彈道導彈彈道交叉碰撞概率精確計算方法

王政偉,梁 波,謝 鵬

(中國電子科技集團公司第二十八研究所,江蘇 南京 210007)

鑒于美國的“發(fā)射即摧毀”能力,在彈道導彈大規(guī)模集群作戰(zhàn)過程中,如圖1所示,部隊需要在最短的時間內完成導彈的發(fā)射,然后，快速進行撤收和隱蔽,使作戰(zhàn)部隊暴露時間最少,提升其作戰(zhàn)生存概率。但是,大規(guī)模的導彈集中發(fā)射時并不能在同一時間進行點火發(fā)射,必須要通過保持一定的發(fā)射間隔來避免發(fā)射與飛行過程中彈間的相互氣動影響和交叉碰撞問題[1-2]。目前,在大規(guī)模火力分配過程中,通常只是將武器飛行彈道進行平面投影[3],進行平面交叉分析,來確定最小發(fā)射時間間隔,這種方法忽略了導彈飛行高度影響,無法準確計算飛行器間的真實距離,會導致火力分配后的發(fā)射間隔大大增加。在導彈飛行過程中,還存在由于各種隨機誤差引起飛行理論偏差[4-7],導彈飛行實際位置與理論彈道軌跡位置存在概率分布誤差,理論彈道位置不能作為實際作戰(zhàn)過程中彈道交叉的直接判據。本文利用導彈間各自的位置矢量和速度矢量,并引入了導彈位置誤差協(xié)方差矩陣計算方法[8-11],將問題轉換為求解導彈位置概率分布下彈間的空間交叉碰撞概率問題,并對三維空間下彈間交叉碰撞概率的求解過程進行了推導,為彈道導彈集群發(fā)射時序確定問題提供了最優(yōu)化解決方法。

圖1 導彈集群發(fā)射中的彈道交叉

1 彈道交叉問題分析與建模

1.1 問題分析

彈道交叉是指導彈在飛行過程中距離過近時容易相互產生氣動、電磁干擾甚至物理碰撞的情況,嚴重影響了導彈飛行安全。本次進行三維空間建模時遵循以下假設:

1)在導彈飛行主動段和再入段主要考慮氣動、電磁干擾,導彈間相互干擾簡化為彈間需保持一定的安全距離來避免干擾和碰撞。

2)導彈被動段飛行一般處于真空環(huán)境,主要考慮彈間的物理碰撞問題。

3)導彈飛行過程中,其位置誤差是以理論彈道位置為中心的球狀空間分布。

1.2 導彈運動模型

已知導彈的理論軌道方程[9]可表示如下。

其中,t為導彈飛行時間,X、Y、Z分別為導彈在空間中的位置變量。

而在實際導彈的飛行過程中,由于天氣、導彈本身控制的累積誤差等方面的因素導致與理論計算得到的軌道方程有一定的偏差,為了更好地模擬實際飛行情況,引入隨機誤差變量Ri,得到實際導彈的軌道方程為

其中,Rx、Ry、Rz為由于隨機誤差引起的軌道偏差,且軌道偏差為時間t的函數。在某一個時刻t0,軌道偏差服從正態(tài)分布,即

在任意時刻,且三個方向上的軌道偏差Rx、Ry、Rz均為0的時候,導彈實際的軌道方程會退化為導彈理論的軌道方程。

1.3 彈間最小距離計算方法

設兩條空間飛行彈道表達式[12-14]

[x1(t1)-x2(t2)]2+[y1(t1)-y2(t2)]2+

[z1(t1)-z2(t2)]2

分別求導

y′1(t1)+2[z1(t1)-z2(t2)]·z′1(t1)

要求解目標函數的極小值,則需要滿足:

