采用非線(xiàn)性干擾觀(guān)測(cè)器的機(jī)械臂補(bǔ)償型滑模控制

曾偉鵬， 邵輝， 洪雪梅， 聶卓赟， 郭東生

( 1. 華僑大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院， 福建 廈門(mén) 361021；2. 華僑大學(xué) 福建省電機(jī)控制與系統(tǒng)優(yōu)化調(diào)度工程技術(shù)研究中心，福建 廈門(mén) 361021 )

近年來(lái)，隨著社會(huì)經(jīng)濟(jì)高速發(fā)展，工業(yè)機(jī)械臂以其跟蹤精度高、可靠性強(qiáng)的優(yōu)勢(shì)已被廣泛應(yīng)用于醫(yī)療、軍事等重要領(lǐng)域.然而，機(jī)械臂系統(tǒng)是一個(gè)復(fù)雜的多變量系統(tǒng)，其不確定性、動(dòng)態(tài)特性在系統(tǒng)模型中無(wú)法準(zhǔn)確描述.此外，機(jī)械臂在作業(yè)過(guò)程中不可避免地受到各種不確定干擾，如關(guān)節(jié)摩擦和負(fù)載變化等外界不確定性，諸多因素易造成機(jī)械臂軌跡跟蹤精度低的問(wèn)題.為克服這些不利因素的影響，設(shè)計(jì)優(yōu)越的控制策略對(duì)實(shí)現(xiàn)機(jī)械臂的高精度跟蹤控制具有重要的理論與實(shí)際意義[1-3].

滑?？刂扑惴ê?jiǎn)單、響應(yīng)速度快、對(duì)外界噪聲干擾和參數(shù)攝動(dòng)具有魯棒性，其最大優(yōu)點(diǎn)是滑動(dòng)模態(tài)對(duì)加在系統(tǒng)上的干擾和系統(tǒng)的攝動(dòng)具有完全的自適應(yīng)性.因此，滑?？刂圃诒姸囝I(lǐng)域受廣大學(xué)者青睞，亦在機(jī)器人控制領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用[4].梅紅等[5]針對(duì)機(jī)械臂系統(tǒng)提出一種雙冪次趨近率的變結(jié)構(gòu)滑?？刂撇呗?，系統(tǒng)在達(dá)到滑模面上任意一點(diǎn)后能以更快的速度跟蹤給定軌跡度.李慧潔等[6]提出了一種基于特定雙冪次趨近率的滑?？刂?Ruchika等[7]針對(duì)系統(tǒng)存在的復(fù)合干擾采用一種新型的非奇異終端滑模控制策略.He等[8]基于全程滑模的思想，引入一種帶狀態(tài)時(shí)滯項(xiàng)的積分型滑模面，克服了系統(tǒng)的不確定性以及時(shí)滯的影響，實(shí)現(xiàn)其高精度控制.盡管滑?？刂凭哂休^強(qiáng)的魯棒性及快速響應(yīng)能力，但是，滑模面切換具有不連續(xù)性，致使系統(tǒng)容易產(chǎn)生抖振；再者，對(duì)于高精度控制需求，一般需要增大控制增益，然而隨著增益的增大，機(jī)械臂控制輸入更易出現(xiàn)“抖振”現(xiàn)象[9].

對(duì)于解決滑?？刂频亩墩駟?wèn)題，常用的主動(dòng)抑制法有力反饋控制法和干擾觀(guān)測(cè)法等[10-11].郭闖強(qiáng)等[12]在力矩負(fù)反饋PD控制的基礎(chǔ)上，通過(guò)增加名義輸出力矩前饋補(bǔ)償，實(shí)現(xiàn)了兼顧高精度下的無(wú)抖振跟蹤.于靖等[13]針對(duì)一類(lèi)多輸入多輸出不精確系統(tǒng)的軌跡跟蹤精度問(wèn)題，采用邊界層自適應(yīng)滑?？刂品椒ǎ瑢⑵鋺?yīng)用于空間飛行器高精度姿態(tài)控制，并基于傳統(tǒng)方法設(shè)計(jì)干擾觀(guān)測(cè)器以消除滑模控制中的抖振.Luo等[14]設(shè)計(jì)一種高階系統(tǒng)的干擾觀(guān)測(cè)器結(jié)構(gòu)，但給出的干擾觀(guān)測(cè)器只能實(shí)現(xiàn)干擾估計(jì)誤差漸近收斂到零.張貝貝等[15]在此基礎(chǔ)上，采用自適應(yīng)變?cè)鲆娴姆椒?，設(shè)計(jì)一種非奇異終端自適應(yīng)冪指數(shù)趨近率的滑模微分干擾觀(guān)測(cè)器，實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)快速響應(yīng)的同時(shí)避免了抖振.

