對(duì)“√2是無理數(shù)的證明”的教學(xué)新探

張慧　常文武

摘要：無論從訓(xùn)練學(xué)生邏輯思維的角度，還是從數(shù)學(xué)史進(jìn)課堂的角度看，“2是無理數(shù)的證明”都是非常好的選題。但是，教材提供的代數(shù)證法，學(xué)生很難接受和理解。對(duì)此，教學(xué)設(shè)計(jì)嘗試采用幾何證法，并以一個(gè)寓言故事為引子，同時(shí)融入折紙活動(dòng)。

關(guān)鍵詞：無理數(shù);幾何證法;折紙;教學(xué)設(shè)計(jì)

一、問題提出

初中生大概都會(huì)經(jīng)歷兩個(gè)經(jīng)典的數(shù)學(xué)證明，其中一個(gè)是勾股定理的證明，另一個(gè)是√2是無理數(shù)的證明。勾股定理（西方稱之為畢達(dá)哥拉斯定理）無須贅言，是初中幾何的基礎(chǔ)。其證明學(xué)生必須掌握。而√2的無理性最早是畢達(dá)哥拉斯的弟子希帕索斯發(fā)現(xiàn)的，它是一個(gè)代數(shù)命題，引發(fā)了一次重大的數(shù)學(xué)危機(jī)。其證明是選學(xué)內(nèi)容（現(xiàn)行各版本的初中數(shù)學(xué)教材均將其代數(shù)證法作為拓展閱讀材料），教師通常略過不講，而讓學(xué)生自己閱讀理解。

筆者認(rèn)為，無論從訓(xùn)練學(xué)生邏輯思維的角度，還是從數(shù)學(xué)史進(jìn)課堂的角度看，“√2是無理數(shù)的證明”都是非常好的選題。那么，對(duì)于教材提供的方法，學(xué)生的理解和掌握情況如何呢？下面是筆者與某位數(shù)學(xué)“資優(yōu)生”的對(duì)話——

師 你了解√2是無理數(shù)嗎？

生 了解。

師 知道怎么證明嗎？

生 學(xué)過，讓我想想。

（學(xué)生沉思。）

師 能不能寫下來。

生 （寫）設(shè)√2=q/p，則2=q²/p²，2p²=q²……

（學(xué)生出現(xiàn)卡頓。）

師 q/p是什么樣的分?jǐn)?shù)？

生 約過分的最簡分?jǐn)?shù)。

師 那么，p和q怎么樣？

（學(xué)生遲疑。）

師 沒有公因數(shù)哦。接下來怎么辦？

（學(xué)生遲疑。）

師 可見右邊是偶數(shù)。

生 對(duì)對(duì)對(duì)，q是偶數(shù)。再設(shè)q=2k……后面忘了。

師 你嘗試把q=2k代入上式看看。

生 哦，可得p²=2k²，然后呢？

師 由此發(fā)現(xiàn)p的奇偶性是什么？

……

可見，對(duì)于教材提供的方法，學(xué)生刻意模仿都很困難。其實(shí)，對(duì)初中生而言，證明本來就比較陌生，反證法則更加陌生。如果刻板地教或讓學(xué)生看教材上的證明，只會(huì)讓學(xué)生畏懼證明。所以，我們嘗試給出一種新的證明方法及教學(xué)設(shè)計(jì)，幫助學(xué)生理解這個(gè)命題及其證明。

二、教學(xué)設(shè)計(jì)

我們嘗試采用幾何方法來證明這個(gè)命題，并以一個(gè)寓言故事為引子。教學(xué)主要包含如下幾個(gè)步驟：

（一）故事導(dǎo)引

根據(jù)“龜兔賽跑”的故事，創(chuàng)設(shè)“龜兔同行”的問題情境：

一只烏龜和一只兔子，它們是好朋友。烏龜和兔子，一個(gè)爬著行，一個(gè)立著跳。如圖1，烏龜爬一個(gè)身子的距離（每個(gè)身段之間無足跡）是某等腰直角三角形的斜邊，兔子跳一下的跨度是該等腰直角三角形的直角邊。請(qǐng)問：如果它們一開始齊頭并進(jìn)地去散步，并一直這樣走下去，它們的足跡會(huì)在某處再次重疊嗎？

