考慮干濕循環(huán)的大理巖統(tǒng)計(jì)損傷本構(gòu)模型

王 輝， 王 偉， 朱鵬輝， 李 堯， 劉志航

（1.河海大學(xué)巖土力學(xué)與堤壩工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京 210024； 2.河海大學(xué)土木與交通學(xué)院巖土所，南京 210024；3.中交上海航道勘察設(shè)計(jì)研究院有限公司，上海 200120）

巖石在不同的位置裂隙分布具有很大的差別，而巖石的干濕循環(huán)試驗(yàn)結(jié)果與巖石的裂隙發(fā)育情況具有很大的關(guān)聯(lián). 因此本文著重以巖石的裂隙微元體的發(fā)育情況來定義巖石的劣化損傷模型. 近年來，研究人員在巖石劣化損傷模型研究方面取得十分豐富的成果. 曹文貴［1］提出了強(qiáng)度破壞準(zhǔn)則來表示微元強(qiáng)度，發(fā)現(xiàn)了巖石在一定應(yīng)力下產(chǎn)生的損傷應(yīng)用微元強(qiáng)度能夠更好地描述. 張夢成等［2］在連續(xù)損傷原理的基礎(chǔ)上引入最小耗能原理，并應(yīng)用各向同性假定構(gòu)建損傷本構(gòu)模型. 馮曉偉等［3］對(duì)水化學(xué)腐蝕作用砂巖三軸蠕變實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行研究，運(yùn)用廣義Kelvin模型構(gòu)建了砂巖的損傷流變本構(gòu)模型. 石崇［4］引入虎克-布朗準(zhǔn)則、鄭志［5］引入Mogi-Coulomb準(zhǔn)則、田振元［6］引入拉德-鄧肯破壞準(zhǔn)則等不同的破壞準(zhǔn)則描述巖石的微元強(qiáng)度，都說明應(yīng)用微元強(qiáng)度描述巖石的劣化具有一定的優(yōu)越性. 張慧梅等［7］基于Weibull分布角度，通過凍融與荷載耦合作用建立了巖石損傷模型，考慮了損傷特性等多因素作用，驗(yàn)證了損傷本構(gòu)模型對(duì)試驗(yàn)結(jié)果較好的擬合效果.

水電站周期性的蓄水與排水等情況會(huì)造成庫岸邊坡的干濕循環(huán)交替，其劣化機(jī)理復(fù)雜. 目前，研究人員就干濕循環(huán)造成的巖石劣化損傷進(jìn)行了研究. 謝學(xué)斌［8］基于砂巖的單軸壓縮與干濕循環(huán)耦合作用的劣化機(jī)理，證實(shí)砂巖在干濕循環(huán)作用下力學(xué)性質(zhì)明顯劣化. 傅宴等［9］通過CT掃描的方法對(duì)干濕循環(huán)下砂巖進(jìn)行研究，證實(shí)在干濕循環(huán)下其內(nèi)部膠結(jié)物質(zhì)溶蝕，松散顆粒增多，孔隙、裂隙也隨著增多，強(qiáng)度也相應(yīng)降低. 姚遠(yuǎn)［10］統(tǒng)計(jì)了泥巖在干濕循環(huán)下裂縫面積，證實(shí)了在干濕循環(huán)下最初幾次的干濕循環(huán)樣品裂縫發(fā)育面積最大，并得出巖石強(qiáng)度損失是由于樣品裂縫快速發(fā)育的結(jié)果. 這些研究大多集中于研究砂巖與泥巖在干濕循環(huán)條件下巖石的劣化損傷機(jī)理，針對(duì)大理巖在干濕循環(huán)作用下的損傷本構(gòu)模型目前還比較缺乏.

本文以錦屏大理巖為研究對(duì)象，結(jié)合對(duì)干濕循環(huán)作用下大理巖單軸壓縮試驗(yàn)數(shù)據(jù)，建立考慮干濕循環(huán)效應(yīng)的統(tǒng)計(jì)損傷本構(gòu)模型，描述大理巖干濕循環(huán)下的劣化規(guī)律，為邊坡穩(wěn)定性設(shè)計(jì)提供一定依據(jù).

1 損傷本構(gòu)模型的建立

巖石損傷本構(gòu)關(guān)系模型一直以來是人們普遍關(guān)注的問題，研究者利用統(tǒng)計(jì)學(xué)原理研究損傷，對(duì)于巖石的統(tǒng)計(jì)損傷本構(gòu)模型的研究取得了突破性的進(jìn)展［11-12］.

