考慮膜片彈簧非線性的干式離合器位置閉環(huán)控制*

張明遠(yuǎn)，陳 俐

（上海交通大學(xué)動(dòng)力裝置與自動(dòng)化研究所，海洋工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200240）

前言

干式離合器效率高、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，作為傳動(dòng)控制部件廣泛應(yīng)用于機(jī)械式自動(dòng)變速器、雙離合器自動(dòng)變速器和混合動(dòng)力多能源耦合器等［1－2］。干式離合器的壓力執(zhí)行器大多通過(guò)膜片彈簧作用于壓盤(pán)與摩擦片。為確保離合器部件發(fā)生一定程度磨損后仍具有足夠的轉(zhuǎn)矩傳遞能力，將膜片彈簧剛度設(shè)計(jì)成非線性，且在部分行程中為負(fù)值［3－4］。研究表明，負(fù)剛度會(huì)引起系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)失穩(wěn)［5－7］，因而會(huì)降低離合器位置控制精度、引起摩擦片壓力波動(dòng)［8］，是降低離合器接合品質(zhì)的一個(gè)重要因素。

針對(duì)離合器接合過(guò)程的控制，近年來(lái)，多種先進(jìn)控制方法得到研究，比如，H∞魯棒控制［9］、滑?？刂疲?0］、模糊控制［11］、優(yōu)化控制［12－13］和模型參考控制［14］等，這些研究未建立膜片彈簧特性模型，并假設(shè)離合器傳遞力矩或正壓力可理想實(shí)現(xiàn)。文獻(xiàn)［15］和文獻(xiàn)［16］中基于離線實(shí)驗(yàn)獲得膜片彈簧的非線性剛度，采用求逆函數(shù)的方法計(jì)算膜片彈簧的變形量，該方法利用了膜片彈簧的靜態(tài)特性，但無(wú)法反映強(qiáng)非線性特性對(duì)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響。文獻(xiàn)［17］中將非線性特性嵌入位置控制回路，基于三步法設(shè)計(jì)了非線性控制策略；文獻(xiàn)［18］中基于Udwadia-Kalaba理論，將離合器的接合規(guī)律視為約束設(shè)計(jì)了約束力的求解方法。這兩種非線性控制算法較復(fù)雜，且缺乏對(duì)膜片彈簧負(fù)剛度的處理。

考慮膜片彈簧的非線性剛度直接影響離合器位置控制閉環(huán)的系統(tǒng)剛度與阻尼比，而膜片彈簧剛度特性可通過(guò)離線測(cè)量或在線辨識(shí)得到［19］，本文中提出了根據(jù)膜片彈簧局部剛度調(diào)整閉環(huán)反饋增益的思路，動(dòng)態(tài)配置控制系統(tǒng)的極點(diǎn)，既防止因剛度為負(fù)導(dǎo)致失穩(wěn)，又能使剛度非線性變化時(shí)控制系統(tǒng)能保持極點(diǎn)不動(dòng)，算法較簡(jiǎn)單，卻能使位置跟蹤獲得較好的動(dòng)態(tài)性能。此外，考慮離合器位置控制系統(tǒng)滿足微分平坦條件，為縮短響應(yīng)時(shí)間，提高跟蹤精度，本文中基于微分平坦理論設(shè)計(jì)了非線性前饋環(huán)節(jié)［20］。在MATLAB／Simulink平臺(tái)上進(jìn)行仿真，分別給出線性剛度、非線性正剛度和非線性負(fù)剛度3種特性下的開(kāi)環(huán)響應(yīng)和閉環(huán)控制結(jié)果，并將本文提出的非線性控制方法與兩種未考慮膜片彈簧非線性剛度的傳統(tǒng)控制方法相比較。以某大客車(chē)用干式離合器為試件進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，結(jié)果顯示，由于負(fù)剛度的影響，膜片彈簧開(kāi)環(huán)響應(yīng)失穩(wěn)。實(shí)施閉環(huán)控制，本文提出的非線性控制方法可克服失穩(wěn)，且比傳統(tǒng)控制方法精度高。

