數(shù)學思維活動經(jīng)驗：內涵、分類及教學策略

摘要：數(shù)學思維活動經(jīng)驗是在數(shù)學思維活動中積累的經(jīng)驗，主要指“思考（問題）”的經(jīng)驗。數(shù)學教學應著重促進學生形成整體與結構化的思維活動經(jīng)驗、嚴謹與靈活的思維活動經(jīng)驗、批判與創(chuàng)造的思維活動經(jīng)驗。從一般層面看，促進數(shù)學思維活動經(jīng)驗形成的教學策略主要有：強化活動體驗，促進思維參與;激活已有經(jīng)驗，把握思維起點;在變式中把握本質，內化思維活動經(jīng)驗;在遷移中實現(xiàn)運用，提升思維活動經(jīng)驗。

關鍵詞：數(shù)學思維活動經(jīng)驗內涵分類教學策略

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》把“基本活動經(jīng)驗”作為課程總目標的“四基”之一。數(shù)學活動經(jīng)驗是指從經(jīng)歷數(shù)學活動（“做數(shù)學”）的過程中獲得的體驗與感悟?！盎畹摹苯?jīng)驗是對“死的”（機械套用的）方法的重要補充和完善，尤其對三維目標中“過程與方法”“情感態(tài)度與價值觀”的達成有不可替代的作用——正如徐利治先生所說的，數(shù)學探索過程中“有許多東西必須經(jīng)過長期的親身體驗才能理解，有許多事情是只能意會而不能言傳的”。

史寧中教授等人認為，數(shù)學基本活動經(jīng)驗包括“實踐的經(jīng)驗”和“思維的經(jīng)驗”，并強調日常數(shù)學學習主要應該獲得“思維的經(jīng)驗”?！皵?shù)學是思維的科學?！睌?shù)學教學最重要的價值是“幫助學生學會思維”。而數(shù)學思維活動經(jīng)驗既是數(shù)學思維的產(chǎn)物，也是進一步形成思維能力的基礎。

目前，學界對數(shù)學基本活動經(jīng)驗，尤其是數(shù)學思維活動經(jīng)驗的研究尚處于起步階段，從理論到實踐，研究成果還不是很豐富。對此，明晰數(shù)學思維活動經(jīng)驗的內涵和分類，探索促進數(shù)學思維活動經(jīng)驗形成的教學策略，就顯得非常重要。

一、數(shù)學思維活動經(jīng)驗的內涵

數(shù)學思維活動經(jīng)驗是數(shù)學思維與數(shù)學活動經(jīng)驗結合的產(chǎn)物。數(shù)學思維和數(shù)學活動經(jīng)驗都是極為復雜的心理現(xiàn)象，都有著內涵抽象而外延多樣的概念，都可以從不同角度和側面來理解和闡述。因此，數(shù)學思維活動經(jīng)驗就有了多重含義。

結合專家學者的相關研究成果，筆者曾嘗試對數(shù)學思維活動經(jīng)驗的內涵提出自己的理解：“數(shù)學思維活動經(jīng)驗就是以空間形式和數(shù)量關系為思維對象，借助數(shù)學語言和符號，在感悟歸納和演繹推理、發(fā)現(xiàn)數(shù)學知識和規(guī)律、解決數(shù)學問題的過程中，只依據(jù)思維材料進行數(shù)學思維操作活動所獲得的經(jīng)驗。”這樣的界定，體現(xiàn)了數(shù)學思維和數(shù)學活動經(jīng)驗的雙重特質，并概括了數(shù)學思維活動經(jīng)驗作用和形成的對象、方法、過程和結果。

現(xiàn)在看來，這一界定的論述盡管較為嚴謹，但是不夠通俗易懂。通俗地說，數(shù)學思維活動經(jīng)驗是在數(shù)學思維活動中積累的經(jīng)驗，主要指“思考（問題）”的經(jīng)驗，即從“是什么”“為什么”“怎么辦”以及“還能怎樣”等角度把問題想清楚、想全面、想深入的經(jīng)驗。相對于數(shù)學實踐活動經(jīng)驗，其是一種內隱的、不可見的活動經(jīng)驗。

