基于WOA-Kriging算法的鈦合金切削力預(yù)測數(shù)學(xué)模型研究*

向 瑩，張 祺

(1.常州機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院 文化基礎(chǔ)部，江蘇 常州 213164;2.攀枝花學(xué)院 智能制造學(xué)院，四川 攀枝花 617000)

0 引 言

鈦合金具有耐高溫、強(qiáng)度高、耐磨、抗腐蝕強(qiáng)等特點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于航空航天、汽車、醫(yī)療、石油化工等行業(yè)領(lǐng)域中[1]，但因其具有彈性模量小、導(dǎo)熱性差等特點(diǎn)，導(dǎo)致鈦合金加工困難[2]。因此學(xué)者們就如何提高其加工效率和控制質(zhì)量進(jìn)行了研究[3-4]。為優(yōu)化加工工藝參數(shù)，提高其加工效率和控制質(zhì)量，本文提出采用代理模型技術(shù)建立加工工藝參數(shù)與切削力之間的數(shù)學(xué)模型，后續(xù)采用優(yōu)化算法實(shí)現(xiàn)其加工工藝參數(shù)的優(yōu)化。

采用模擬實(shí)驗(yàn)來評估采用不同設(shè)計(jì)參數(shù)時(shí)的目標(biāo)函數(shù)時(shí)，需要進(jìn)行大量的物理實(shí)驗(yàn)，而代理模型是基于有限的數(shù)據(jù)樣本建立的一種近似模型?；诮颇Ｐ徒⒌哪Ｐ团c原模型非常接近，減少了物理實(shí)驗(yàn)次數(shù)和時(shí)間，提高了效率。常用的代理模型技術(shù)主要有響應(yīng)面法、支持向量機(jī)、Kriging算法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等[5-6]。Kriging算法是一種常用的代理模型，其模型由于存在隨機(jī)過程，更適用于復(fù)雜非線性的結(jié)構(gòu)輸入、輸出模型，具有非常高的精度[7]。為了提高Kriging模型的精度，岳建平等人[8]采用PSO算法實(shí)現(xiàn)了對Kriging插值變異函數(shù)參數(shù)優(yōu)化;游海龍[9]基于遺傳算法對Kriging模型參數(shù)尋優(yōu)；劉夏等[10]提出了基于混合模擬退火算法和人工蜂群算法優(yōu)化克里金模型的變異函數(shù)參數(shù)；朱恒軍等人[11]通過分組和差分進(jìn)化策略改進(jìn)灰狼優(yōu)化算法實(shí)現(xiàn)了Kriging模型的變異函數(shù)參數(shù)優(yōu)化;李晨霖等人[12]提出了一種PSO-GA-Kriging插值算法實(shí)現(xiàn)了對變異函數(shù)參數(shù)優(yōu)化;TONG等人[13]提出了一種改進(jìn)的粒子群算法，并用于Kriging的全局優(yōu)化；ZHAO等人[14-15]采用量子粒子群算法對Kriging模型的變異函數(shù)參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化。鯨魚優(yōu)化算法是由MIRJALILI等人[16]于2016年提出的新型智能優(yōu)化算法，鯨魚算法原理來自于座頭鯨的“泡泡網(wǎng)”覓食行為，鯨魚群在捕食過程中主要有游走覓食、包圍捕食、攻擊獵物這3種行為，它們通過判斷與獵物之間的距離來選擇有效的捕食方式。

為建立鈦合金銑削深度、每齒進(jìn)給量、切削速度、銑削寬度與切削力之間的關(guān)系，本文提出一種基于鯨魚優(yōu)化算法的Kriging模型變異函數(shù)參數(shù)優(yōu)化算法，通過WOA算法實(shí)現(xiàn)對其變異函數(shù)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，從而進(jìn)一步提高其擬合精度；根據(jù)不同零件特征的鈦合金加工，采用實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)和有限元分析，得到不同銑削深度、每齒進(jìn)給量、切削速度、銑削寬度的切削力仿真結(jié)果，以建立不同零件特征的切削參數(shù)與切削力之間的關(guān)系。

1 基于代理模型的鈦合金切削力預(yù)測模型建模流程

基于近似模型的鈦合金切削力預(yù)測模型建模流程如圖1所示[17]。

圖1 基于近似模型的鈦合金切削力預(yù)測模型建模流程

根據(jù)圖1可知，建模流程主要包括了確定變量及其水平取值(本文參數(shù)變量主要為：銑削深度、每齒進(jìn)給量、切削速度、銑削寬度)、DOE實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)與采樣(響應(yīng)結(jié)果為切削力)、近似模型建立與誤差驗(yàn)證。

