌模型定性行為的軌線相圖如圖2所示。

由圖2可知，當(dāng)R內(nèi)無極限環(huán)時(shí)，捕食-食餌模型定性行為的軌線無限趨近于點(diǎn)R，捕食者和食餌兩個(gè)種群能夠得到共存。

當(dāng)obcabes0時(shí)，則R（x.y）周圍存在唯一穩(wěn)定的極限環(huán)。設(shè)捕食者的死亡率為m，食餌向捕食者的轉(zhuǎn)化率為B，食餌的環(huán)境容納量為k，R內(nèi)具有光滑邊界的有界開區(qū)域?yàn)?，捕食者的功能反應(yīng)函數(shù)為1+u其中a為食餌的內(nèi)稟增長系數(shù)，則極限環(huán)內(nèi)的平衡態(tài)公式為：

使x>0，y>0得，則捕食-食餌模型圍繞點(diǎn)R存在唯一穩(wěn)定的極限環(huán)，其定性行為在平衡點(diǎn)R附近呈穩(wěn)定的周期振蕩狀態(tài)。至此完成了捕食-食餌模型定性行為平衡位置的計(jì)算。

2驗(yàn)論證分析

為驗(yàn)證本文模型對(duì)定性行為中極限環(huán)不存在性判斷的有效性，與文獻(xiàn)捕食-食餌模型進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)，以亞洲長角甲蟲和樹皮甲蟲為實(shí)驗(yàn)對(duì)象，二者分別對(duì)應(yīng)捕食與食餌。利用兩種模型對(duì)實(shí)際案例進(jìn)行分析，并進(jìn)行數(shù)值模擬，應(yīng)用MATLAB2010（a）軟件來驗(yàn)證理論結(jié)果的正確性。實(shí)驗(yàn)中數(shù)值模擬的參數(shù)取值如表1所示，其中x和y分別代表亞洲長角甲蟲和樹皮甲蟲：

本次測(cè)試環(huán)境為挪威槭樹，在該樹上亞洲長角甲蟲的產(chǎn)卵率較高，校準(zhǔn)參數(shù)c的取值取決于挪威槭樹類型，數(shù)值模擬中的時(shí)間尺度以月為單位計(jì)算。改變捕食者的千擾系數(shù)，則食餌和捕食者的種群密度會(huì)呈現(xiàn)出周期振蕩，兩種實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ驮跍y(cè)試時(shí)，當(dāng)食餌與捕食者在極限環(huán)的振蕩中共存時(shí)，則捕食和食餌兩個(gè)種群得以穩(wěn)定共存。共設(shè)置10次實(shí)驗(yàn)，并記錄兩種模型對(duì)極限環(huán)不存在性的判斷時(shí)間，如圖3所示。

根據(jù)圖3實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，可得文獻(xiàn)[3]模型判斷時(shí)間為1.7min，本文模型判斷時(shí)間為1.3min，相比文獻(xiàn)[3模型縮短了0.4min，驗(yàn)證了本文捕食-食餌模型的有效性。3結(jié)語

文章針對(duì)傳統(tǒng)捕食-食餌模型中，對(duì)極限環(huán)的不存在性判斷時(shí)間較長的問題，設(shè)計(jì)了一個(gè)基于Dulac函數(shù)的捕食-食餌模型。通過Dulac函數(shù)對(duì)極限環(huán)的不存在性進(jìn)行判斷，并計(jì)算出定性行為的平衡位置，當(dāng)極限環(huán)不存在時(shí)，相應(yīng)參數(shù)下捕食和食餌兩個(gè)種群在此區(qū)間內(nèi)能夠?qū)崿F(xiàn)共存，并最終保持在計(jì)算出的平衡位置上，當(dāng)唯一穩(wěn)定的極限環(huán)存在時(shí)，兩個(gè)種群均不會(huì)滅絕，其種群數(shù)量在平衡位置附近，呈現(xiàn)穩(wěn)定的周期動(dòng)蕩。并通過對(duì)比實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了捕食-食餌模型能夠縮短極限環(huán)的不存在性判斷時(shí)間的有效性，但本文在細(xì)節(jié)方面還存在不足，例如沒有考慮到捕食者依賴于自身密度而提高捕獲概率的情況，除此之外，還忽略了食餌和捕食者成熟期對(duì)模型的影響，希望在今后的研究中將其改善。

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