基于改進(jìn)型陷波器的伺服系統(tǒng)諧振抑制研究*

龔文全，曾岳南，黃之鋒，郭富強(qiáng)

(廣東工業(yè)大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，廣東 廣州 511400)

0 引 言

在交流伺服系統(tǒng)中，伺服電機(jī)一般需要通過(guò)滾珠絲杠副、聯(lián)軸器或者齒輪等機(jī)械傳動(dòng)機(jī)構(gòu)來(lái)驅(qū)動(dòng)負(fù)載，這些機(jī)械傳動(dòng)環(huán)節(jié)本身存在著一定的柔性，傳動(dòng)柔性會(huì)導(dǎo)致伺服系統(tǒng)發(fā)生機(jī)械諧振[1]。諧振發(fā)生時(shí)電機(jī)電流發(fā)生震蕩，電機(jī)速度控制失準(zhǔn)，不僅會(huì)產(chǎn)生噪聲，還會(huì)對(duì)機(jī)械傳動(dòng)環(huán)節(jié)造成破壞，甚至出現(xiàn)斷軸等后果[2]。添加濾波器是常采用的抑制方法，但是濾波器會(huì)產(chǎn)生相位損失，減小系統(tǒng)的相位裕度，導(dǎo)致系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能變差，甚至失去穩(wěn)定[3]。

為了改善使用陷波濾波器帶來(lái)的相位滯后影響，國(guó)內(nèi)外學(xué)者在陷波器結(jié)構(gòu)以及控制策略方面做了大量研究。文獻(xiàn)[4]提出了ZPNF(zero-phase notch filter)的設(shè)計(jì)方案，減小了陷波器帶來(lái)的相位滯后，提高了工業(yè)機(jī)械手臂的定位快速性；文獻(xiàn)[5]提出了一種新型的ZPNF，對(duì)位置控制信號(hào)進(jìn)行了預(yù)處理濾波，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，機(jī)械手臂的末端抖動(dòng)得到了抑制，同時(shí)跟蹤性能也得到了提高；文獻(xiàn)[6]在ZPNF基礎(chǔ)上，提出了ZPETC(zero phase error tracking controller)方案，將二者有效結(jié)合，以提高機(jī)械手臂的控制性能，最后在仿真中得到了驗(yàn)證；文獻(xiàn)[7]針對(duì)機(jī)械臂的定位和位置跟蹤，提出了一種陷波濾波器的小相位誤差補(bǔ)償策略，提高了機(jī)械臂的跟蹤性能。

但這些設(shè)計(jì)大多是針對(duì)伺服系統(tǒng)位置環(huán)路的控制，而且零相位陷波器設(shè)計(jì)復(fù)雜。而對(duì)于如何在常規(guī)二階陷波器的基礎(chǔ)上，減小陷波器帶來(lái)的速度環(huán)路控制延時(shí)，提高速度響應(yīng)的快速性方面，卻很少有詳細(xì)的研究。

針對(duì)伺服系統(tǒng)速度環(huán)路中，使用常規(guī)二階陷波濾波器產(chǎn)生的相位損失問(wèn)題，本文首先建立柔性負(fù)載伺服系統(tǒng)諧振模型；然后對(duì)常規(guī)二階陷波濾波器的相位特性進(jìn)行分析，為改善系統(tǒng)的相位穩(wěn)定裕度，提出一種改進(jìn)型陷波濾波器，并且在Simulink中建立模型，對(duì)所提方法進(jìn)行仿真分析；最后搭建柔性負(fù)載伺服系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，對(duì)比改進(jìn)型陷波器和常規(guī)陷波器的抑制效果。

1 柔性伺服系統(tǒng)建模及諧振分析

在交流伺服系統(tǒng)中，電機(jī)與負(fù)載之間常采用傳動(dòng)軸、滾珠絲杠副或者聯(lián)軸器等傳動(dòng)機(jī)構(gòu)進(jìn)行連接。然而傳動(dòng)機(jī)構(gòu)并不是理想剛性的，電機(jī)和負(fù)載之間屬于柔性連接。

在分析伺服機(jī)械諧振問(wèn)題的時(shí)候，常將柔性伺服系統(tǒng)簡(jiǎn)化為二質(zhì)量模型來(lái)分析。一個(gè)典型二質(zhì)量模型如圖1所示。