二、數(shù)學思維活動經(jīng)驗的分類

同樣，數(shù)學思維活動經(jīng)驗也具有多種分類，沒有統(tǒng)一的標準。

過去，我們常常強調數(shù)學思維具有“高度的抽象性”和“嚴密的邏輯性”。這是不錯的，但更多的是從數(shù)學研究結果整理、表述的角度來考慮的。實際上，數(shù)學研究成果的探索過程是發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造的過程，其中還包含猜測、嘗試、類比、歸納、想象、直覺、審美等思維。對此，徐利治先生曾結合腦科學的研究成果，把前者稱為具有確定性、嚴格性和一定程度的可行性（可以按照確定要求在有限步驟內完成）的“左腦思維”，把后者稱為具有形象性、非邏輯性和一定程度的緘默性（難以用語言表達）的“右腦思維”。

基于數(shù)學思維的基本特點（參考了林崇德教授對思維品質的分類），結合當下數(shù)學教學的常見誤區(qū)，筆者認為，數(shù)學教學應著重促進學生形成整體與結構化的思維活動經(jīng)驗、嚴謹與靈活的思維活動經(jīng)驗、批判與創(chuàng)造的思維活動經(jīng)驗。當然，這三類思維活動經(jīng)驗并非各自獨立的，而是互有交叉的;強調某一種思維活動經(jīng)驗，只是在某一方面有所側重而已。

（一）整體與結構化的思維活動經(jīng)驗

作為抽象思維、邏輯思維成果的數(shù)學知識，具有內在的統(tǒng)一性（共同本質）和豐富的聯(lián)系性（相關及因果關系），從而形成了整體的結構。而當下的數(shù)學教學常常陷入“只見樹木，不見森林”的誤區(qū)。因此，筆者認為，數(shù)學教學應該著重促進學生形成整體與結構化的思維活動經(jīng)驗：從統(tǒng)一與聯(lián)系的視角入手，系統(tǒng)建構數(shù)學知識，擴充完善知識結構，從而促進知識理解，增強知識記憶。一般地，可以用學科大概念統(tǒng)領具體的知識與方法，形成自上而下的建構;也可以在獲得具體的知識與方法后，將其帶入宏觀的體系中加以解釋和分析，進行自下而上的完善。

例如，從知識層面看，蘇教版小學數(shù)學五年級下冊《分數(shù)的意義和性質》單元中，分數(shù)的基本性質是約分和通分的依據(jù)，而約分和通分是分數(shù)大小比較的重要方法，由此可以構建出如圖1所示的知識結構。此外，小數(shù)與分數(shù)聯(lián)系十分密切，理解分數(shù)的意義是學習小數(shù)的前提和基礎，因而可以繼續(xù)擴充完善這一知識結構。

再如，從方法層面看，9加幾、8加幾、7加幾等進位加法，都要利用湊十的方法進行計算;從思想層面看，無論小數(shù)乘整數(shù)，還是小數(shù)乘小數(shù)，都要借助轉化的思想解決問題……利用這樣的統(tǒng)一性，也可以建立相應的知識結構。

