深刻理解平均數(shù)，讓學(xué)習(xí)深度發(fā)生

李國良

【摘要】“平均數(shù)”是數(shù)學(xué)統(tǒng)計領(lǐng)域的一個重要內(nèi)容。學(xué)生能較容易地掌握平均數(shù)的計算方法，但對于平均數(shù)的意義、特征及價值缺乏理解。為幫助學(xué)生更好地掌握平均數(shù)的統(tǒng)計意義，積累分析和處理數(shù)據(jù)的能力，感悟其統(tǒng)計價值，筆者試著通過對教材的分析、利用名師課堂資源、開展認(rèn)知基礎(chǔ)調(diào)查，從而構(gòu)建有深度的課堂教學(xué)，讓平均數(shù)的意義得到充分的展現(xiàn)。

【關(guān)鍵詞】理解 深度 意義

“平均數(shù)”是人教版數(shù)學(xué)四年級下冊的教學(xué)內(nèi)容，平均數(shù)是統(tǒng)計學(xué)中最常用的統(tǒng)計量，也是統(tǒng)計與概率中一個重要的知識點。數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：統(tǒng)計與概率領(lǐng)域要讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)據(jù)的收集、整理和分析過程，掌握一些簡單的數(shù)據(jù)處理技能，進一步認(rèn)識到數(shù)據(jù)中蘊含的信息，發(fā)展數(shù)據(jù)分析觀念。這給教師教學(xué)“平均數(shù)”這一知識點提供了啟示，不僅要讓學(xué)生體會平均數(shù)的作用、能計算平均數(shù)，還要感悟到平均數(shù)能刻畫一組數(shù)據(jù)的集中趨勢，是比較不同組數(shù)據(jù)的一個指標(biāo)。

一、教材內(nèi)容分析

人教版數(shù)學(xué)四年級下冊“平均數(shù)”這一知識點安排了兩個課時（新授課+練習(xí)課），編排了兩個例題。我們發(fā)現(xiàn)，例1通過四個小朋友收集礦泉水瓶的生活事例，解決“平均每人收集了幾個礦泉水瓶？”的問題，讓學(xué)生初步掌握運用移多補少和用算式方法來求平均數(shù);例2通過兩組踢毽子的數(shù)據(jù)讓學(xué)生分別求出平均數(shù)并進行比較，重點讓學(xué)生體會平均數(shù)可以反映一組數(shù)據(jù)的集中情況和區(qū)別不同數(shù)據(jù)組間的總體情況。

筆者認(rèn)為，這樣安排雖符合“平均數(shù)”概念的認(rèn)知過程，即“是什么→怎么得到→有什么用”，但例1通過礦泉水?dāng)?shù)量間的“移多補少”及計算來定義平均數(shù)的概念顯得單薄，它讓學(xué)生感受更多的是平均分，而“13就是這4個數(shù)的平均數(shù)”讓學(xué)生感受更多的是計算，沒有深刻反映一組數(shù)的總體趨勢。其實，平均數(shù)在生活中是有原型的，如“小紅踢了5次毽子，找出最能代表小紅踢毽子水平的數(shù)”，這里“不多不少”的那個數(shù)就是這5次踢毽子的平均數(shù)。學(xué)生對這樣的生活場景很熟悉，他們可以用自己的表達方式來理解平均數(shù)，自然也就容易感受到平均數(shù)是什么了。

二、名師課堂賞析

“平均數(shù)”作為統(tǒng)計與概率中的一節(jié)典型課，許多專家和教師對其進行了多次的演繹，我們可以從他們的教學(xué)思想與理念中尋求合理的教學(xué)方法，其中吳正憲、張齊華、俞正強三位著名特級教師的課較為經(jīng)典，梳理后的教學(xué)流程見表1：

仔細分析三位專家的課堂，發(fā)現(xiàn)有兩個明顯的特點：一是三節(jié)課均把平均數(shù)的意義、特點作為教學(xué)重點來開展;二是均運用了移多補少的方法來揭示平均數(shù)的產(chǎn)生，淡化了用計算方法來得出平均數(shù)。針對三位專家的課堂及教材分析，筆者有一些淺顯的想法：