綜上分析，本文針對(duì)機(jī)械臂系統(tǒng)中存在的內(nèi)外復(fù)合不確定性干擾問(wèn)題,提出一種非線(xiàn)性干擾觀(guān)測(cè)器補(bǔ)償型滑模控制(nonlinear disturbance observer compensating sliding mode control strategy，NDO-CSMC)策略,并將所提出控制策略應(yīng)用于二自由度機(jī)械臂系統(tǒng)中.

1 機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)模型建立

對(duì)于n自由度的機(jī)械臂，采用拉格朗日方法建模，獲得含建模不確定項(xiàng)的動(dòng)力學(xué)微分方程，即

(1)

(2)

考慮到機(jī)械臂作業(yè)過(guò)程中難免受到外界干擾，結(jié)合式(1)，給出含內(nèi)外復(fù)合不確定性干擾的動(dòng)力學(xué)微分方程.即

(3)

(4)

模型具有如下3點(diǎn)性質(zhì).

性質(zhì)1慣性矩陣M0(x1)是對(duì)稱(chēng)、正定矩陣，且其范數(shù)有界,即

M0(x1)=M0(x1)T>0

，

(5)

?x1∈Dx1，α(x1)<‖M0(x1)‖<β(x1)

.

(6)

式(6)中：Dx1為機(jī)械臂的工作范圍，α(x1)和β(x1)分別為慣性矩陣范數(shù)的上、下限.

(7)

式(7)中：ξ為正實(shí)數(shù).

(8)

2 非線(xiàn)性干擾觀(guān)測(cè)器設(shè)計(jì)

由于系統(tǒng)存在不確定性和外界干擾，為了減小干擾對(duì)系統(tǒng)的影響，提高系統(tǒng)控制精度的同時(shí)抑制抖振，引入非線(xiàn)性干擾觀(guān)測(cè)器逼近系統(tǒng)干擾.對(duì)于傳統(tǒng)非線(xiàn)性干擾觀(guān)測(cè)器，一般假設(shè)機(jī)械臂在實(shí)際工程中角加速度信息可準(zhǔn)確獲取，參考文獻(xiàn)[17]的非線(xiàn)性干擾觀(guān)測(cè)器(NDO)，即

(9)

然而在實(shí)際工程中，利用傳感器難以精確獲取角加速度信息，而對(duì)速度信息求微分的加速度信息易引入高頻噪聲，造成系統(tǒng)的不穩(wěn)定.因此，引入輔助變量設(shè)計(jì)如下非線(xiàn)性干擾觀(guān)測(cè)器.

步驟1構(gòu)造輔助函數(shù).令

(10)

式(10)中:z為NDO內(nèi)部狀態(tài)向量；f(x1,x2)為待設(shè)計(jì)的非線(xiàn)性函數(shù).

(11)

步驟2設(shè)計(jì)觀(guān)測(cè)器結(jié)構(gòu).結(jié)合式(3),(9)和(11)，對(duì)式(10)進(jìn)行求導(dǎo),可得

=-Q(x1,x2)z+Q(x1,x2){C0(x1,x2)x2+G0(x1)-τ-f(x1,x2)}.

(12)

因此，無(wú)加速度信息的非線(xiàn)性干擾觀(guān)測(cè)器可設(shè)計(jì)為

(13)

步驟3設(shè)計(jì)增益矩陣.定義非線(xiàn)性干擾觀(guān)測(cè)器估計(jì)誤差為

(14)

為了準(zhǔn)確估計(jì)內(nèi)外復(fù)合不確定性干擾τd，需要設(shè)計(jì)干擾觀(guān)測(cè)器更新定律.因此，對(duì)式(14)進(jìn)行求導(dǎo)，可獲得干擾觀(guān)測(cè)器誤差動(dòng)態(tài)方程為

(15)

(16)

(17)

將式(17)代入式(11)，并對(duì)式(11)進(jìn)行積分可得

f(x1,x2)=X-1x2.

(18)

式(18)中：X-1為待求解可逆矩陣.

上述基于非線(xiàn)性干擾觀(guān)測(cè)器設(shè)計(jì)可歸納為如下定理.

定理1對(duì)于不確定的非線(xiàn)性機(jī)械臂系統(tǒng)(4)， 設(shè)計(jì)非線(xiàn)性干擾觀(guān)測(cè)器為式(13)，干擾觀(guān)測(cè)器增益Q(x1,x2)為式(17)，則干擾估計(jì)誤差漸進(jìn)收斂.