1 系統(tǒng)建模

本文中研究的干式離合器及其機(jī)電執(zhí)行機(jī)構(gòu)如圖1所示，膜片彈簧中部被固定在離合器蓋上，執(zhí)行電機(jī)通過(guò)滾珠絲杠推動(dòng)杠桿，杠桿推動(dòng)推力軸承產(chǎn)生軸向位移，從而推動(dòng)膜片彈簧的小端產(chǎn)生形變，大端相應(yīng)產(chǎn)生壓力，作用于壓盤(pán)，控制壓盤(pán)與摩擦片的分離與接合。

圖1 干式離合器位置控制執(zhí)行機(jī)構(gòu)

1.1 動(dòng)力學(xué)模型

電機(jī)驅(qū)動(dòng)滾珠絲杠，帶動(dòng)杠桿繞支點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程［21］為

式中等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J、等效阻尼系數(shù)c和等效力矩臂r的表達(dá)式如下：

式中：Jl、Jm分別為杠桿、電機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；cl、cm分別為杠桿、電機(jī)的阻尼系數(shù)；l1為推力軸承到支點(diǎn)的水平距離；l2為滾珠絲杠到支點(diǎn)的水平距離；Lp為滾珠絲杠的導(dǎo)程；Am為電機(jī)的轉(zhuǎn)矩系數(shù)；Im為電機(jī)電流；λ為膜片彈簧小端的軸向位移，亦即小端變形量；F（λ）為膜片彈簧小端壓力，隨著小端變形量λ非線性變化。

膜片彈簧小端壓力F（λ）與膜片彈簧變形量λ的非線性關(guān)系可通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)量得到，一款大客車(chē)用離合器的膜片彈簧小端壓力的實(shí)測(cè)值見(jiàn)圖2（a），可用三次多項(xiàng)式擬合：

將壓力F（λ）對(duì)膜片彈簧變形量λ求導(dǎo)，可得到膜片彈簧局部剛度的表達(dá)式為

圖2 膜片彈簧特性（a＝4.228，b＝－143.1，c＝1 445）

可見(jiàn)，膜片彈簧局部剛度k（λ）是膜片彈簧變形量λ的非線性函數(shù)，如圖2（b）所示。當(dāng)小端變形量約大于7.6 mm時(shí)，膜片彈簧局部剛度為負(fù)。

1.2 狀態(tài)方程描述

令狀態(tài)變量 x1＝λ，x2＝，控制輸入量 u＝Im，根據(jù)式（1）方程寫(xiě)出被控對(duì)象的狀態(tài)方程：

1.3 被控對(duì)象的穩(wěn)定性

根據(jù)式（8）推導(dǎo)雅克比矩陣A的特征多項(xiàng)式：

根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性判據(jù)，如果矩陣A的所有特征值均具有負(fù)實(shí)部，則原非線性系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定；如果A的特征值至少有一個(gè)正實(shí)部，則原非線性系統(tǒng)不穩(wěn)定［22］。式（9）二次方程式有兩個(gè)特征根，記為s1、s2，根據(jù)偉達(dá)定理，兩根具有負(fù)實(shí)部需滿足如下條件：

可見(jiàn)，當(dāng)膜片彈簧局部剛度 k（λ）為正時(shí)，式（11）條件滿足，離合器執(zhí)行機(jī)構(gòu)系統(tǒng)穩(wěn)定；當(dāng)k（λ）為負(fù)時(shí)，式（11）條件不滿足，系統(tǒng)不穩(wěn)定。

當(dāng)系統(tǒng)不穩(wěn)定時(shí)，需要設(shè)計(jì)合適的反饋增益使控制系統(tǒng)穩(wěn)定，當(dāng)系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)，需要設(shè)計(jì)合適的前饋與反饋增益使控制系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)快速、高精度的位置跟蹤。