1.1 損傷變量的定義

建立損傷本構(gòu)模型之前，要先定義損傷變量［13-14］. 本文利用材料的微元體隨機(jī)分布推導(dǎo)損傷本構(gòu)方程.運(yùn)用統(tǒng)計(jì)損傷理論來建立損傷本構(gòu)模型，本文以統(tǒng)計(jì)微元體的數(shù)目來定義損傷變量：

式中：D為損傷變量；ND發(fā)生破壞的微元體數(shù)目；N為假定的微元體總數(shù)目. 微元體在巖石中不同的位置具有不同的分布，但是通過分析可以得出其規(guī)律.

分析微元體分布情況對(duì)損傷本構(gòu)模型的建立起到的關(guān)鍵作用. 巖石材料的內(nèi)部充滿孔隙、裂隙、節(jié)理，且是隨機(jī)分布，其對(duì)應(yīng)的微元強(qiáng)度也是隨機(jī)分布. 本文假設(shè)巖石微元強(qiáng)度服從Weibull分布［15］，定義微元體強(qiáng)度F分布服從概率密度函數(shù)，表達(dá)式為：

式中：m，F(xiàn)0為Weibull分布函數(shù)參數(shù)；F為巖石微元強(qiáng)度.

微元強(qiáng)度F的概率密度函數(shù)確定后，任意應(yīng)力區(qū)間出現(xiàn)的破壞微元體數(shù)目則可以用NP(x)dx 來表示，破壞微元體數(shù)目對(duì)應(yīng)力區(qū)間積分得到發(fā)生破壞時(shí)微元體數(shù)目為：

將式（3）帶入式（1），可以得到微元強(qiáng)度與損傷變量D的關(guān)系公式為：

1.2 考慮干濕循環(huán)作用的大理巖統(tǒng)計(jì)損傷本構(gòu)模型建立

由于D-P破壞準(zhǔn)則在巖石破壞中考慮中主應(yīng)力的影響，適用性較廣，參數(shù)形式簡單，對(duì)比于其他的破壞準(zhǔn)則有其獨(dú)特的優(yōu)勢，更加精確地反映巖石的受力情況，所以本文采用D-P破壞準(zhǔn)則表達(dá)巖石的微元強(qiáng)度準(zhǔn)則，基于D-P破壞準(zhǔn)則建立度量微元強(qiáng)度［16］表達(dá)式為：

2 模型參數(shù)辨識(shí)與模型驗(yàn)證

2.1 巖石損傷本構(gòu)模型參數(shù)辨識(shí)

本文確定Weibull分布函數(shù)參數(shù)方法采用線性擬合法［19］. 線性擬合法計(jì)算的函數(shù)參數(shù)物理意義不太明確，但是計(jì)算過程比較簡單，計(jì)算過程中不容易出錯(cuò)，一般計(jì)算Weibull分布函數(shù)參數(shù)采用這種方法.

為了確定Weibull分布函數(shù)參數(shù)，將式（17）、（18）、（19）、（24）帶入式（4），可得到

對(duì)表達(dá)式同時(shí)取對(duì)數(shù)：

對(duì)表達(dá)式再次取對(duì)數(shù)，其表達(dá)式為：

對(duì)其進(jìn)行線性化處理，令：

則可以將其轉(zhuǎn)化為線性表達(dá)式：

由式（30）可知，其中Weibull函數(shù)參數(shù)m決定線性曲線的斜率，-m ln F0決定線性曲線的截距，將不同干濕循環(huán)次數(shù)下數(shù)據(jù)帶入表達(dá)式（30）中，通過線性方法可以求Weibull分布函數(shù)參數(shù)m、F0.

2.2 巖石損傷本構(gòu)模型的驗(yàn)證

對(duì)本文建立大理巖統(tǒng)計(jì)損傷本構(gòu)模型進(jìn)行驗(yàn)證，結(jié)合引用王偉［18］等大理巖干濕循環(huán)力學(xué)特性試驗(yàn)研究試驗(yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證模型，為了便于數(shù)據(jù)驗(yàn)證，可以考慮單軸試驗(yàn)下數(shù)據(jù)對(duì)統(tǒng)計(jì)損傷本構(gòu)模型進(jìn)行驗(yàn)證，在單軸條件下，試驗(yàn)圍壓數(shù)值σ2=σ3=0，將其帶入式（24），則單軸條件下大理巖干濕循環(huán)損傷本構(gòu)模型表達(dá)式為：

為了將統(tǒng)計(jì)損傷本構(gòu)模型與試驗(yàn)所記錄數(shù)據(jù)結(jié)合，將統(tǒng)計(jì)損傷本構(gòu)方程轉(zhuǎn)化為與偏應(yīng)力σ1t有關(guān)的表達(dá)式，則大理巖干濕循環(huán)條件下統(tǒng)計(jì)損傷本構(gòu)模型的偏應(yīng)力σ1t表達(dá)形式為：

采用線性擬合法來確定Weibull分布參數(shù)m、F0. 在單軸試驗(yàn)中，對(duì)0次、12次、28次、44次干濕循環(huán)的試驗(yàn)數(shù)據(jù)來進(jìn)行計(jì)算，可以求得Weibull函數(shù)參數(shù)m、F0，如表1所示.