證明： 設(shè)計(jì)Lyapunov函數(shù)為

(19)

由于慣性矩陣M0(x1)為正定矩陣，X為可逆矩陣，故XTM0(x1)X也是正定矩陣，V1正定.

對(duì)V1進(jìn)行求導(dǎo)，可得

3 非線(xiàn)性干擾觀(guān)測(cè)器補(bǔ)償型滑?？刂频脑O(shè)計(jì)

圖1 非線(xiàn)性干擾觀(guān)測(cè)器補(bǔ)償型滑?？刂平Y(jié)構(gòu)Fig.1 CSMC structure based-NDO

定義1ξ1=x1d-x1，ξ2=x2d-x2.

S=ξ2+Λξ1.

(21)

傳統(tǒng)滑模控制結(jié)構(gòu)通常只對(duì)慣性矩陣項(xiàng)M0(x1)進(jìn)行調(diào)整，其控制律[18]為

(22)

式(22)中:Kv=diag(kv1，…，kvi，…，kvn)，kvi>0，Kp=diag(kp1，…，kpi，…，kpn)，kpi>0.

考慮機(jī)械臂系統(tǒng)模型不確定因素不僅與慣性矩陣M0(x1)和重力矩陣G0(x1)有關(guān)，同時(shí)與模型哥氏力矢量C0(x1,x2)有關(guān).因此,在傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上增加對(duì)哥氏力矢量的調(diào)整并結(jié)合文獻(xiàn)[19]，為滑?？刂破魈砑于吔?-KDsgn(S))，設(shè)計(jì)控制律為

(23)

式(23)中:KD=diag(kD1，…，kDi，…，kDn)，kDi>0；sgn(S)=[sgn(S1)，sgn(S2)，…，sgn(Sn)]T，sgn表示符號(hào)函數(shù).為進(jìn)一步提高系統(tǒng)收斂速度，采用飽和函數(shù)sat替代符號(hào)函數(shù)sgn.即有

(24)

式(24)中:ρ>0表示滑模面邊界層的寬度.因此，基于非線(xiàn)性干擾觀(guān)測(cè)器的補(bǔ)償型滑模控制律設(shè)計(jì)為

(25)

上述基于非線(xiàn)性干擾觀(guān)測(cè)器補(bǔ)償型滑?？刂破髟O(shè)計(jì),可歸納為如下定理.

定理2對(duì)于不確定非線(xiàn)性機(jī)械臂系統(tǒng)(4)，設(shè)計(jì)非線(xiàn)性干擾觀(guān)測(cè)器(13);然后，基于此設(shè)計(jì)非線(xiàn)性干擾觀(guān)測(cè)器的補(bǔ)償型滑模控制律(25)，則閉環(huán)非線(xiàn)性系統(tǒng)的跟蹤誤差漸進(jìn)收斂.

證明： 設(shè)計(jì)Lyapunov函數(shù)為

(26)

對(duì)V進(jìn)行求導(dǎo)，可得

4 系統(tǒng)仿真實(shí)驗(yàn)

4.1 仿真系統(tǒng)

為了驗(yàn)證提出控制策略的有效性，以二自由度機(jī)械臂為仿真研究對(duì)象，其模型選取連桿質(zhì)量m1=m2=1.0 kg，連桿長(zhǎng)度l1=l2=1.0 m.同時(shí),引入如下3項(xiàng)模型內(nèi)部干擾和1項(xiàng)外界時(shí)變干擾,即

(28)

系統(tǒng)初始狀態(tài)及期望跟蹤軌跡為

由線(xiàn)性矩陣不等式(LMI)求得X=diag(0.05，0.05)；采用控制器(25)，取補(bǔ)償型滑?？刂破髦性鲆婢仃嚘?diag(100，100),KD=diag(300，300)，滑模邊界層寬度ρ=0.8.

4.2 傳統(tǒng)滑?？刂?SMC)與補(bǔ)償型滑?？刂?CSMC)對(duì)比

機(jī)械臂系統(tǒng)的傳統(tǒng)滑?？刂?SMC)與補(bǔ)償型滑模控制(CSMC)對(duì)比實(shí)驗(yàn)，如圖2，3所示.圖2,3中：ζ為位置跟蹤誤差；τ為力矩；t為時(shí)間.