2 非線性控制器設(shè)計(jì)

本文中提出的離合器位置閉環(huán)控制框圖如圖3所示，包括前饋環(huán)節(jié)和反饋環(huán)節(jié)?；谖⒎制教估碚?，本文中根據(jù)期望位置和膜片彈簧力與變形量之間的非線性關(guān)系設(shè)計(jì)前饋環(huán)節(jié)?；跇O點(diǎn)配置方法，根據(jù)膜片彈簧非線性局部剛度k（λ）與位置反饋λ設(shè)計(jì)反饋增益的自調(diào)整機(jī)制。

圖3 離合器位置閉環(huán)控制框圖

2.1 基于微分平坦理論的前饋設(shè)計(jì)

微分平坦理論提供了一種根據(jù)期望輸出來(lái)設(shè)計(jì)前饋控制輸入的方法。微分平坦理論在20世紀(jì)90年代針對(duì)非線性系統(tǒng)提出，并給出非線性系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性平坦輸出的存在性［23］。

首先判斷膜片彈簧離合器位置控制系統(tǒng)是否為微分平坦系統(tǒng)。選擇系統(tǒng)輸出量為膜片彈簧的小端變形量λ，即

根據(jù)式（7），系統(tǒng)的所有狀態(tài)變量可用輸出量y及其導(dǎo)數(shù)表示，即

因此，膜片彈簧離合器位置控制系統(tǒng)的所有狀態(tài)變量和控制輸入量均可由輸出量及其有限階微分表示。根據(jù)微分平坦理論，對(duì)于任意非線性系統(tǒng)，如果系統(tǒng)的狀態(tài)變量和輸入變量可由一組輸出及其有限階導(dǎo)數(shù)決定，則該系統(tǒng)為微分平坦系統(tǒng)［20］。

于是，按照微分平坦理論，可根據(jù)期望的輸出軌跡λd，設(shè)計(jì)前饋輸入為

2.2 增益自調(diào)整的反饋設(shè)計(jì)

本節(jié)首先推導(dǎo)離合器位置閉環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定條件，然后應(yīng)用極點(diǎn)配置方法，在穩(wěn)定域中設(shè)計(jì)反饋增益的調(diào)整機(jī)制，使控制系統(tǒng)具有良好的動(dòng)態(tài)性能。

2.2.1 閉環(huán)穩(wěn)定性條件

定義位置閉環(huán)控制系統(tǒng)的誤差向量e＝［e1e2］，且

考慮離合器位置控制的跟蹤精度與快速性需求，選擇比例、微分反饋控制，控制算法表達(dá)為

式中K＝（kpkd），kp和kd分別為比例反饋增益和微分反饋增益。

閉環(huán)系統(tǒng)的誤差方程推導(dǎo)如下：

其矩陣形式為

根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性判據(jù)，可得反饋增益kp、kd須滿足如下條件：

按照上述條件選擇反饋增益kd和kp，可使控制系統(tǒng)所有極點(diǎn)的實(shí)部位于負(fù)半平面，從而收斂。

2.2.2 增益自調(diào)整機(jī)制

調(diào)整閉環(huán)系統(tǒng)的阻尼比和固有頻率，配置系統(tǒng)極點(diǎn)的位置，以期獲得良好的動(dòng)態(tài)性能。由式（22）特征方程可知，該系統(tǒng)是一個(gè)2階系統(tǒng)，寫(xiě)成2階系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)型式：

3 仿真結(jié)果與分析

本節(jié)給出 MATLAB／Simulink仿真結(jié)果。首先在開(kāi)環(huán)控制下，使用3種不同剛度特性的膜片彈簧進(jìn)行開(kāi)環(huán)位置控制。其次，采用本文提出的控制方法對(duì)“快慢快”參考曲線進(jìn)行離合器位置跟蹤，控制結(jié)果與兩種不考慮膜片彈簧非線性的傳統(tǒng)控制方法相比較。