具體的基于近似模型建立鈦合金切削力預(yù)測模型的流程為：首先要明確輸入變量及其取值，確定輸出變量，采用試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法完成試驗(yàn)設(shè)計(jì)，基于試驗(yàn)設(shè)計(jì)結(jié)果，采用實(shí)驗(yàn)或者是數(shù)值仿真的方法得到每一個(gè)試驗(yàn)組合所對應(yīng)的輸出值的響應(yīng)值并形成試驗(yàn)設(shè)計(jì)的響應(yīng)樣本，根據(jù)得到的試驗(yàn)設(shè)計(jì)及其對應(yīng)的響應(yīng)值樣本，采用代理模型技術(shù)進(jìn)行建模并驗(yàn)證，若滿足精度要求則結(jié)束，若不滿足重新進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計(jì)(刪除或者是新增樣本)，直到滿足精度要求。

2 試驗(yàn)設(shè)計(jì)與響應(yīng)結(jié)果

常用的試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法主要有均勻試驗(yàn)交、正交試驗(yàn)、拉丁方試驗(yàn)等方法。本文研究銑削深度ap(mm)、每齒進(jìn)給量f/(mm/min)、切削速度v/(mm/min)、銑削寬度ae(mm)與切削力之間的關(guān)系，利用回歸正交試驗(yàn)法原理設(shè)計(jì)仿真方案選擇4個(gè)因素4個(gè)水平。

切削仿真試驗(yàn)因素水平表如表1所示。

表1 切削仿真試驗(yàn)因素水平表

正交表用符號表示為Ln(rm)，其中：L—正交表代號；n—正交表格的行次(即要求做的多少次試驗(yàn))；r—因素水平數(shù)；m—正交表格的列次(因素變量數(shù)的最大值)。

根據(jù)正交試驗(yàn)結(jié)果，參考文獻(xiàn)采用DEFORM有限元方法實(shí)進(jìn)行數(shù)值仿真得到試驗(yàn)條件下切削力仿仿真結(jié)果數(shù)據(jù)[18-19]。

L16(44)正交試驗(yàn)切削力仿真結(jié)果如表2所示。

表2 L16(44)正交試驗(yàn)切削力仿真結(jié)果

3 改進(jìn)Kriging代理模型

3.1 Kriging代理模型

Kriging(克里金)模型在解決非線性程度較高的問題時(shí)，可較容易獲得理想的擬合結(jié)果。它將未知函數(shù)看成是某個(gè)靜態(tài)隨機(jī)過程的具體實(shí)現(xiàn)，即對于任意位置的x,對應(yīng)的函數(shù)值Y(x)被一個(gè)隨機(jī)函數(shù)y(x)代替，而y(x)只是Y(x)的可能結(jié)果之一。

其插值結(jié)果定義為已知樣本函數(shù)響應(yīng)值的線性加權(quán)，即：

(1)

式中：fj(x)—函數(shù)，一般為多項(xiàng)式；βj—相對應(yīng)的系數(shù)；Z(x)—靜態(tài)隨機(jī)過程，其滿足均值為0，方差為σ2。

且對于設(shè)計(jì)空間內(nèi)不同兩點(diǎn)處所對應(yīng)的隨機(jī)變量之間的協(xié)方差為：

Cov[Z(xi),Z(xj)]=σ2R(xi,xj)

(2)

(3)

式中：R(xi,xj)—相關(guān)性函數(shù)，它表針不同位置處隨機(jī)變量之間的相關(guān)性，常用的相關(guān)性函數(shù)為高斯型函數(shù)。

為保證Kriging預(yù)測值與真實(shí)函數(shù)值之間的均方根誤差(RMSE)最小，可得到Kriging模型的近似表達(dá)式：

(4)

式(3)中的θ為Kriging模型的超參數(shù)，它可以通過極大似然估計(jì)法求解優(yōu)化問題來確定：

(5)

3.2 鯨魚算法

鯨魚算法原理來自于座頭鯨的“泡泡網(wǎng)”覓食行為，座頭鯨“泡泡網(wǎng)”捕食方式示意圖如圖2所示。

圖2 座頭鯨“泡泡網(wǎng)”捕食方式示意圖

基于這一特殊捕食策略的數(shù)學(xué)表達(dá)如下：

D=|C·X*(t)-X(t)|

(6)

X(t+1)=X*(t)-A·D

(7)

式中：t—當(dāng)前迭代次數(shù)；X(t)—當(dāng)前一座頭鯨的坐標(biāo)向量；X(t+1)—下一次迭代后的目標(biāo)坐標(biāo)向量；X*(t)—到目前得到的最佳位置向量，它將隨時(shí)間不斷更新；D—當(dāng)前這條座頭鯨和最佳位置之間的距離。

A和C是系數(shù)，它們分別表示為:

A=2a·r-a

(8)

C=2r

(9)

式中：a—在值域[0,2]上并隨迭代時(shí)間線性遞減的參數(shù)；r—區(qū)間[0,1]內(nèi)的隨機(jī)向量。

在鯨魚算法中，根據(jù)系數(shù)向量A的大小來選擇不同的搜索方式。當(dāng)|A|>1時(shí)，對應(yīng)鯨魚群的游走覓食行為。利用種群的隨機(jī)個(gè)體坐標(biāo)Xrand來定位導(dǎo)航尋找食物,其數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