1.對眾數(shù)知識點滲透的思考

先前教材分析中“踢毽子”的素材與俞正強老師的“跑步計時”素材有相似之處，一個是“不多不少”，一個是“不快不慢”，兩者均容易讓學(xué)生感受到平均數(shù)是什么。筆者還觀察到在數(shù)據(jù)的選擇上俞正強老師把眾數(shù)（14）也安排其中，我們認(rèn)為，這一編排存在一定爭議，因為在現(xiàn)實生活中，眾數(shù)往往反映一組數(shù)據(jù)的集中趨勢，是真實存在的，這與平均數(shù)代表“一組數(shù)據(jù)的集中水平”相混淆，學(xué)生不容易把兩者區(qū)分開來，而課堂上學(xué)生的表現(xiàn)也證實了這一觀點。

2.對統(tǒng)計圖教學(xué)策略的思考

平均數(shù)的“變化”特征有兩個：一是容易受極端數(shù)據(jù)的影響;二是平均數(shù)介于最大值和最小值之間。張齊華老師在課堂上通過計算（4，6，5，5）和（4，6，5，9）這兩組數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)平均數(shù)發(fā)生了變化，再觀察兩個統(tǒng)計圖，從而得出“平均數(shù)容易受極端數(shù)據(jù)影響”的結(jié)論。

筆者認(rèn)為，這一環(huán)節(jié)還可以更加精致一些，如果能在統(tǒng)計圖中描畫出“平均數(shù)的水平線”，學(xué)生更能直觀感知9這個數(shù)據(jù)在這組數(shù)中的影響，同時，還可以通過課件演示“平均數(shù)的水平線”隨著某一個數(shù)據(jù)的變化而變化這一動態(tài)過程，進一步讓學(xué)生體會到平均數(shù)的變化區(qū)間，幫助其理解意義。

三、學(xué)生認(rèn)知解析

基于對教材和名師課堂的分析，筆者覺得有必要對學(xué)生的認(rèn)知水平做一個原始的調(diào)查，便于準(zhǔn)確了解學(xué)生對平均數(shù)知識的認(rèn)知情況。

1.調(diào)查對象及方法

為使調(diào)查更具有全面性和真實性，我們選取了城區(qū)與鎮(zhèn)屬小學(xué)各兩個班的學(xué)生，采用無記名、閉卷、無暗示的形式進行，共發(fā)放及回收調(diào)查卷117份。

2.調(diào)查內(nèi)容分層次剖析

本次調(diào)查設(shè)4個小題，根據(jù)每一問題的回答情況進行了認(rèn)知水平分級統(tǒng)計，具體見表2～5：

在對上述4個題目分層次分析后，我們認(rèn)為學(xué)生的認(rèn)知水平主要存在兩個問題：

一是平均分與平均數(shù)的意義混淆。平均數(shù)是在理解平均分及除法運算含義的基礎(chǔ)上進行教學(xué)，從調(diào)查卷第2題發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生會算平均數(shù)，但更多的是停留在平均分上，筆者對第1題中水平2的部分學(xué)生進行了談話了解，進一步證實了這個觀點。

二是對平均數(shù)的特征缺乏認(rèn)知。對比表3與表4我們可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對平均數(shù)問題的解決要遠遠好于對平均數(shù)特征的理解，第2小題就是解決求平均數(shù)問題，而第3小題屬于統(tǒng)計中的“問題解決”，并不需要學(xué)生計算，更側(cè)重理解，對學(xué)生來說有一定困難。

四、教學(xué)實踐評析

基于對認(rèn)知基礎(chǔ)的調(diào)查與分析，我們認(rèn)為在教學(xué)中要著重落實兩個問題：一是引出并揭示平均數(shù)的意義要用合理化的素材，可以用學(xué)生認(rèn)知建構(gòu)中的“不多不少”來進行;二是要積極幫助學(xué)生理解平均數(shù)的代表性、虛擬性和易變性，體會從不同的角度來建構(gòu)平均數(shù)的本質(zhì)特征。也就是教師在教學(xué)平均數(shù)時需要讓學(xué)生經(jīng)歷、體驗平均數(shù)的產(chǎn)生及應(yīng)用，了解平均數(shù)特征，領(lǐng)悟平均數(shù)的統(tǒng)計意義及價值，掌握平均數(shù)的計算方法。