仿真用到的參數(shù)及取值見(jiàn)表1。

表1 執(zhí)行機(jī)構(gòu)仿真參數(shù)

3.1 開(kāi)環(huán)控制位置響應(yīng)

本節(jié)使用3個(gè)不同剛度特性的膜片彈簧進(jìn)行仿真，其特性如圖4所示，彈簧1具有非線性剛度，且具有局部負(fù)剛度區(qū)，彈簧2具有非線性，但全程剛度為正，彈簧3為線性，剛度為常數(shù)。

圖4（b）給出在開(kāi)環(huán)控制下，不同剛度特性的彈簧跟蹤至6 mm位置的響應(yīng)結(jié)果，開(kāi)環(huán)位置控制對(duì)應(yīng)的輸入由微分平坦理論計(jì)算得到。開(kāi)環(huán)結(jié)果表明，彈簧1沒(méi)有穩(wěn)定在目標(biāo)位置，彈簧2、3雖然存在較大的超調(diào)振蕩過(guò)程，但最終穩(wěn)定在6 mm目標(biāo)位置。彈簧1由于存在不穩(wěn)定的負(fù)剛度區(qū)域，在超調(diào)振蕩過(guò)程中進(jìn)入了負(fù)剛度區(qū)域，使系統(tǒng)失去了穩(wěn)定性，最終偏離參考位置。彈簧2、3的剛度始終為正，系統(tǒng)穩(wěn)定，因此能收斂到目標(biāo)位置。

3.2 位置閉環(huán)控制跟蹤結(jié)果

以閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)間小于0.3 s、超調(diào)量小于5%為目標(biāo)，確定系統(tǒng)參數(shù) ζ*＝0.78＝12.82 rad／s［24］，然后按式（28）和式（29）計(jì)算自調(diào)整增益。本文提出的非線性控制算法的結(jié)果與兩種傳統(tǒng)的未考慮膜片彈簧非線性剛度的線性控制方法相比較。一種為前饋與比例微分反饋相結(jié)合的控制算法，增益按照初始位置的剛度設(shè)置；一種為廣泛使用的PID反饋控制算法，增益未考慮膜片彈簧局部剛度變化。

為了比較，本文中給出了這3種方法對(duì)于3種不同剛度特性的膜片彈簧離合器位置跟蹤的閉環(huán)控制結(jié)果，如圖5～圖7所示。當(dāng)膜片彈簧剛度為非線性且含有負(fù)剛度區(qū)時(shí)，如圖5所示，圖5（a）中膜片彈簧小端變形量逐漸增大，但是從圖5（b）可知，膜片彈簧小端壓力在1.9 s后不增反降，反映了膜片彈簧負(fù)剛度的影響。從圖5（c）可知，本文提出的非線性控制方法在整個(gè)行程中誤差一直很??；而傳統(tǒng)前饋結(jié)合反饋的控制方法，其微分與比例增益無(wú)法補(bǔ)償負(fù)剛度引起的失穩(wěn)，使誤差在進(jìn)入負(fù)剛度區(qū)域后急劇增大；固定增益PID方法，其比例增益可以補(bǔ)償負(fù)剛度的影響，但由于缺少前饋，以及固定增益對(duì)動(dòng)態(tài)參考輸入的適應(yīng)性欠缺，存在較大的穩(wěn)態(tài)誤差和較明顯的滯后。

當(dāng)膜片彈簧剛度為非線性但全部為正剛度時(shí)，結(jié)果如圖6所示，非線性控制的跟蹤誤差最小，傳統(tǒng)的前饋結(jié)合反饋的控制方法產(chǎn)生的誤差仍然受到剛度變化的影響，固定增益PID反饋控制，存在較大的穩(wěn)態(tài)誤差和滯后。

