淺談高等數(shù)學(xué)的發(fā)展史

【摘要】本文對高等數(shù)學(xué)發(fā)展史做了簡單介紹，指出經(jīng)過兩千多年的發(fā)展，直到十七世紀(jì)牛頓和萊布尼茲創(chuàng)立了微積分，高等數(shù)學(xué)才得以不斷地發(fā)展和完善。

【關(guān)鍵詞】高等數(shù)學(xué);極限思想;科學(xué)家

很多大學(xué)一年級學(xué)生一開學(xué)，馬上就要面對著高等數(shù)學(xué)這門課程，有很多高校使用的高等數(shù)學(xué)教材，都是同濟大學(xué)出版社出版的上下兩冊，這厚厚的兩冊書，學(xué)生們拿到手里沉甸甸的。同濟大學(xué)的高等數(shù)學(xué)教材理論嚴(yán)謹(jǐn)，邏輯性強，是一本好教材。但對于剛上大學(xué)的新生來說，一開學(xué)馬上就要學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)，還是有一定壓力的。因此新生要想學(xué)好高等數(shù)學(xué)，一定要充分認(rèn)識到學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的重要性，不僅要有良好的學(xué)習(xí)態(tài)度，掌握好的學(xué)習(xí)方法，還要有良好的學(xué)習(xí)方法。當(dāng)然，教師為了能讓學(xué)生學(xué)好高等數(shù)學(xué)，教師不僅要使用先進(jìn)的教學(xué)方法，還要努力提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，那么在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)和輔導(dǎo)時，要有意識的讓學(xué)生了解高等數(shù)學(xué)的發(fā)展史，這將對學(xué)生學(xué)習(xí)這門課程會有更多的幫助。

一、極限思想和導(dǎo)數(shù)思想的建立

眾所周知，高等數(shù)學(xué)的特征就是它是研究變量的一門科學(xué)。而研究變量的理論基礎(chǔ)是極限思想，但是人們研究極限理論花了很長很長的時間，從開始的極限思想到理論成熟大約花了2000多年的時間，直到到了十七世紀(jì)，牛頓萊布尼茲創(chuàng)建了微積分，極限思想才得以充分應(yīng)用和發(fā)展。牛頓-萊布尼茲共同（分別）創(chuàng)建的微積分被后人譽為‘人類精神的最大勝利。事實上，牛頓-萊布尼茲的微積分理論盡管建立在極限理論的基礎(chǔ)之上，但那時的極限理論還非常不成熟，直到幾百年以后維爾斯特拉斯才給出了確切的極限定義。隨著極限思想的建立，就可以規(guī)劃函數(shù)圖形特征了，那么規(guī)劃函數(shù)特征就需要另外一個特殊的極限—導(dǎo)數(shù)這一重要的工具。導(dǎo)數(shù)工具的使用，函數(shù)圖形的單調(diào)性，凹凸性以及函數(shù)極值最值理論得以更好的研究和規(guī)劃。緊接著高等數(shù)學(xué)教材又用了很大篇幅介紹了作為溝通函數(shù)和導(dǎo)數(shù)關(guān)系的中值定理。三大中值定理中，拉格朗日中值定理又稱為微分中值定理，從這個名字中可以看出拉格朗日中值定理的價值及重要性，羅爾中值定理是拉格朗日中值定理的特殊情況，而柯西中值定理又是拉格朗日定理的推廣。在高等數(shù)學(xué)教材中，對于三大中值定理都給出了非常完美的理論推導(dǎo)和證明。雖然三大中值定理的證明理論嚴(yán)謹(jǐn)，邏輯嚴(yán)密，體系宏大，但事實上，這三大定理的定義和證明是一點一點的發(fā)展建立起來的。從羅爾定理到拉格朗日定理用了大約五十多年的時間，從拉格朗日中值定理到柯西中值定理也走過了五十多年的時間歷程。由此可見高等數(shù)學(xué)理論的建立是一個漫長的過程，在這個漫長的過程中，無數(shù)的數(shù)學(xué)先驅(qū)者不斷的探討研究，向微積分的大門邁進(jìn)。這些先驅(qū)者們不僅探討極限等問題，同時也對各類求解微積分問題做出了寶貴貢獻(xiàn)，這些無數(shù)的先驅(qū)者中牛頓-萊布尼茲是最典型的代表，他們完成了微積分創(chuàng)立中最后也是最關(guān)鍵的一步。同時微積分的建立和發(fā)展，也為函數(shù)分析提供了有力的工具。

