貝葉斯公式的一些應(yīng)用

彭峰集

摘 要：貝葉斯公式是概率論與數(shù)理統(tǒng)計中一個非常重要的定理，它是一種非常重要的統(tǒng)計推斷方法。本文主要討論貝葉斯公式的一些簡單應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：貝葉斯公式; 統(tǒng)計推斷; 全概率公式

中圖分類號：O211 ? ? ? ? ? 文獻標識碼：A ? ? ?文章編號：1006-3315（2020）8-123-001

貝葉斯公式是概率論與數(shù)理統(tǒng)計課程中一個非常重要的定理。貝葉斯公式又被稱為貝葉斯定理或者貝葉斯規(guī)則，它是概率統(tǒng)計中應(yīng)用所觀察到的現(xiàn)象對有關(guān)概率分布的主觀判斷進行修正的標準方法[1]。

貝葉斯公式是由英國數(shù)學(xué)家和數(shù)理統(tǒng)計學(xué)家托馬斯·貝葉斯于18世紀提出來的。貝葉斯在數(shù)學(xué)方面的主要研究是概率論。他首先將歸納推理法用于概率論的基礎(chǔ)理論研究，并創(chuàng)立了貝葉斯統(tǒng)計理論。他對于統(tǒng)計決策函數(shù)、統(tǒng)計推斷、統(tǒng)計的估算等方面做出了非常大的貢獻。他對統(tǒng)計推理的主要貢獻是使用了“逆概率”這個概念，并把它作為一種普遍的推理方法提出來，這就是概率統(tǒng)計中的貝葉斯公式，也稱為逆概公式[2]。貝葉斯公式與其他統(tǒng)計學(xué)推斷方法的一個明顯的不同之處在于，它是建立在主觀判斷的基礎(chǔ)之上的。

一、貝葉斯公式的內(nèi)容

貝葉斯公式要用到乘法公式和全概率公式，它是乘法公式和全概率公式的綜合運用，它以乘法公式為基礎(chǔ)，可以看成全概率公式的逆，所以很多時候我們把貝葉斯公式也叫做“逆概公式”。

設(shè)事件A1，A2，…An是樣本空間[Ω]的一個劃分，即他們滿足

AiAj=[?] （i[≠]j）;[Uni=1]Ai=[Ω]

且P（Ai）[>]0（i=1，2，…n），B為樣本空間[Ω]中的任意一個事件且P（B）[>0]，則

P（[AK] B）=[P（AkB）P（B）]=[P（Ak）P（BAk）i=1nP（Ai）P（BAi）] ，（k=1，2，…，n）

這個公式就是貝葉斯公式，也稱為逆概公式。

從直觀上來說，貝葉斯公式表明，當已知事件B已經(jīng)發(fā)生的條件下，并且我們知道導(dǎo)致事件B發(fā)生有下列n個原因：A1，A2，…An。此時，我們可以反過來推斷每個原因Ak導(dǎo)致它發(fā)生的概率P（[AK] B），（k=1，2，…，n）。

二、貝葉斯公式的應(yīng)用

貝葉斯公式在實際生產(chǎn)和生活中有很多的應(yīng)用。當今社會飛速發(fā)展，市場競爭日趨激烈，生產(chǎn)商和營銷商必須通過市場的現(xiàn)狀和以往的情況，對市場的下一步發(fā)展做出合理的推斷，對公司的發(fā)展給出英明的決策。這個時候，貝葉斯公式是進行決策分析的一個重要工具了，它主要用來處理先驗概率和后驗概率。另外，在醫(yī)學(xué)判斷、信號處理和其他一些不確定性問題等方面，貝葉斯公式也有很多作用。我們通過下面的例子來說明貝葉斯公式的一些實際應(yīng)用。

例1：某電信公司將兩個信息分別編碼為“+”和“-”傳送出去，接收站收到時，“+”被誤收作“-”的概率為0.02，而“-”被誤收作“+”的概率為0.01，信息“+”和信息“-”傳送的頻繁程度為2：1。若接收站收到的信息是“+”，問該公司原始發(fā)出的信息確實是“+”的概率是多少？

解：設(shè)A1={發(fā)出信號“+”}，A2={發(fā)出信號“-”}，B={接收信號“+”}，本題要求的是P（[A1] B）。由題意可知，

P（A1）=[23]，P（A2）=[13]，P（[B] A1）=0.98，P（[B] A2）=0.01。

由全概率公式可知，

P（B）=P（A1）P（[B] A1）+P（A2）P（B/A2）=[23][×]0.98+[13][×]0.01=[197300]。

再由貝葉斯公式可知，

P（[A1] B）=[P（A1B）P（B）]=[P（A1）P（BA1）P（B）]=[23×0.98197300]=[196197]。

這樣，我們可以看出若接收站收到的信息是“+”，則該公司原始發(fā)出的信息確實是“+”的概率是[196197]，這說明這個信號是可信的。

在實際應(yīng)用中，貝葉斯公式和全概率公式經(jīng)常聯(lián)系在一起進行統(tǒng)計推斷。貝葉斯公式通過已經(jīng)發(fā)生的事件來反過來推斷導(dǎo)致其發(fā)生的各種原因的出現(xiàn)的概率，這種推斷方式在實際生活中有很多的用處，值得我們進行深入的探討和學(xué)習(xí)。

參考文獻：

[1]概率論與數(shù)理統(tǒng)計，浙江大學(xué)，高等教育出版社，2008

[2]概率論與數(shù)理統(tǒng)計，中山大學(xué)數(shù)學(xué)系，高等教育出版社，1988