（二）嚴謹與靈活的思維活動經(jīng)驗

徐利治先生曾指出：“用思維科學和心理學的術語來說，數(shù)學左腦思維是一種‘收斂思維，而數(shù)學右腦思維是一種‘發(fā)散思維。收斂思維注重一絲不茍的邏輯分析的驗證與論證。發(fā)散思維強調海闊天空、自由創(chuàng)造，由此及彼、浮想聯(lián)翩。……數(shù)學創(chuàng)造往往開始于不嚴格的發(fā)散思維，繼之以嚴格的收斂思維，兩者相輔相成?！卑l(fā)展收斂思維需要強調思維的嚴謹性：對數(shù)學對象的敘述要精確，對數(shù)學結論的論證要周密，要將有關的數(shù)學內容組成一個嚴謹?shù)倪壿嬒到y(tǒng)。發(fā)展發(fā)散思維需要強調思維的靈活性：能從不同的角度抓住問題情境的特征，靈活運用已有的數(shù)學知識，不斷調整思維方向去解決問題;能具體問題具體分析，根據(jù)情況的變化及時調整原有的思維過程與方法，靈活選擇最優(yōu)的思維過程與方法去解決問題。

教育研究與評論小學教育教學/2020年第5期獨家策劃而當下的數(shù)學教學常常對思維的嚴謹性和靈活性顧此失彼，甚至兩者皆失。嚴謹性不足的主要原因是，重視定理、公式等的運用，而忽視了它們的推理論證。靈活性不足的主要原因是，重結果、輕過程，囿于經(jīng)驗、思維定式。因此，筆者認為，數(shù)學教學應該著重促進學生形成嚴謹與靈活的思維活動經(jīng)驗：既要符合邏輯地思考，有依據(jù)地推理，又能根據(jù)需要靈活調整思維。

例如，解決“已知一個圓柱形水桶的側面積是75.36 dm2，底面半徑是2 dm，求其體積”的問題時，學生通常會利用側面積公式和底面周長公式，求出圓柱的高，進而利用體積公式，求出圓柱的體積。這時，教師可以引導學生列出算式（75.36÷2）×2，然后借助圓柱剪拼為長方體的直觀演示，理解這種“側面積除以2再乘高”的方法的合理性。在解決問題的過程中，靈活創(chuàng)造新的公式，并借助幾何直觀確認其合理性，正是嚴謹與靈活的思維活動經(jīng)驗的表現(xiàn)。

（三）批判與創(chuàng)造的思維活動經(jīng)驗

批判性思維原意為審辯式思維，是指個體對某種現(xiàn)象、結論、主張的真實性、準確性、適用性等方面做出的審慎判斷（證實或證偽）。英國數(shù)學哲學家I.拉卡托斯特別重視數(shù)學知識發(fā)展中批判性思維的作用——他繼承了著名科學哲學家K.波普爾的證偽主義思想，認為（人類建構的）真理是相對的，而不是絕對的，因而是可批判的。他認為，從問題和猜測開始，就有著關于證明和反例的同時性研究。新的證明解釋老的反例，新的反例推翻老的證明。在沒有經(jīng)過嚴格邏輯整理之前非形式化的數(shù)學思維活動中，“證明”并不意味著傳遞真值的機械程序，而只意味著解釋、闡述，使猜測更逼真、可信。這種證明的每一步都服從于批判。證明與反駁的功能都在于改進猜測，使之更加準確，更接近真理。因此，可以說，數(shù)學的批判性思維是數(shù)學發(fā)現(xiàn)的必由之路，使得數(shù)學思維充滿創(chuàng)造的活力。

但是，我們必須承認，當下的數(shù)學教學中，批判性思維以及由此而生的創(chuàng)造性思維是一種稀缺的思維品質。因此，筆者認為，數(shù)學教學還應該著重促進學生形成批判與創(chuàng)造的思維活動經(jīng)驗：敢于質疑，不迷信、不盲從書本和教師的權威;能發(fā)現(xiàn)自己和同學原有認識的錯誤和不足，不斷加以改正和完善;能自覺調控思維進程和對思維結果進行檢驗;能運用不同方法，從不同角度或不同側面思考和解決問題;充分經(jīng)歷數(shù)學“再創(chuàng)造”的過程。