這個(gè)問題情境化沿用了龜兔賽跑的寓言，便于學(xué)生形象直觀地理解問題。而且，暗合了當(dāng)初希帕索斯發(fā)現(xiàn)√2的問題原型：兔子跳一下的跨度就是正方形的邊長，烏龜?shù)纳黹L就是相應(yīng)正方形的對(duì)角線長。

（二）結(jié)論數(shù)學(xué)化

通過該問題的解決，得出結(jié)論：無論用多么精細(xì)的尺子的一格當(dāng)1，量出的等腰直角△ABC的斜邊AB與直角邊BC的長度不可能都是整數(shù)。

（三）結(jié)論證明

運(yùn)用反證法，具體如下：

如圖2，作等腰直角△ABC斜邊AB上的高CD，并且繼續(xù)作由高分割得到的一個(gè)小等腰直角三角形斜邊上的高DE、EF……我們可以得到一系列旋轉(zhuǎn)變小的等腰直角三角形。顯然，這個(gè)過程可以無限地進(jìn)行下去。

現(xiàn)在假設(shè)在規(guī)定了非常細(xì)小的單位長度（例如原子的直徑）后，用這把非常精細(xì)的尺子度量AB與BC，發(fā)現(xiàn)它們都是整數(shù)。我們開始推演：

由勾股定理，AC²+BC²=AB²，即2BC²=AB²。

由BC是整數(shù)知2BC2是偶數(shù)，得AB2也是偶數(shù)，得AB是偶數(shù)（奇數(shù)的平方為奇數(shù)，偶數(shù)的平方為偶數(shù)），從而AB的一半，即高CD也為整數(shù)。

在等腰直角△BCD中，斜邊BC和直角邊CD同為整數(shù)，同理，又能推得高DE為整數(shù)。

如此這般，一連串的高EF、FG、GH、HI……都將是整數(shù)。

這些高顯然是一串無限、不斷遞減的數(shù)。它們永遠(yuǎn)保持是整數(shù)，可能嗎？

這是不可能的，因?yàn)闊o論一開始的斜邊AB長多么大，其對(duì)應(yīng)的高CD已經(jīng)減半，而CD上的高EF又將減半……再大的數(shù)不停地對(duì)半折損，最終一定會(huì)小于1。

所以，問題就出在一開始的假設(shè)不合理。于是，我們就得承認(rèn)任何等腰直角三角形的斜邊、直角邊的長度都不能同時(shí)為整數(shù)。

（四）問題解決

設(shè)兔子跳一下的跨度，即某等腰直角三角形直角邊的長度為1，則烏龜?shù)纳黹L，即該等腰直角三角形斜邊的長度為√2。

假如烏龜和兔子的足跡在某處再次重疊，就意味著烏龜身長的m倍等于兔子跳了n下的跨度，即m√2=n，兩邊平方得2m²=n²，根據(jù)勾股定理的逆定理可知，以整數(shù)m當(dāng)直角邊長，整數(shù)n當(dāng)斜邊長，可構(gòu)成一個(gè)等腰直角三角形。

這就與前面我們證明過的結(jié)論矛盾了。所以，烏龜和兔子無論走多遠(yuǎn)，足跡都不會(huì)在某處再次重疊。

三、學(xué)具使用

在上述證明中，得到圖2，除了直接畫圖之外，還可以使用學(xué)具：2n（n為整數(shù)且大于等于2）個(gè)同樣大小的等腰直角三角形拼成大的等腰直角三角形。而每一個(gè)等腰直角三角形都可以通過折紙得到，具體方法如圖3所示。

四、教學(xué)反思

幾何方法讓學(xué)生對(duì)抽象的“2是無理數(shù)”有了直觀、清晰的理解，寓言故事拉近了數(shù)學(xué)與生活的距離，折紙活動(dòng)使得數(shù)學(xué)更平易近人。

數(shù)學(xué)證明教學(xué)的本意是培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，但是過分注重形式的嚴(yán)密往往讓證明變得枯燥和晦澀。犧牲一些表達(dá)的簡潔但不失去邏輯的嚴(yán)密，往往能讓數(shù)學(xué)證明變得易于接受，也不違背數(shù)學(xué)證明教學(xué)的初衷。

實(shí)踐表明，數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)文化內(nèi)容以及動(dòng)手做活動(dòng)在精心的安排下可以進(jìn)入尋常的課堂，成為潤物無聲的教學(xué)素材和新穎的教學(xué)手段。