[x1(t1)-x2(t2)]·x′1(t1)+[y1(t1)-y2(t2)]·

y′1(t1)+[z1(t1)-z2(t2)]·z′1(t1)=0

[x1(t1)-x2(t2)]·x′2(t2)-[y1(t1)-y2(t2)]·

y′2(t2)+[z1(t1)-z2(t2)]·z′2(t2)=0

則飛行彈道間最小距離求解轉換為非線性方程組的求解問題,求解即可得到導彈飛行彈道表征的異面曲線之間的最小距離。

1.4 彈道交叉碰撞概率計算方法

通過對大量導彈飛行的理論與精確彈道數據間的誤差進行統(tǒng)計,分析導彈飛行位置誤差分布,進而得到導彈飛行的位置誤差和狀態(tài)矢量的協(xié)方差矩陣,并將上述協(xié)方差矩陣轉換至同一坐標系中,可以得出彈間碰撞概率為三維高斯密度分布概率函數在總包絡球中的積分。然后,對三維高斯密度分布函數在相對速度方向進行數值積分,將碰撞概率的計算公式簡化成二維高斯密度分布概率函數,并求解其在總包絡球投影圓域中的積分。

假設已知兩枚導彈在各自發(fā)射坐標系中的位置誤差協(xié)方差矩陣分別記為CS與CR。根據在地心坐標系中兩枚導彈位置矢量和速度矢量,進行坐標換算,可以求解發(fā)射坐標系到地心坐標系的轉置矩陣。這里將由發(fā)射坐標系到地心坐標系的轉置矩陣表示為P,由地心坐標系到發(fā)射坐標系的轉置矩陣表示為Q,如下式所示。

CS1=PCsP-1
CRl=QCRQ-1

兩導彈在速度坐標系中位置誤差協(xié)方差矩陣均是對角矩陣。

上述兩協(xié)方差矩陣是不相關的,相加即可得到相對位置誤差的協(xié)方差矩陣。

Cc=CS1+CR1

相對位置矢量和相對速度矢量的表達式為:

Xc=rS-rR
Vc=vs-vR

定義地心坐標系到相遇坐標系的轉換矩陣為U,在相遇坐標系中,相對位置矢量與協(xié)方差矩陣的轉換公式如下所示[8,11-12]。

X=UXe
C=UCeU-1

在完成相關系數的轉換后,即可用三維高斯分布概率函數來表示兩個相遇物體間的不確定性關系。

式中,|C|是協(xié)方差矩陣的行列式的值。

將上述方程沿著其相對運動方向進行數值積分,即可消掉與速度平行方向上的一維,完成三維概率分布函數向二維的簡化。

已知相遇坐標系中,導彈的位置矢量為

概率函數密度的表達式為

隨后我們對z方向積分,將三維積分化為二維;此時將x,y看作已知量,對后半部分做進一步簡化,令

將z分離,配方得到

直接對函數f(x,y)在投影區(qū)域內進行數值積分,即可求出彈道交叉碰撞概率,如下式所示。

P=?f(x,y)dxdy

由于式中含有交叉項,為簡化計算,進行坐標旋轉可得

其中，

此時,經坐標系旋轉后得到的坐標系表示為O-XY,其圓心O位于導彈的質心,X軸與Y軸分別對應于坐標系旋轉之前相遇平面坐標系的X軸與Y軸。積分區(qū)域則為總包絡球投影區(qū)域經過坐標旋轉后的區(qū)域。

所以其碰撞概率計算公式為

對O-XY進行坐標平移,讓積分區(qū)域中心移動到坐標系原點,則碰撞概率求解公式可表示為

2 碰撞概率計算流程

碰撞概率計算流程如圖2所示。

圖2 碰撞概率計算流程

3 結束語

本文針對彈道導彈彈道交叉碰撞問題,建立了空間概率分布模型,推導求解了彈道導彈在三維空間中的空間碰撞概率,為確定彈道導彈集群發(fā)射時最小時間確定提供了計算方法,為發(fā)射陣地和發(fā)射時序的最優(yōu)化確定提供了決策依據。