圖1 典型二質(zhì)量模型

根據(jù)以上關(guān)系，建立微分方程組：

(1)

式中：Ks—?jiǎng)偠认禂?shù)；Bs—阻尼系數(shù)；Jm—電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；JL—負(fù)載轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；B1—電機(jī)轉(zhuǎn)軸阻尼；B2—負(fù)載阻尼；θ1—電機(jī)轉(zhuǎn)角；θ2—負(fù)載轉(zhuǎn)角；Te—電機(jī)電磁轉(zhuǎn)矩；Tw—彈性連接轉(zhuǎn)矩；TL—負(fù)載轉(zhuǎn)矩。

若忽略阻尼系數(shù)，對(duì)系統(tǒng)模型進(jìn)行化簡(jiǎn)，對(duì)系統(tǒng)微分方程組再進(jìn)行拉普拉斯變換，可推導(dǎo)出電機(jī)轉(zhuǎn)速同電磁轉(zhuǎn)矩之間的傳遞函數(shù)：

(2)

對(duì)式(2)進(jìn)行整理可得：

(3)

將式(3)的共軛零點(diǎn)稱為抗諧振頻率點(diǎn)ωARF，共軛極點(diǎn)稱為自然振動(dòng)頻率點(diǎn)ωNTF。

共扼零點(diǎn)為:

(4)

共軛極點(diǎn)為:

(5)

式(3)的諧振方程中，存在一對(duì)共軛極點(diǎn)，并且這對(duì)共軛極點(diǎn)與虛軸非常接近，這樣會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)處于欠阻尼或者臨界振蕩的狀態(tài)，一旦有對(duì)應(yīng)頻率的激勵(lì)信號(hào)，系統(tǒng)的穩(wěn)定狀態(tài)很容易被破壞，這在伺服系統(tǒng)中被稱為機(jī)械諧振，表現(xiàn)為電機(jī)轉(zhuǎn)速出現(xiàn)大幅度震動(dòng)。

2 陷波濾波器的分析和改進(jìn)

2.1 陷波器抑制諧振原理

考慮理想陷波濾波器的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

(6)

理想的陷波濾波器能夠?qū)⑤斎胄盘?hào)中的指定頻率成分完全濾除，其中ω0為陷波濾波器的陷波中心頻率。常采用的二階陷波濾波器具有一定的陷波頻帶，只在陷波中心頻率附近提供較大的幅值衰減，而對(duì)陷波頻帶外的頻率信號(hào)幾乎沒(méi)有影響，即：

(7)

式中：kdep—深度系數(shù)；Q—寬度系數(shù)。

柔性伺服系統(tǒng)發(fā)生諧振現(xiàn)象，是因?yàn)橛行盘?hào)激勵(lì)了系統(tǒng)中存在的諧振點(diǎn)。因此,可以利用陷波濾波器的頻率特性，將陷波濾波器串入速度回路，濾除電流中的諧振頻率激勵(lì)信號(hào)，抑制電磁轉(zhuǎn)矩震蕩，從而實(shí)現(xiàn)電機(jī)轉(zhuǎn)速諧振抑制。

對(duì)于二質(zhì)量諧振系統(tǒng)，存在單個(gè)的諧振頻率，使得該頻率點(diǎn)對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)響應(yīng)急劇增大，破壞系統(tǒng)的穩(wěn)定性。作為濾波器的一種，陷波濾波器可以在諧振頻率初進(jìn)行精準(zhǔn)的濾波，衰減諧振信號(hào)，因此，加入適當(dāng)?shù)南莶V波器之后，諧振點(diǎn)峰值會(huì)被抑制。

2.2 陷波器的相位影響

陷波器實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)諧振峰值的抑制，但是考慮到濾波器本身的相位延遲，也必然會(huì)對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生一定的相位滯后，使系統(tǒng)的響應(yīng)變慢，相位穩(wěn)定裕度減小。

相位穩(wěn)定裕度表征一個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)定性能，通常用來(lái)判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定的依據(jù)為：

PM=180°+φ(ω)

(8)

根據(jù)自動(dòng)控制原理可知，對(duì)于一個(gè)穩(wěn)定系統(tǒng)而言，其相位裕度至少應(yīng)保持PM>45°。

對(duì)于式(7)，令s=jω，則有：

(9)