例如，教學“面積的意義”時，教師要求學生比較兩個長方形面積的大小，學生采用了不同的方法。在交流中，學生體會到觀察法和重疊法的局限性，進而想到用一個小正方形作為標準去度量的方法。于是，教師給學生不同大小的小正方形，讓學生去度量同一個長方形。學生發(fā)現(xiàn)結果不同，進而思考原因，發(fā)現(xiàn)要統(tǒng)一度量的標準。在這樣的活動中，學生不僅加深了對面積意義的理解，而且不斷積累著批判與創(chuàng)造的思維活動經(jīng)驗。

三、促進數(shù)學思維活動經(jīng)驗積累的教學策略

作為一種數(shù)學活動經(jīng)驗，數(shù)學思維活動經(jīng)驗的積累首先要充分經(jīng)歷數(shù)學思維活動的過程，從中體驗與感悟。作為數(shù)學思維的活動經(jīng)驗，其又要注意指向思維發(fā)展的數(shù)學深度學習中的意義（聯(lián)系）建構、本質理解、遷移運用及批判反思等。由此，從一般層面看，促進數(shù)學思維活動經(jīng)驗積累的教學策略主要有以下四條：

（一）強化活動體驗，促進思維參與

積累數(shù)學思維活動經(jīng)驗首先要在具體的數(shù)學思維活動（可以是有實踐參與的思維活動，也可以是沒有實踐參與的思維活動）中體驗，并且強調思維的參與。因此，在教學中，教師要精心選擇素材、設計問題，并恰當組織數(shù)學活動，來啟發(fā)學生思考。

例如，教學《角的度量》一課，教師首先鼓勵學生借助不同的工具測量同一個角的大小，在“為什么同一個角測量出來的結果不同？”的質疑中體會“用同一標準測量的必要性”;接著，課件呈現(xiàn)量角器作為量角工具產(chǎn)生的歷史，讓學生體驗量角的標準——1°角產(chǎn)生的過程;最后，讓學生用量角器測量課始出示的角的大小，并交流測量的方法和注意點，特別在看內圈和外圈度數(shù)的討論中加深對角的概念理解。這樣的教學，通過多種活動，讓學生經(jīng)歷了角的度量工具和標準產(chǎn)生的過程，體驗了知識形成過程中的困惑與突破，在思維充分參與中，積累了新的思維活動經(jīng)驗。

再如，蘇教版小學數(shù)學教材通過“分桃”“分小棒”等活動，引導學生理解“平均分”。但是，很多教師執(zhí)教本課時組織的“操作活動”，讓學生僅有感官參與，而缺少思維參與，導致學生對“平均分”的認識停留在直觀和經(jīng)驗層面。筆者執(zhí)教本課時，將“操作”與“比較”相結合，將操作后的素材作為思考的對象，以促進學生思維的參與：首先初步感知，動手操作把6個桃分成兩堆，通過“哪種分法與眾不同？”組織第一次比較，引出平均分;接著加深理解，動手操作把6個桃平均分，通過“這些分法有什么相同的地方？”組織第二次比較，體會平均分“每份同樣多”的本質;最后反例辨析，觀察判斷哪組是平均分、哪組不是，組織第三次比較，突出“關注每份個數(shù)”。由此，幫助學生積累數(shù)學思維活動經(jīng)驗。

（二）激活已有經(jīng)驗，把握思維起點

意義建構是把新的知識和經(jīng)驗融入已有知識和經(jīng)驗的過程，也是重要的數(shù)學思維活動經(jīng)驗。因此，在教學中，教師要充分激活學生的已有經(jīng)驗，準確把握學生的思維起點，進而使學生的經(jīng)驗得到改造，思維得以發(fā)展。