二，積分思想的建立

隨著導(dǎo)數(shù)微分理論的建立。人們又著手考慮其逆運算，也就是不定積分，不定積分概念的學(xué)習(xí)，對于學(xué)生來講是一個較難的思維過程，這種逆向思維的數(shù)學(xué)思考，對學(xué)生的思維能力的培養(yǎng)是非常有幫助的。在學(xué)生學(xué)習(xí)積分的過程中，有一些學(xué)生把不定積分和定積分混為一談，認(rèn)為定積分不過是不定積分的取值計算，這完全是概念混淆，我們知道，不定積分是微分的逆算子，而我們從定積分的定義知道，定積分是部分和的極限。萊布尼茲在引進(jìn)積分符號時也是選用了sum中首個字母s的拉長。在理解定積分的定義時，一定要注意部分和取極限時，我們不是讓分點數(shù)n趨于無窮，而是讓小區(qū)間長度的最大值λ趨于零，這樣不僅保證了分點數(shù)n趨于無窮，而且還能讓區(qū)間分割時，不會是部分區(qū)間分割的非常細(xì)，而另有部分區(qū)間區(qū)間長度很大的現(xiàn)象出現(xiàn)。定積分的建立，為高等數(shù)學(xué)下冊書的二重積分、三重積分、線積分、面積分理論打下了堅實的基礎(chǔ)。因為二重積分、三重積分、曲線積分、曲面積分完全是定積分的推廣和發(fā)展。談起高等數(shù)學(xué)的發(fā)展史，我們還要談一談無窮理論，我們知道，高等數(shù)學(xué)的又一特征是無窮進(jìn)入數(shù)學(xué)。無窮進(jìn)入數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)史非常重要的階段。20世紀(jì)美國普林斯頓高級研究所著名教授魏爾教授曾經(jīng)說過“數(shù)學(xué)是講述無限的科學(xué)?！泵绹鴶?shù)學(xué)史學(xué)家貝爾也指出“沒有一個一致的數(shù)學(xué)無限理論，就沒有無理數(shù)理論，就沒有與我們現(xiàn)在所有的即便稍許相似的、任何形式的數(shù)學(xué)分析，最后，沒有分析，像現(xiàn)在存有的大部分?jǐn)?shù)學(xué)—包括幾何和大部分的應(yīng)用數(shù)學(xué)—就不存在了”這些至理名言充分體現(xiàn)了無限在數(shù)學(xué)科學(xué)領(lǐng)域占據(jù)著相當(dāng)重要的地位。甚至可以說，沒有無限的延申，就沒有現(xiàn)代數(shù)學(xué)。正是因為如此，所以在高等數(shù)學(xué)課本中無限思想時時滲透。三，無窮級數(shù)的發(fā)展史

無窮級數(shù)作為高等數(shù)學(xué)課本中重要的一個章節(jié)，我們也談?wù)勊陌l(fā)展史。盡管無窮級數(shù)在數(shù)學(xué)科學(xué)中很早就出現(xiàn)了，比如說我國戰(zhàn)國時期莊子的無限理論，“一尺之錘，日取之半，則萬世不可竭也”。但這些無窮思想還沒有形成完整的數(shù)學(xué)理論。直到十四世紀(jì)歐洲最偉大的數(shù)學(xué)和神學(xué)家奧雷姆在無窮級數(shù)理論中做出了重要貢獻(xiàn)。他明確指出了等比級數(shù)當(dāng)它的公比小于1時收斂，而公比大于1時發(fā)散。他還確切證明了調(diào)和級數(shù)是發(fā)散的，其和是無限的這一結(jié)論。并且他還求出了很多級數(shù)的和。盡管這一時期奧雷姆和當(dāng)時的數(shù)學(xué)家已經(jīng)開始識別收斂與發(fā)散級數(shù)，但數(shù)學(xué)界真正打破對無窮的禁忌是在十七到十八世紀(jì)，其中法國著名數(shù)學(xué)家韋達(dá)給出了等比無窮級數(shù)的求和公式，萊布尼茲也解決了很多級數(shù)求和問題。達(dá)朗貝爾、阿貝爾、泰勒、麥克勞林等科學(xué)家也先后給出了很多級數(shù)理論。為數(shù)學(xué)發(fā)展做出了很大的貢獻(xiàn)。

高等數(shù)學(xué)發(fā)展史是一個漫長的歷史，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)發(fā)展史，對他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)會起到積極的促進(jìn)作用。

作者簡介：

安潤秋（1964-），漢族，河北唐山人，工作于河北省唐山學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部數(shù)學(xué)教研室，副教授，研究方向：數(shù)學(xué)。