面向問題教學(xué)的不定積分解法探究

吳星 劉盼

[摘 要] 不定積分是高等數(shù)學(xué)中連接微分學(xué)和積分學(xué)兩大內(nèi)容的紐帶，起著承上啟下的作用，在微積分中有著極其重要的地位。在進(jìn)行不定積分求解時(shí)，要想順利、準(zhǔn)確地求出函數(shù)的不定積分，除了要熟練掌握積分的基本方法和基本積分公式，還需掌握一些積分技巧，靈活選擇積分方法。本文從兩道求不定積分的例題入手，詳細(xì)闡述分析求不定積分的過程，以幫助初學(xué)者更好地理解和掌握求不定積分的方法。

[關(guān)鍵詞] 換元積分法;分部積分法;面向問題教學(xué)

[基金項(xiàng)目] 河南省教育廳人文社科一般項(xiàng)目“考慮大數(shù)據(jù)信息投入的雙渠道圖書供應(yīng)鏈定價(jià)機(jī)制研究”（2020-ZDJH-141）

[作者簡介] 吳 星（1989—），女，河南南陽人，理學(xué)博士，講師，研究方向?yàn)榱黧w力學(xué)方程;劉 盼（1988—），女，河南永城人，管理學(xué)博士，講師，研究方向?yàn)楣芾砜茖W(xué)與工程。

[中圖分類號(hào)] G642.421? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A? ? [文章編號(hào)] 1674-9324（2020）26-0298-02? ? [收稿日期] 2020-04-09

眾所周知，“高等數(shù)學(xué)”作為大學(xué)理工科學(xué)生必修的基礎(chǔ)課程，它不僅與物理、計(jì)算機(jī)、經(jīng)濟(jì)等不同學(xué)科有著緊密的聯(lián)系，而且在日常生活中的應(yīng)用也非常廣泛。不定積分作為連接高等數(shù)學(xué)中微分學(xué)和積分學(xué)兩大內(nèi)容的紐帶，起著承上啟下的作用。一方面，不定積分是求導(dǎo)或微分的逆運(yùn)算;另一方面，它又是積分學(xué)中牛頓—萊布尼茨公式應(yīng)用的關(guān)鍵。原函數(shù)與不定積分的關(guān)系和定義告訴我們，在熟練掌握微分或求導(dǎo)公式的情況下，應(yīng)當(dāng)充分關(guān)注“被積函數(shù)f（x）是由哪個(gè)函數(shù)得到的”這一基本事實(shí)。我們?cè)谡n堂上告訴學(xué)生：求不定積分的過程，就是用函數(shù)求導(dǎo)的結(jié)果去尋找原來的函數(shù)，也就是說看哪一個(gè)函數(shù)求導(dǎo)之后是被積函數(shù)的形式，因此，積分學(xué)的教學(xué)通常是在我們講授微分學(xué)的基礎(chǔ)上繼續(xù)授課。但是一般來說，求不定積分要比求導(dǎo)數(shù)或求微分困難得多。這是因?yàn)?，無論一個(gè)函數(shù)多么復(fù)雜，只要函數(shù)存在導(dǎo)數(shù)，我們總能根據(jù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則和求導(dǎo)公式或?qū)?shù)定義求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。但是求函數(shù)的不定積分則不然，根據(jù)不定積分的運(yùn)算法則和不定積分公式只能求出很少一部分比較簡單的不定積分，而對(duì)更多函數(shù)的不定積分則要因函數(shù)不同的形式或不同類型選用不同的方法。因此，求不定積分有很大的靈活性。不定積分掌握不好，直接影響到后續(xù)整個(gè)積分學(xué)的學(xué)習(xí)。掌握不定積分的計(jì)算方法，對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)具有重要作用。因此，通過微分學(xué)的知識(shí)儲(chǔ)備，結(jié)合具體的例子對(duì)不定積分的求解方法進(jìn)行研究，詳細(xì)闡述分析求不定積分的過程，以幫助初學(xué)者更好地理解和掌握求不定積分的方法。

在現(xiàn)有的教材中，換元法和分部積分法是求不定積分的兩種最基本的方法，其中換元法積分法又包括第一類換元積分法（湊微分法）和第二類換元積分法。在同濟(jì)版《高等數(shù)學(xué)》第七版上冊(cè)中，關(guān)于換元法和分部積分法有如下定理。

