讓學生在糾錯中成長

仲一萍

摘 要：數學糾錯教學是指教師以學生數學學習中產生的錯誤為教學起點，引導學生分析錯因、自主糾錯，加強學生對一類薄弱問題的分析解決能力，從而提升學生的數學素養(yǎng)，使學生的認知及思維能力得到有效提升。

關鍵詞：數學糾錯教學;解題能力培養(yǎng)

中圖分類號：G633.6????????? 文獻標識碼：A???? 文章編號：1992-7711（2020）11-081-2

在前不久剛結束的2019—2020年度蘇錫常鎮(zhèn)高三教學情況調研（俗稱一模）考試中，有幾道試題的得分情況很不理想。筆者在試卷講解的時候有意加強了對于學生自主糾錯能力的培養(yǎng)，取得了不錯的教學效果，現(xiàn)做簡單摘錄如下。

一、課前讓學生自行嘗試糾錯

教師對于學生考試中出現(xiàn)的錯誤，不僅要知其然，更要知其所以然。對于學生出現(xiàn)的錯誤可以作簡單的歸類：知識性錯誤、邏輯性錯誤還是策略性錯誤。結合錯誤的類型和學生的實際知識水平，可以讓學生在課前對部分錯題嘗試進行自我糾錯。如果學生能自行找出錯因并加以糾正，使學生經歷“識錯—糾錯—反思”的過程，對于學生的成長具有很大的幫助。

例1 （一模第12題）在△ABC中，（AB-λAC）⊥BC（λ>1），若角A的最大值為π6，則實數λ的值是??? 。

本題考查了平面向量的數量積和解三角形的應用問題，屬于中檔題。但是考試結果顯示本題的正確率并不高。試卷講評前通過與學生交流得知，錯誤的同學也都知道應該要把向量垂直這個條件轉化為向量的數量積為0這個條件上來，但是接下來卻不知道怎么運算下去。筆者提醒他們注意觀察題中所涉及的三個向量的起點以及所給的角度A。學生通過分析，很容易發(fā)現(xiàn)應該把向量BC轉化成AC-AB，這樣轉化以后所有涉及到的向量都是以A為起點的，而且在數量積的展開式中的AB·AC這一項也可以和角A聯(lián)系起來，最后借助基本不等式和角A的范圍，可以求解出實數λ的值。解答如下：因為（AB-λAC）⊥BC，所以（AB-λAC）·BC=0，

即（AB-λAC）·（AC-AB）=0，展開可得（1+λ）AB·AC=AB2+λAC2，也即（1+λ）bccosA=c2+λb2，所以cosA=c2+λb2（1+λ）bc≥2λbc（1+λ）bc=2λ1+λ，又因為角A的最大值為π6，所以cosA≥cosπ6=32，所以2λ1+λ=32，又λ>1，解之得λ=3。

在試卷講評之前對于考試中因各種原因引起的失誤或思考不周引起的錯誤，可以引導學生嘗試自我糾錯。通過學生自我糾錯，使學生對于問題可以有更好的認識，以及積累屬于學生自己的解題經驗。對于學生獨立思考仍然不能解決的問題，可以引導學生回顧做過的類似題型、相互討論等方式加以糾正。學生通過自己的努力完成的糾錯所獲得的成就感是對學生信心的極大鼓舞。

二、課中讓學生自主探究糾錯

數學糾錯教學不僅是讓學生鞏固數學知識、掌握解題方法的過程，更是教師深入了解學生認知水平，發(fā)展學生數學思維的過程。在糾錯教學過程中，教師應注重糾錯的藝術性，注意“放手”，盡可能讓學生自行審視自己的解法，探尋錯誤產生的根源。爭取做到讓學生自行找到錯誤的本質，能對癥下藥，學會反思總結，能找出糾錯的方法與改進的措施。幫助學生養(yǎng)成縝密的思維習慣，提高學生的認知和解題能力，更可以讓學生收獲從失敗到成功的心理滿足感。

例2 （一模第14題）在△ABC中，AB=4，D是AB的中點，E在邊AC上，AE=2EC，CD與BE交于點O.若OB=2OC，則△ABC面積的最大值是??? .

本題是填空題的壓軸題，考查的主要知識點是隱形圓的性質，對于學生的綜合能力要求較高。本題分值5分，但是蘇州全市的平均得分僅0.3分，可見本題對于學生的殺傷力如何強大。在講解本題之前，筆者先問了學生記憶中是否有過類似的圖形及條件出現(xiàn)過？有少數同學猶豫著回答說在2019年江蘇高考卷中有類似圖形（全班都曾做過此份試卷）。于是筆者便將2019年江蘇高考卷第12題投影了出來：

如圖：在△ABC中，D是BC的中點，E在邊AB上，BE=2EA，AD與CE交于點O。若AB·AC=6AO·EC，則ABAC的值是。

兩個題目一經對比，許多同學本已模糊的記憶也被慢慢地喚醒了。筆者接著追問當時是如何處理本題的，有不少同學依稀記得是取了BE的中點，構造了一條平行線段。然后筆者便留了足夠的時間讓學生自行探討14題的解決方法。

學生1：我用與高考題相似的處理方法，先取線段AE的中點F，易知AF=EF=CE，連接DF，則可以證得線段DF∥BE，也就可以得到DF∥OE，然后可以證得O為CD中點。但是下面我就不知道該怎么處理了。

教師：你分析得很好。那么OB=2OC這個條件該怎么運用呢？

學生2：這個條件和阿波羅尼斯圓的定義可以聯(lián)系起來。我采用了建系的方法，以AB所在邊為x軸，D為坐標原點建立直角坐標系，則A（-2，0），D（0，0），B（2，0），設O（x，y），則C（2x，2y）。這樣OB=2OC這個條件就可以用坐標表示為（x-2）2+y2=2（2x-x）2+（2y-y）2，化簡可以得到點O的軌跡方程是（x+2）2+y2=8，不過下面我不知道怎么把這個條件和△ABC的面積聯(lián)系起來。

學生3：只要換成直接設C（x，y）就可以了，那么O（x2，y2），再列式化簡就可以得到點C的軌跡方程是（x+4）2+y2=32，所以△ABC的面積最大值S=12AB·r=12·4·42=82。

教師：你分析得非常好，還有同學有不同的思路嗎？

學生4：因為O是CD的中點，所以OB=2OC可以轉化成OB=2OD，設O（x，y），列式可得（x-2）2+y2=2x2+y2，化簡可以得到點O的軌跡方程是（x+2）2+y2=8，此時可以求出△ABO的面積的最大值為12·4·22=42，因為O是CD的中點，所以△ABC的面積就是△ABO面積的2倍，所以△ABC的面積的最大值就是82。

在高三復習中，我們應該引導學生將試卷上所犯的錯誤進行必要的歸納整理，對于“形似質異”的問題加以識別和反思，培養(yǎng)學生在“聯(lián)系”的狀態(tài)下獲得新的經驗和感悟。

三、課后讓學生鞏固糾錯效果

試卷講評的目的是鞏固基礎、發(fā)展思維，提高解題能力。為了鞏固糾錯效果，教師可以對原始錯題的條件或者結論進行適度改造，設計一系列鞏固題或者拓展題。這種由淺入深、相互關聯(lián)拓展的變式訓練，能激發(fā)學生探究問題的熱情，認清問題的本質，提高學生的認知水平，強化學生對于此類問題的思維探索能力，有利于鞏固糾錯效果。

（作者單位：蘇州市吳江區(qū)平望中學，江蘇 蘇州215000）