圖4 彈簧剛度與位置跟蹤開(kāi)環(huán)響應(yīng)的比較

圖5 非線性剛度（含負(fù)剛度）彈簧的離合器位置閉環(huán)跟蹤

圖6 非線性剛度（全正剛度）彈簧的離合器位置閉環(huán)跟蹤

圖7 線性剛度彈簧的離合器位置閉環(huán)跟蹤

當(dāng)膜片彈簧剛度為線性時(shí)，結(jié)果如圖7所示。非線性控制與傳統(tǒng)前饋結(jié)合反饋的控制方法得到的跟蹤誤差均較小，而固定增益PID反饋控制，仍然存在穩(wěn)態(tài)誤差以及時(shí)延較大的缺點(diǎn)。

由上述可知，由于考慮了非線性剛度的影響，本文提出的非線性控制方法在正剛度、負(fù)剛度和線性剛度情況下均能取得良好的跟蹤精度；而由于不考慮非線性剛度的影響，傳統(tǒng)的前饋結(jié)合比例微分反饋的方法僅在線性剛度情況下才取得較好的跟蹤精度，固定增益PID方法的跟蹤精度提高受到局限。

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

本節(jié)以具有負(fù)剛度特性的膜片彈簧離合器為試件，實(shí)驗(yàn)裝置如圖8所示，控制算法在 MATLAB／Simulink中建立，通過(guò)快速原型控制器（dSPACE MicroAutoBox）自動(dòng)生成代碼下載至電機(jī)控制器，在上位機(jī)軟件ControlDesk中可實(shí)時(shí)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)控制。采用壓力傳感器和位置傳感器記錄膜片彈簧小端壓力和位置。

圖8 離合器位置控制實(shí)驗(yàn)裝置

開(kāi)環(huán)控制結(jié)果如圖9所示，膜片彈簧跟蹤目標(biāo)位置為6 mm，但膜片彈簧小端變形量偏離預(yù)期目標(biāo)，反映了負(fù)剛度引起的局部失穩(wěn)現(xiàn)象。

圖9 開(kāi)環(huán)響應(yīng)實(shí)驗(yàn)結(jié)果

實(shí)施位置閉環(huán)控制，跟蹤“快慢快”參考輸入的實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖10所示，反映的基本規(guī)律與仿真結(jié)果圖5一致。本文中考慮膜片彈簧非線性剛度設(shè)計(jì)的控制策略跟蹤誤差最小，而不考慮膜片彈簧非線性剛度的前饋結(jié)合比例微分反饋控制表現(xiàn)出失穩(wěn)，跟蹤誤差在進(jìn)入負(fù)剛度區(qū)域后迅速增大，固定增益PID控制也受到負(fù)剛度影響有所增大。

跟蹤正弦參考輸入的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，如圖11所示，從圖11（b）可觀察到負(fù)剛度的明顯影響，圖11（c）表明，本文中設(shè)計(jì)的非線性控制策略跟蹤誤差也達(dá)到最小。

5 結(jié)論

本文中考慮離合器膜片彈簧剛度為非線性且在部分行程中局部剛度為負(fù)，首先建立了離合器位置控制執(zhí)行機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型，分析膜片彈簧負(fù)剛度對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，然后，考慮膜片彈簧的非線性，提出基于微分平坦理論設(shè)計(jì)前饋，并根據(jù)膜片彈簧局部剛度設(shè)計(jì)增益自調(diào)整反饋。仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果均揭示了膜片彈簧進(jìn)入負(fù)剛度區(qū)域的失穩(wěn)現(xiàn)象。離合器位置閉環(huán)控制的仿真與實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，與傳統(tǒng)的未考慮膜片彈簧非線性剛度的控制方法相比較，本文提出的控制方法可克服失穩(wěn)，并具有較小的跟蹤誤差。

圖10 跟蹤“快慢快”參考輸入的實(shí)驗(yàn)結(jié)果

圖11 跟蹤正弦參考輸入的實(shí)驗(yàn)結(jié)果