表1 各循環(huán)次數(shù)下參數(shù)m，F(xiàn)0與階段損傷率ΔDs值Tab.1 Parameters m，F(xiàn)0 and stage damage rate ΔDs under each cycle number

通過對(duì)不同循環(huán)次數(shù)下m、F0與階段損傷率ΔDs變化趨勢研究發(fā)現(xiàn)，Weibull分布函數(shù)參數(shù)m在不同循環(huán)次數(shù)下變化較小，可以視為一個(gè)常數(shù)，取其平均值m0來替代m在不同循環(huán)次數(shù)下的取值. F0在不同干濕循環(huán)次數(shù)下變化較大，對(duì)于不同干濕循環(huán)次數(shù)下F0取值要分不同的情況. 同時(shí)，m、F0、ΔDs在不同干濕循環(huán)條件下具有相同變化趨勢，即可認(rèn)為m、F0共同決定了巖石損傷速率.

引用王偉等［18］大理巖干濕循環(huán)力學(xué)特性試驗(yàn)研究單軸試驗(yàn)數(shù)據(jù)，可以得到模型參數(shù)如表2所示.

表2 本構(gòu)模型參數(shù)Tab.2 Constitutive model parameters

將模型參數(shù)帶入大理巖統(tǒng)計(jì)損傷本構(gòu)模型（26）式，可以得到在不同的干濕循環(huán)條件下大理巖統(tǒng)計(jì)損傷本構(gòu)模型理論曲線，將其與試驗(yàn)曲線進(jìn)行對(duì)比分析，如圖1～圖4所示.

圖1 干濕循環(huán)0次Fig.1 Dry-wet cycles of 0 times

圖2 干濕循環(huán)12次Fig.2 Dry-wet cycles of 12 times

圖3 干濕循環(huán)28次Fig.3 Dry-wet cycles of 28 times

圖4 干濕循環(huán)44次Fig.4 Dry-wet cycles of 44 times

由圖1可知，對(duì)不同干濕循環(huán)條件理論曲線與試驗(yàn)曲線對(duì)比可以看出，在巖石破壞的彈性階段，統(tǒng)計(jì)損傷本構(gòu)模型曲線能夠較好地?cái)M合試驗(yàn)數(shù)據(jù)，但是在塑形階段，理論曲線與試驗(yàn)數(shù)據(jù)曲線具有較大的差異，統(tǒng)計(jì)損傷本構(gòu)模型對(duì)曲線的擬合效果不太理想.

3 結(jié)論

1）文章通過大理巖干濕循環(huán)作用下0次、12次、28次、44次劣化現(xiàn)象的研究，通過大理巖的微元體強(qiáng)度服從Weibull分布函數(shù)，并且結(jié)合連續(xù)損傷理論，Lemaitre 應(yīng)變等效假說和虎克定律，運(yùn)用了統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法，提出了考慮干濕循環(huán)效應(yīng)大理巖的統(tǒng)計(jì)損傷本構(gòu)模型.

2）通過對(duì)比在不同干濕循環(huán)次數(shù)下，Weibull 函數(shù)參數(shù)m、F0與階段損傷率ΔDs變化趨勢發(fā)現(xiàn)，m變小較小，可視為一個(gè)常數(shù)，F(xiàn)0在不同干濕循環(huán)次數(shù)下變化幅度較大，對(duì)不同干濕循環(huán)次數(shù)下要取不同的數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，且m、F0與階段損傷率ΔDs具有相同的變化趨勢，可以認(rèn)為m、F0是反映巖石在不同干濕循環(huán)條件下巖石損傷速率的參數(shù).

3）依據(jù)統(tǒng)計(jì)損傷本構(gòu)模型所得到的理論值與不同干濕循環(huán)作用下大理巖試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，通過對(duì)擬合曲線進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)在不同的干濕循環(huán)次數(shù)下，損傷本構(gòu)模型理論曲線在大理巖彈性變形階段能夠較好地?cái)M合試驗(yàn)數(shù)據(jù)，但是在塑形變形階段，不能達(dá)到理想的擬合效果.