1.基于生活經(jīng)驗，初步體會平均數(shù)的意義

從學(xué)生所熟悉的現(xiàn)實情境和已有的知識經(jīng)驗出發(fā)，讓學(xué)生能夠積極地開展思維活動。課始，教師出示小紅踢5次毽子的情況統(tǒng)計圖（如圖1）并設(shè)問：如果要用一個數(shù)來記錄小紅踢毽子的水平，會是怎樣的數(shù)呢？讓學(xué)生在討論的過程中逐步體會到24最能代表這5次成績的一般水平。接著質(zhì)疑：你們是怎么得到這個24的？它又代表什么意思？

生1：通過把次數(shù)多的分給次數(shù)少的，這樣每一次均是24。

生2：通過把5次成績相加得到一個總數(shù)，再平均分成5份，就是（23+28+22+26+21）÷5=24。

生3：這個24就是他們平均分了以后得到的。

生4：24是不多不少的一個數(shù)。

……

通過思考、討論后，學(xué)生初步感受到24是個平均數(shù)，最能代表小紅5次跳繩的真實水平，也懂得了平均數(shù)可以通過“移多補少”或者“總數(shù)÷總份數(shù)=平均數(shù)”來求得。筆者認(rèn)為，提供一份“有生活經(jīng)驗的素材→進行觀察比較→引向深層次分析→指向知識本質(zhì)的思考”是概念教學(xué)的有效實施路徑，學(xué)生在“觀察表面?zhèn)€數(shù)→發(fā)現(xiàn)這些數(shù)據(jù)不能解決問題→找最合理的數(shù)作為代表”的過程中逐步明白平均數(shù)的概念。

2.基于多重辨析，深入感知平均數(shù)的特征

概念的形成是從外部的、比較具體的非本質(zhì)特征到內(nèi)部的、比較抽象的本質(zhì)特征的不斷深化的過程，更是學(xué)生心理的建構(gòu)過程。因此，實現(xiàn)平均數(shù)從“生活化”到“數(shù)學(xué)化”，使學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光來分析問題需要一個不斷強化、辨析的過程。

學(xué)生初步理解平均數(shù)之后，教師再次設(shè)問：假如小紅第6次剛好踢了24個，這六次的平均數(shù)還是24個嗎？為什么？學(xué)生很快知道平均數(shù)依然是24。接著追問：第6次的24與平均數(shù)的24意思一樣嗎？通過討論，學(xué)生們一致認(rèn)為第6次的24是實實在在踢出來的，而平均數(shù)24是一組數(shù)據(jù)平均后的一般水平，兩者意思不一樣。這樣讓學(xué)生充分感知到平均數(shù)虛擬性的特征。

隨后，繼續(xù)研究第6次踢毽子數(shù)量的可能性：假如小紅的狀態(tài)不好，第6次踢了6個，平均數(shù)會發(fā)生怎樣的變化？會比6還小嗎？組織學(xué)生列式計算出具體的平均數(shù)，并質(zhì)疑為什么是21個。假如小紅的狀態(tài)特別好，第6次踢了42個，現(xiàn)在的平均數(shù)又會發(fā)生怎樣的變化？會比42大嗎？如果第6次比42個還多，平均數(shù)又會怎樣？通過這一系列的討論，讓學(xué)生感受到平均數(shù)的變化是有一定區(qū)間的：總比最大的小，比最小的大，同時也感覺平均數(shù)是一個敏感數(shù)，容易受統(tǒng)計數(shù)據(jù)內(nèi)某個數(shù)據(jù)的變化而變化，特別是受極端數(shù)據(jù)的影響較大，會偏離“大多數(shù)”。

雖然平均數(shù)容易受極端數(shù)據(jù)的影響，但當(dāng)統(tǒng)計量較多時，一些極端數(shù)據(jù)對整個數(shù)據(jù)的平均數(shù)影響不大，而當(dāng)這些極端數(shù)據(jù)顯得十分極端時，對整個數(shù)據(jù)的影響依然存在。教學(xué)時，教師應(yīng)讓學(xué)生充分感受到統(tǒng)計量個數(shù)的多少與平均數(shù)變化也存在一定的關(guān)系。教學(xué)中出示一些例子，組織學(xué)生討論極端數(shù)據(jù)與平均數(shù)的變化情況。