換元法的基本思想是利用湊微分或變量替換將被積函數(shù)化成基本積分公式表中的形式，從而進(jìn)行積分。一般的不定積分計(jì)算被積函數(shù)不可能完全和（1）式左邊或（2）式右邊的形式一樣，這就需要根據(jù)被積函數(shù)的特點(diǎn)，保留相對(duì)復(fù)雜的部分，然后追本溯源，將這部分整體轉(zhuǎn)化成基本積分表中的形式，這樣則可以解決大部分用換元法解決的較復(fù)雜的不定積分問題。分部積分法是求不定積分的另一種重要的方法，分部積分法的關(guān)鍵在于分離出不易求出原函數(shù)的部分，將易求原函數(shù)的部分進(jìn)行湊微分，從而借助于分部積分公式進(jìn)行計(jì)算。實(shí)際中到底在什么情況下用換元法、什么情況下用分部積分法，不是一概而論的，這兩種求部分積分的方法不是隔離的，有時(shí)需要結(jié)合著使用，分部積分公式（3）中v′（x）dx=dv（x）也有湊微分方法的體現(xiàn)。

現(xiàn)有的教材講解并羅列了各種基本類型的積分公式，容易記住，但對(duì)于相對(duì)復(fù)雜的被積函數(shù)不能明顯地看出套用哪種基本類型的解法，這就需要學(xué)生能夠在較短的時(shí)間內(nèi)分析被積函數(shù)的結(jié)構(gòu)并將其分解。讓學(xué)生觀察被積函數(shù)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，掌握積分的思想才能做到不是就題套形式，學(xué)生觀察、思考、獨(dú)立解決問題的方式更為重要。

下面我們結(jié)合兩道具體的例題來說明這兩種積分方法思想的體現(xiàn)。

分析：被積函數(shù)是三項(xiàng)因子的乘積，首先觀察三項(xiàng)中沒有能夠進(jìn)行湊微分的因子。接下來我們引導(dǎo)學(xué)生把被積函數(shù)看成是和lntanx兩部分的乘積，lntanx相對(duì)更復(fù)雜一些，進(jìn)行保留。被積函數(shù)是lntanx形式的積分又如何下手呢，它也不是基本積分公式表中的形式。為了積分，我們應(yīng)該把它看成什么類型的不定積分。這時(shí)，既提出問題，又引發(fā)學(xué)生思考。稍后，讓學(xué)生回顧一下基本積分公式表，根據(jù)lntanx的形式，可以引導(dǎo)學(xué)生往冪函數(shù)形式的不定積分上轉(zhuǎn)化，即lntanxdlntanx。這時(shí)，多出一項(xiàng)dlntanx，通過驗(yàn)證dlntanx=dx，恰好就是被積函數(shù)中的另一項(xiàng)因子，此時(shí)問題解決了一大半。后面追本溯源，正向湊出dlntanx，問題即可解決。

分析：首先引導(dǎo)學(xué)生觀察被積函數(shù)中secx可以湊微分，即secxdx=dtanx，是被積函數(shù)中另一項(xiàng)復(fù)合函數(shù)lntanx的內(nèi)層函數(shù)。為此，我們先做變量替換u=tanx，原不定積分就變?yōu)椤襩nudu。

例2中的兩種解法是兩類換元積分法和分部積分法反復(fù)結(jié)合利用的。在進(jìn)行積分運(yùn)算時(shí)，有時(shí)需要對(duì)被積函數(shù)做適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算或變形，然后再湊微分或分部積分計(jì)算。這往往需要一定的技巧，也無一般規(guī)律可循。因此，要掌握不定積分法，除了要熟悉一些典型的例子之外，還要多練習(xí)，勤總結(jié)。

例1和例2雖然都含有因式lntanx，但卻采取了不同的積分方法。本文具體分析了這兩個(gè)例題的積分思路。在課堂上，學(xué)生通過老師的啟發(fā)和引導(dǎo)，能夠領(lǐng)會(huì)到需要從被積函數(shù)的結(jié)構(gòu)入手，通過適當(dāng)?shù)負(fù)Q元將其轉(zhuǎn)化到基本積分公式表或分部積分的常見類型去做，在此過程中帶給學(xué)生思考問題、解決問題的能力遠(yuǎn)大于學(xué)生只會(huì)套用教科書上總結(jié)給出的眾多類型的積分公式，授之以魚不如授之以漁。

參考文獻(xiàn)

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].高等教育出版社，2014.

Research on the Solution of Indefinite Integral in Problem-oriented Teaching

WU Xing，LIU Pan

（College of Information and Management Science，Henan Agricultural University，Zhengzhou，Henan 450002，China）

Abstract：Indefinite integral is the link between differential calculus and integral calculus in higher mathematics，which plays a connecting role and plays an extremely important role in calculus.In order to get the indefinite integral of a function smoothly and accurately，we should not only master the basic integral method and integral formula，but also master some integral skills and choose the right integral method flexibly.This paper starts with two examples of finding indefinite integral to expound the process of finding indefinite integral in detail，so as to help beginners better understand and master the method? of finding? indefinite integral.

Key words：converter integral method;partial integral method;problem-oriented teaching