其相角特性表達(dá)式為：

(10)

所以，陷波濾波器所產(chǎn)生的相角損失為：

(11)

由式(11)可知：若要減小相角損失Δφ(jω)，可以通過(guò)減小φ(0)或者增大φ(jω)實(shí)現(xiàn)；但對(duì)于陷波濾波器來(lái)說(shuō)，改變?chǔ)?0)很難實(shí)現(xiàn)，所以只能考慮增大φ(jω)。φ(jω)由兩部分組成，分別是分子部分和分母部分，為了方便表示，以下表述中，分別以分子N和分母D來(lái)代替。

2.3 改進(jìn)型陷波濾波器

引入修正因子ε，當(dāng)ε=1時(shí)，即為原陷波濾波器形式，相位特性無(wú)改變。當(dāng)ε>1時(shí)，考慮反正切函數(shù)特性，由于ε>1且位于分母，此時(shí)分子N部分保持不變，分母D部分減小，φ(jω)總體增大，在φ(0)保持不變的情況下，相角損失Δφ(jω)整體變小。

根據(jù)上述分析，式(7)可改寫(xiě)為：

(12)

引入修正因子后，陷波器結(jié)構(gòu)發(fā)生改變，可能引起陷波濾波器的陷波深度變化，影響陷波效果。

式(12)中幅值為：

(13)

當(dāng)ω=ωn時(shí)，此時(shí)對(duì)應(yīng)最大衰減倍數(shù)為：

(14)

則可以得到中心陷波深度為：

D=20lg|H(jω)|

(15)

當(dāng)ε=1時(shí)，即為常規(guī)陷波器，其最大衰減倍數(shù)為：

|H(jω)|=1-kdep

(16)

取ε=1.5，改進(jìn)前后陷波器幅頻特性如圖2所示。

圖2 改進(jìn)前后陷波器幅頻特性

從圖2中可以看出，常規(guī)陷波器的陷波深度約為-40 dB，改進(jìn)后的陷波器深度為-37.8 dB，約減小2 dB；但是在陷波中心頻率處，常規(guī)陷波器的Δφ(jω)=-75.2°，而改進(jìn)后陷波器為Δφ(jω)=-43.5°，相角損失明顯減小。

所以，改進(jìn)型陷波器以較小的陷波深度損失，獲得了較大的相位補(bǔ)償，在不影響諧振抑制效果的情況下，系統(tǒng)相位裕度增加。

將兩種陷波器加入諧振系統(tǒng)之后，諧振系統(tǒng)及抑制效果如圖3所示。

圖3 諧振系統(tǒng)及抑制效果

系統(tǒng)開(kāi)環(huán)時(shí)，在諧振頻率附近使用常規(guī)陷波器時(shí)，系統(tǒng)相位約為-130°，使用改進(jìn)型陷波器系統(tǒng)相位約為-110°，相位滯后更小。另根據(jù)式(7)的系統(tǒng)穩(wěn)定性判據(jù)可知，改進(jìn)型陷波器系統(tǒng)的相位裕度約為70°左右，此時(shí)開(kāi)環(huán)系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)。

在系統(tǒng)閉環(huán)狀態(tài)，速度環(huán)帶寬ωc主要受到抗諧振頻率點(diǎn)ωANF的影響，且ωc<ωARF[8]，閉環(huán)系統(tǒng)幅頻特性如圖4所示。

圖4 閉環(huán)系統(tǒng)幅頻特性

圖4中，系統(tǒng)的ωARF=285 rad/s，使用常規(guī)型陷波器時(shí)，速度環(huán)帶寬ωc-notch=209 rad/s，使用改進(jìn)型陷波器時(shí)，速度環(huán)帶寬ωc-im-notch=220 rad/s。可以看出，相比常規(guī)型陷波器，使用改進(jìn)型陷波器后，系統(tǒng)帶寬增大。

在改進(jìn)型陷波濾波器的高頻部分，即頻率大于陷波中心頻率處，改進(jìn)型陷波器的幅頻特性發(fā)生了變化，理想狀態(tài)下應(yīng)保持無(wú)增益的狀態(tài)受到影響，此處的增益被抬高。但是對(duì)于中高頻段的伺服系統(tǒng)機(jī)械諧振來(lái)說(shuō)，諧振頻率通常處于接近或者超過(guò)速度環(huán)截止頻率的范圍。