由圖2可知：考慮式(28)內(nèi)外復(fù)合不確定性干擾情況下，點(diǎn)線(xiàn)SMCS為傳統(tǒng)滑?？刂撇呗缘男≡鲆婵刂?，其跟蹤誤差為0.02 m；實(shí)線(xiàn)SMCL為傳統(tǒng)滑?？刂撇呗缘拇笤鲆婵刂?，其跟蹤誤差減小為0.005 m，即增益調(diào)大仍有較大跟蹤誤差.CSMC策略跟蹤誤差可達(dá)到0.001 m.可見(jiàn)，基于補(bǔ)償型滑模控制策略的效果明顯優(yōu)于基于傳統(tǒng)滑?？刂撇呗?，其控制精度得到了極大的提高.

由圖3可知：盡管SMC策略隨著控制增益變大，系統(tǒng)控制精度有所提高，但是穩(wěn)定性能降低，兩個(gè)關(guān)節(jié)控制輸入都出現(xiàn)了嚴(yán)重的“抖振”現(xiàn)象.對(duì)于CSMC策略其關(guān)節(jié)1控制輸入平滑，關(guān)節(jié)2控制輸入依然存在“抖振”.

(a) x軸方向 (b) y軸方向圖2 機(jī)械臂末端跟蹤誤差Fig.2 Tracking errors of manipulator tip

(a) 力矩1 (b) 力矩2圖3 機(jī)械臂關(guān)節(jié)控制輸入Fig.3 Control inputs of manipulator joint

4.3 CSMC策略與NDO-CSMC策略對(duì)比

機(jī)械臂系統(tǒng)的CSMC策略與NDO-CSMC策略對(duì)比實(shí)驗(yàn)，如圖4～6所示.圖4～6中：ζ為位置跟蹤誤差；τ為力矩；t為時(shí)間.

(a) 關(guān)節(jié)1 (b) 關(guān)節(jié)2圖4 觀(guān)測(cè)器復(fù)合干擾估計(jì)Fig.4 Compound disturbance estimation of NDO

(a) x軸方向 (b) y軸方向圖5 機(jī)械臂末端跟蹤誤差Fig.5 Tracking errors of manipulator tip

(a) 力矩1 (b) 力矩2圖6 機(jī)械臂關(guān)節(jié)控制輸入Fig.6 Control inputs of manipulator joint

從圖4可知：在同樣的復(fù)合干擾情況下，干擾觀(guān)測(cè)器能夠準(zhǔn)確估計(jì)出系統(tǒng)存在的內(nèi)外復(fù)合不確定性干擾(模型不確定性和外界干擾).從圖5可知：相比CSMC策略，NDO-CSMC策略軌跡跟蹤精度進(jìn)一步提高，其末端跟蹤誤差減小至4.0×10-4m.從圖6可知：系統(tǒng)穩(wěn)定性能更好，控制輸入抖振現(xiàn)象趨近于零.由此可見(jiàn)，相比無(wú)干擾觀(guān)測(cè)器補(bǔ)償型滑?？刂?CSMC)策略，基于非線(xiàn)性干擾觀(guān)測(cè)器補(bǔ)償型滑?？刂?NDO-CSMC)策略表現(xiàn)出更好的抗干擾控制性能.

5 結(jié)論

文中針對(duì)機(jī)械臂系統(tǒng)在內(nèi)外復(fù)合不確定干擾條件下的軌跡跟蹤控制問(wèn)題，提出一種基于非線(xiàn)性干擾觀(guān)測(cè)器的補(bǔ)償型滑?？刂撇呗?設(shè)計(jì)的非線(xiàn)性干擾觀(guān)測(cè)器避免了機(jī)械臂加速度的反饋測(cè)量項(xiàng)，實(shí)現(xiàn)了復(fù)合不確定干擾的準(zhǔn)確估計(jì)，并對(duì)控制輸入進(jìn)行精準(zhǔn)補(bǔ)償.補(bǔ)償型滑?？刂撇呗钥紤]機(jī)械臂慣性矩陣項(xiàng)、哥氏力項(xiàng)及重力的調(diào)整作為系統(tǒng)控制輸入，并設(shè)計(jì)趨近率、增加干擾補(bǔ)償項(xiàng).

在仿真實(shí)驗(yàn)中，引入3項(xiàng)模型不確定項(xiàng)作為系統(tǒng)內(nèi)部干擾和外加時(shí)變信號(hào)作為外部干擾.仿真過(guò)程對(duì)比驗(yàn)證了所提出控制策略的抗干擾能力、系統(tǒng)響應(yīng)速度及軌跡跟蹤精度，并消除了抖振，改善了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能.