X(t+1)=Xrand(t)-A·D

(10)

當(dāng)|A|<1時(shí)，對應(yīng)鯨魚群的包圍捕食和攻擊獵物這兩種行為，即鯨魚在數(shù)螺旋形狀接近獵物時(shí)，同時(shí)又收縮包圍獵物。鯨魚在包圍獵物之后，通過螺旋式運(yùn)動(dòng)來捕獲食物，這一動(dòng)作的數(shù)學(xué)模型描述如下：

X(t+1)=X*(t)-D·ebl·cos(2πl(wèi))

(11)

式中：b—與螺旋形狀的常數(shù)；l—區(qū)間[-1,1]上的隨機(jī)數(shù)。

由于鯨魚的收縮包圍機(jī)制和螺旋更新位置是一種同步行為，筆者在數(shù)學(xué)上選取概率相同方式來對其進(jìn)行位置更新，于是可以得到表達(dá)：

(12)

根據(jù)基于Kriging和WOA算法，基于WOA算法的Kriging代理模型改進(jìn)流程如圖3所示。

圖3 基于WOA算法的Kriging代理模型改進(jìn)流程

4 數(shù)值仿真與分析

筆者利用MATLAB數(shù)字仿真平臺(tái)，分別利用Kriging和基于WOA算法改進(jìn)的Kriging算法建立鈦合金切削力預(yù)測模型，優(yōu)化前后的相關(guān)系數(shù)(R2)均方根誤差(RMSE)以及相對最大絕對誤差(RMAE)評價(jià)指標(biāo)情況如表3所示。

表3 優(yōu)化前后評價(jià)指標(biāo)情況

從表3中可以看出：基于WOA算法改進(jìn)的Kriging算法的全局近似能力得到了一定的提升；相關(guān)系數(shù)(R2)為0.997 3，提高了0.859 6%，其越接近于1，則說明其全局近似能力越好；均方根誤差表征了預(yù)測值與真實(shí)值之間的偏離程度，越大說明偏離程度越大，優(yōu)化后降低了54.979 5%；相對最大絕對誤差(RMAE)越接近于0則說明其局部誤差越小，優(yōu)化后RMAE降低了54.979 5%，減少了局部誤差。

綜合來看，采用WOA算法對Kriging算法進(jìn)行改進(jìn)，提升了Kriging算法的擬合能力和精度。

利用Kriging和基于WOA算法改進(jìn)的Kriging算法建立鈦合金切削力預(yù)測模型的預(yù)測結(jié)果分別如圖(4～5)所示。

從圖(4～5)中可以看出：基于采用WOA算法對Kriging算法進(jìn)行改進(jìn)，預(yù)測精度得到了明顯的提升。

圖5 基于WOA-Kriging的鈦合金切削力預(yù)測模型

利用Kriging和基于WOA算法改進(jìn)的Kriging算法建立鈦合金切削力預(yù)測模型的殘差圖分別如圖(6～7)所示。

圖6 基于kriging的鈦合金切削力預(yù)測模型殘差圖

圖7 基于WOA-Kriging的鈦合金切削力預(yù)測模型殘差圖

從圖(6～7)中可以看出：Kriging和基于WOA算法改進(jìn)的Kriging算法都可以很好地建立鈦合金切削力預(yù)測模型，精度都在可使用的范圍之內(nèi)，但是Kriging的誤差范圍在±30之內(nèi)，基于WOA算法改進(jìn)的Kriging算法誤差范圍在-15～0之間；精度得到了明顯的提高。

5 結(jié)束語

本文以提升高合金加工質(zhì)量和效率為對象，利用Kriging代理模型建立了切削速度、切削寬度、切削深度與切削力之間的數(shù)學(xué)模型；同時(shí)，提出了一種基于鯨魚優(yōu)化算法(WOA)的Kriging模型建模方法，通過鯨魚優(yōu)化算優(yōu)化傳統(tǒng)Kriging模型變異函數(shù)的參數(shù)，提高了Kriging模型的建模精度。主要結(jié)論如下：

(1)改進(jìn)后的算法其相關(guān)系數(shù)(R2),均方根誤差(RMSE)以及相對最大絕對誤差(RMAE)均得到了不同程度的改良，提高了傳統(tǒng)Kriging算法的全局近似能力，減少了局部誤差，提升了擬合精度；

(2)Kriging和基于WOA算法改進(jìn)的Kriging算法都可以很好地建立鈦合金切削力預(yù)測模型，精度都在可使用的范圍之內(nèi)，但是Kriging的誤差范圍在±30之內(nèi)，基于WOA算法改進(jìn)的Kriging算法誤差范圍在-15～0之間,精度得到了明顯的提高，能夠?yàn)槠浼庸すに噮?shù)優(yōu)化提供更加精確的數(shù)學(xué)模型；

(3)本文提出的方法為建立不同零件特征的切削參數(shù)與切削力之間的關(guān)系,為后鈦合金的加工工藝參數(shù)優(yōu)化提供更加準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)模型。