在圖4中，系統(tǒng)閉環(huán)的速度環(huán)截止頻率為ωc-im-notch=220 rad/s，經(jīng)過(guò)速度環(huán)截止頻率的限制之后，高頻信號(hào)等于受到了低通濾波器濾波效果，在高峰值的諧振頻率被抑制的前提下，其余的高頻信號(hào)被低通濾波效果大幅度衰減，抵消了陷波器所產(chǎn)生的增益抬高。所以，在陷波中心頻率之后，改進(jìn)型陷波器幅值增益被抬高的特性變化，并不會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)出現(xiàn)不穩(wěn)定狀態(tài)。

3 仿真驗(yàn)證和分析

為了驗(yàn)證改進(jìn)型陷波器的有效性，筆者在Simulink中搭建柔性永磁同步電機(jī)雙閉環(huán)調(diào)速系統(tǒng)仿真模型，仿真參數(shù)如表1所示。

表1 仿真參數(shù)

速度給定為130 r/min，使伺服系統(tǒng)發(fā)生機(jī)械諧振，筆者使用PowerGrid中的FFT分析工具，得到諧振頻率，并以此作為陷波濾波器的中心頻率。

對(duì)比無(wú)陷波處理的電機(jī)轉(zhuǎn)速和使用常規(guī)陷波濾波器的電機(jī)轉(zhuǎn)速，常規(guī)陷波器諧振抑制如圖5所示。

圖5 常規(guī)陷波器諧振抑制

從圖5可以看出，當(dāng)伺服系統(tǒng)發(fā)生機(jī)械諧振時(shí)，如果僅使用PI控制器，電機(jī)轉(zhuǎn)速出現(xiàn)持續(xù)震蕩，并且無(wú)法收斂；加入常規(guī)陷波濾波器之后，電機(jī)轉(zhuǎn)速基本呈現(xiàn)平穩(wěn)狀態(tài)，最終穩(wěn)定在速度給定值，震蕩得到抑制。

但是通過(guò)對(duì)比還可以發(fā)現(xiàn)，雖然使用陷波濾波器實(shí)現(xiàn)了電機(jī)轉(zhuǎn)速振動(dòng)抑制，然而此時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)存在著明顯的滯后現(xiàn)象。

對(duì)比使用常規(guī)陷波濾波器的電機(jī)轉(zhuǎn)速響應(yīng)和使用改進(jìn)型陷波濾波器的電機(jī)轉(zhuǎn)速響應(yīng)，改進(jìn)型陷波器抑制效果如圖6所示。

圖6 改進(jìn)型陷波器抑制效果

從圖6可以看出，兩種陷波器均能實(shí)現(xiàn)機(jī)械諧振抑制，電機(jī)轉(zhuǎn)速都能夠平穩(wěn)收斂。但是與常規(guī)陷波器相比，經(jīng)過(guò)改進(jìn)之后，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能得到了改善，響應(yīng)速度明顯提高，而且穩(wěn)定速度明顯加快。

兩種陷波策略動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)如表2所示。

表2 兩種陷波策略動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)

通過(guò)表2可以看出，由于改進(jìn)型陷波濾波器的相位損失更小，對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生的滯后也更小，電機(jī)轉(zhuǎn)速上升時(shí)間加快，峰值變小，超調(diào)量減小，調(diào)節(jié)時(shí)間更短，速度穩(wěn)定更快。由此可見(jiàn)，與常規(guī)陷波的抑制效果相比，使用改進(jìn)型陷波器后，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能得到了改善。

4 實(shí)驗(yàn)及分析

為驗(yàn)證所述方法的可行性和有效性，筆者搭建永磁同步電機(jī)柔性負(fù)載伺服系統(tǒng)。

整個(gè)系統(tǒng)由數(shù)字式交流伺服驅(qū)動(dòng)單元、表貼式永磁同步電機(jī)以及柔性負(fù)載等3部分組成，實(shí)驗(yàn)平臺(tái)如圖7所示。

圖7 實(shí)驗(yàn)平臺(tái)