筆者以為，通過上述的辨析，學(xué)生對平均數(shù)的意義和特征有了較為準(zhǔn)確、全面的理解，知道了平均數(shù)是對一組數(shù)的直觀了解，也是一組數(shù)據(jù)集中趨勢的代表，懂得了平均數(shù)的虛擬性和變化區(qū)間，引入極端數(shù)據(jù)也讓學(xué)生明白平均數(shù)存在的缺點，它能掩蓋一組數(shù)據(jù)的真實性，有時代表不了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢，有利于引入新的統(tǒng)計量（中位數(shù)、眾數(shù)）來分析統(tǒng)計數(shù)據(jù)。

3.基于實踐運用，科學(xué)研判平均數(shù)的價值

概念教學(xué)中建構(gòu)意義就是幫助學(xué)生形成對概念較深刻的理解，提高他們運用概念解決問題的能力。在明確了平均數(shù)的意義與特征后，出示兩個關(guān)于正確研判平均數(shù)價值的題目進行分析，有利于進一步掌握“平均數(shù)”的特征。

一是“平均壽命問題”（如圖2）。讓學(xué)生在充分討論的基礎(chǔ)上，進一步明白平均數(shù)只能代表一組數(shù)據(jù)的集中趨勢，不能代表每一個數(shù)據(jù)的個體情況;而且平均數(shù)還可以起到一個推斷更多數(shù)據(jù)（預(yù)期）的作用。

二是“比賽成績問題”（如圖3），先組織觀察兩個班級的合唱成績再進行比較，學(xué)生自然計算出原始成績的平均分401班好于402班，然后教師質(zhì)疑：401班的成績真的好于402班嗎？有不同想法的嗎？

合唱比賽成績?nèi)缦拢膫€班級成績稍微好些呢？

生5：因為401班的平均分為86分，402班平均分為85分，所以401班的成績較好。

生6：我不同意，因為402班有4個同學(xué)的成績比401班的好。

生7：401班有個較大的極端數(shù)96，402班有個較小的極端數(shù)75，如果這兩個評委分別對一個班級好一點、一個班級差一點，就不公平了。

生8：在打分比賽的時候，往往會去掉一個最高分和一個最低分，然后取平均值。

師：如果按照生8說的，現(xiàn)在是哪個班級的成績好一點？

生9：401班平均分為85.2分，402班平均分為86.2分，402班成績好點。

師（小結(jié)）：兩個班級都有不一樣的極端數(shù)據(jù)的存在，所以原始的平均分并不能真正代表兩個班級的真實水平，不要被眼前的數(shù)據(jù)所迷惑，一定要通過觀察、思考分析數(shù)據(jù)背后隱藏的信息，才能讓我們科學(xué)、準(zhǔn)確地判斷。

平均數(shù)起著一組數(shù)據(jù)的描述功能或推斷功能的作用，要讓學(xué)生深刻領(lǐng)悟平均數(shù)的價值，需要教師給予一個“腳手架”，讓學(xué)生在這個支架上認(rèn)真分析、推理;同時把生活中運用平均數(shù)的問題通過隱含極端數(shù)據(jù)的方式呈現(xiàn)出來，在觀察、比較、計算的基礎(chǔ)上幫助學(xué)生積累分析、處理數(shù)據(jù)的方法和經(jīng)驗。

總之，一個概念的習(xí)得需要經(jīng)歷“感知—理解—深化”三個階段。我們通過對“平均數(shù)”一課的教材分析、有效利用“優(yōu)課”資源、正確把握認(rèn)知基礎(chǔ)，從數(shù)學(xué)本質(zhì)出發(fā)來構(gòu)建有深度的課堂。讓學(xué)生充分感知平均數(shù)的產(chǎn)生、理解平均數(shù)作為一組數(shù)據(jù)集中趨勢的代表量以及平均數(shù)受統(tǒng)計數(shù)據(jù)中每一個數(shù)的影響的特征，懂得能更多地利用所有數(shù)據(jù)信息開展統(tǒng)計學(xué)中的描述與推斷，發(fā)展學(xué)生的統(tǒng)計素養(yǎng)和數(shù)據(jù)分析觀念。