例如，教學《三位數(shù)乘兩位數(shù)》一課，教師首先給出2、3、4、6四個數(shù)字的卡片，引導學生思考：用這四個數(shù)可以組成哪些乘法算式？這些算式可以分為幾類？分別怎樣計算？接著，添加數(shù)字7的卡片，引導學生思考：用這五個數(shù)可以組成哪幾類乘法算式？你會算哪一類？這樣，可有效激活學生已有的三位數(shù)乘一位數(shù)和兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算經(jīng)驗，進而鼓勵學生自主嘗試計算三位數(shù)乘兩位數(shù)。最后，教師引發(fā)學生進一步聯(lián)想：如果再添上數(shù)字8的卡片，又會組成哪幾類算式？……

再如，《異分母分數(shù)加減法》一課，學習的難點在于“為什么要先通分再計算”。在此之前，學生先后學習了整數(shù)的加減法、小數(shù)的加減法和同分母分數(shù)加減法。這三類加減法的本質都是把相同計數(shù)單位上的數(shù)相加減。確定了這樣的思維起點，教學時可以先出示三類算式各一道，引導學生計算后比較這三類算式的相同之處，由此引入新課的學習。

又如，《長方體、正方體的體積計算》一課，學生的思維起點在于“度量”和“體積”兩個概念。在認識長方體和正方體時，學生已經(jīng)積累了“用若干個1立方厘米的小正方體擺出幾何體，算出用了多少個體積單位”的操作和思維活動經(jīng)驗。本課的教學可以從“長方體的體積是什么？”引入，通過“用了多少個體積單位？”“體積是多少？”“怎樣數(shù)出來的？”這三個問題逐層展開，使學生不僅獲得長方體、正方體的體積公式，而且深刻理解“度量”的本質就是“計量單位累加得到一個數(shù)”，同時積累相應的思維活動經(jīng)驗。

（三）在變式中把握本質，內化思維活動經(jīng)驗

數(shù)學思維特別注重抓住數(shù)學對象變中的不變，達到本質的理解和統(tǒng)一的認識。這樣的思維活動經(jīng)驗更容易內化。因此，在教學中，教師要盡可能設計豐富的變式（包括概念教學中的概念性變式、解題教學中的過程性變式等），引導學生打破思維定式，把握內容本質。

例如，教學《認識三角形》一課，教師放手讓學生嘗試畫一個三角形，然后借助實物投影呈現(xiàn)學生畫的圖形，引導學生思考：這些圖形大大小小、高高矮矮、胖胖瘦瘦，為什么都是三角形？從而抽象出“有三條邊、三個角和三個頂點”的共同特征。接著，教師出示一系列“三角形”的反例，引發(fā)學生思辨、討論，進一步抽象出“三條線段”“首尾相連”“圍成”等本質特征，建立三角形的概念。這樣，教學就通過呈現(xiàn)正例（形狀、大小變式）和反例，突出了三角形的本質屬性。

（四）在遷移中實現(xiàn)運用，提升思維活動經(jīng)驗

遷移運用已有知識和經(jīng)驗解決新的問題，可以將間接經(jīng)驗直接化，實現(xiàn)數(shù)學思維活動經(jīng)驗的提升。因此，在教學中，教師要盡可能設計相關的問題情境，給學生提供遷移運用已有知識和經(jīng)驗解決問題的機會。

例如，教學《按比例分配》一課，教師呈現(xiàn)問題情境“四杯橙汁都是300毫升，每杯中純橙汁和水的體積比分別是1∶5、1∶4、1∶1、2∶1”后，先引發(fā)思考：哪一杯橙汁更濃一些？每杯中的純橙汁和水各有多少毫升？再組織討論：哪一杯比較特殊？從而將“按比例分配”問題與“平均分”問題建立聯(lián)系，明確之前解決的“平均分”問題就是現(xiàn)在要解決的“按比例分配”問題的一個特例，以此讓學生在應用中主動遷移已有知識和經(jīng)驗。

*本文系江蘇省教育科學“十三五”規(guī)劃重點資助課題“小學數(shù)學思維活動經(jīng)驗形成的案例研究”（編號：Ca/2016/02/01）的階段性研究成果。

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