筆者通過(guò)NI公司的模塊化平臺(tái)以及LabView工具，顯示電機(jī)速度，并且根據(jù)電機(jī)反饋速度信息，離線獲取速度振動(dòng)的FFT頻率檢測(cè)結(jié)果。

實(shí)驗(yàn)控制參數(shù)如表3所示。

表3 實(shí)驗(yàn)控制參數(shù)

4.1 穩(wěn)態(tài)抑制效果驗(yàn)證

由于修正因子會(huì)導(dǎo)致陷波深度減小，首先驗(yàn)證在系統(tǒng)發(fā)生機(jī)械諧振時(shí)，改進(jìn)型陷波濾波器能否實(shí)現(xiàn)諧振抑制。

在高控制增益情況下，電機(jī)轉(zhuǎn)速發(fā)生劇烈震蕩，筆者于中途加入改進(jìn)型陷波濾波器，電機(jī)轉(zhuǎn)速抑制前后對(duì)比如圖8所示。

圖8 電機(jī)轉(zhuǎn)速抑制前后對(duì)比

抑制前電機(jī)震蕩幅值接近70 r/min，添加陷波濾波器之后，電機(jī)轉(zhuǎn)速震蕩被迅速抑制，最終保持在4 r/min之內(nèi)，衰減比例達(dá)到94.3%，基本實(shí)現(xiàn)平穩(wěn)輸出，表明改進(jìn)型陷波器可以實(shí)現(xiàn)諧振抑制。

4.2 動(dòng)態(tài)性能對(duì)比

保持實(shí)驗(yàn)參數(shù)不變，令系統(tǒng)產(chǎn)生諧振，筆者分別在零時(shí)刻加入常規(guī)陷波器和改進(jìn)型陷波器，電機(jī)轉(zhuǎn)速動(dòng)態(tài)性能對(duì)比如圖9所示。

圖9 電機(jī)轉(zhuǎn)速動(dòng)態(tài)性能對(duì)比

圖9中，由于改進(jìn)型陷波器帶來(lái)的相位損失更小，造成的相位裕度損失比常規(guī)陷波器要更小，系統(tǒng)的穩(wěn)定性更好，兩種陷波器都可以避免系統(tǒng)發(fā)生諧振，使速度波動(dòng)保持在4 r/min之內(nèi)。但常規(guī)陷波器系統(tǒng)在啟動(dòng)階段波動(dòng)幅度較大，而改進(jìn)型陷波器系統(tǒng)則基本平穩(wěn)上升。

另外，常規(guī)陷波器系統(tǒng)的響應(yīng)速度較慢，在輸入指令為300 r/min時(shí)，速度響應(yīng)超調(diào)接近12 r/min，進(jìn)入最終穩(wěn)定需要一段時(shí)間。但是改進(jìn)型陷波器響應(yīng)速度更快，幾乎無(wú)超調(diào)，到達(dá)輸入指令后，迅速進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài)，整體動(dòng)態(tài)性能優(yōu)于常規(guī)陷波器系統(tǒng)。

5 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)彈性傳動(dòng)環(huán)節(jié)導(dǎo)致的伺服系統(tǒng)出現(xiàn)機(jī)械諧振的問(wèn)題，本文在完成諧振機(jī)理分析的基礎(chǔ)上，提出了一種使用改進(jìn)型陷波濾波器進(jìn)行機(jī)械諧振抑制的方法，以減小陷波器引入的相位滯后，并實(shí)現(xiàn)諧振抑制。

具體過(guò)程如下：

(1)對(duì)常規(guī)型陷波濾波器相位特性進(jìn)行了分析，并且闡述了引入陷波濾波器之后，對(duì)系統(tǒng)相位裕度造成的影響；

(2)提出了改進(jìn)型陷波濾波器，通過(guò)調(diào)整校正因子，可以實(shí)現(xiàn)陷波器的相位優(yōu)化，并且保證陷波器的陷波效果；

(3)仿真結(jié)果表明:和常規(guī)陷波濾波器相比，改進(jìn)型陷波濾波器的相角損失更小，系統(tǒng)的閉環(huán)帶寬得到提升，系統(tǒng)轉(zhuǎn)速輸出的動(dòng)態(tài)性能更好。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明:電機(jī)轉(zhuǎn)速的快速性得到提高，超調(diào)量減小。