三種GNSS 模糊度解算方法性能的對(duì)比分析

汪 鑫 吳湯婷 徐兆祥 王建敏

（1.東華理工大學(xué) 測(cè)繪工程學(xué)院 江西南昌 330013；2.長(zhǎng)沙市規(guī)劃勘測(cè)設(shè)計(jì)研究院 湖南長(zhǎng)沙 410000；3.南京白鯊測(cè)繪科技有限公司 江蘇南京 210038）

1 引言

自整數(shù)最小二乘方法被用于模糊度解算領(lǐng)域中來(lái)，以LAMBDA 算法[1]為代表的基于模糊度協(xié)方差矩陣降相關(guān)和球形離散搜索的模糊度解算方法成為研究的熱點(diǎn)。其中，文獻(xiàn)[2]對(duì)LAMBDA 算法做了詳細(xì)理論分析。文獻(xiàn)[3]等通過(guò)上下三角過(guò)程構(gòu)造的聯(lián)合去相關(guān)算法可以有效地降低模糊度之間的相關(guān)性。文獻(xiàn)[4]等首次提出基于排序的QR 分解降相關(guān)算法，其后文獻(xiàn)[5] 將該策略進(jìn)行改進(jìn)并應(yīng)用到MLAMBDA 算法中，大大提高了解算效率。由于整周模糊度的解算等價(jià)于格理論上的最近向量問(wèn)題，因此有學(xué)者從格基規(guī)約角度對(duì)模糊度解算進(jìn)行研究。文獻(xiàn)[6]等首次將LLL 規(guī)約算法用于模糊度解算，并指出多維高斯整數(shù)降相關(guān)方法與LLL 規(guī)約算法原理等價(jià)。文獻(xiàn)[7]從理論上證明了格基規(guī)約可以有效的減少搜索候選點(diǎn)數(shù)。文獻(xiàn)[8]證明了格基規(guī)約與降相關(guān)之間的等價(jià)性。文獻(xiàn)[9]將降相關(guān)方法統(tǒng)一至格理論框架下，從理論上證明了不同降相關(guān)方法的性能。文獻(xiàn)[10-13]對(duì)LLL 算法的規(guī)約過(guò)程進(jìn)行了改進(jìn)，提高了規(guī)約效率。

為研究SEQR 算法、LAMBDA 算法和LLL 規(guī)約算法三種算法的性能，本文采用模擬和實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)降相關(guān)領(lǐng)域中的SEQR 算法和LAMBDA 算法，基于格基規(guī)約理論的LLL 算法，從規(guī)約時(shí)間、搜索時(shí)間、總體時(shí)間和條件數(shù)四個(gè)方面進(jìn)行了研究分析，以期得出相應(yīng)的結(jié)論，為相關(guān)研究提供參考。

2 基本原理

2.1 LLL 規(guī)約算法

根據(jù)整數(shù)最小二乘原理，模糊度的整數(shù)估計(jì)準(zhǔn)則為[1]

式（2）中，B 為上三角矩陣。

把式（2）代入式（1），可得式（3）中，是一個(gè)常數(shù)。

式（3）也被稱(chēng)為最近向量問(wèn)題，是格基規(guī)約理論中一個(gè)著名的難題，常采用LLL 算法進(jìn)行格基規(guī)約處理。

LLL 規(guī)約后 和U 中的元素應(yīng)滿足下面兩個(gè)條件：

式（4）中，B*=[b1*… bi*… bn*]，其中

式（5）中，上式稱(chēng)為尺度規(guī)約，下式稱(chēng)為基向量交換，其中稱(chēng)為規(guī)約參數(shù)。

2.2 LAMBDA 算法

LAMBDA 算法最早由Teunissen 提出，核心思想是在整數(shù)最小二乘估計(jì)的基礎(chǔ)上，對(duì)協(xié)方差矩陣 進(jìn)行Z 變換，通過(guò)有效的減少搜索橢球外的節(jié)點(diǎn)數(shù)，從而提高搜索效率[2]。對(duì) 進(jìn)行 分解，經(jīng)過(guò)高斯降相關(guān)解算得到整數(shù)Z 變換矩陣。

式（7）中，上式稱(chēng)為模糊度協(xié)方差矩陣降相關(guān)，下式稱(chēng)為條件方差的排序。

2.3 排序QR 分解算法

排序QR 分解算法思想最初是由Xu 等人提出并將其運(yùn)用在模糊度降相關(guān)領(lǐng)域中，后由Dirk Wubben 等[14]用于無(wú)線通信領(lǐng)域，并首次將其稱(chēng)為排序QR 分解算法（Sorted QR decomposition, SEQR），一般簡(jiǎn)稱(chēng)SEQR 算法。

按照下式對(duì)子矩陣Q 進(jìn)行更新計(jì)算

3 評(píng)價(jià)指標(biāo)

4 實(shí)驗(yàn)與分析

4.1 模擬數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)

本文模擬實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)參考的是文獻(xiàn)[5]提出的模擬方法，浮點(diǎn)解的構(gòu)造為

式中，randn 為MATLAB 內(nèi)部函數(shù)，表示隨機(jī)生成n個(gè)服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的元素。

協(xié)方差矩陣 由下三角Cholesky 分解構(gòu)建，即

式中，L 是單位下三角矩陣，L 中的元素）服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，D 是對(duì)角矩陣，主對(duì)角線元素為（10, 10, 10,0.1, 0.1, … ,0.1）。

實(shí)驗(yàn)分別模擬了10 維、20 維、30 維三組數(shù)據(jù)，每組各模擬了100 歷元的模糊度數(shù)據(jù)，用以分析不同維度下三種算法的性能表現(xiàn)。

10 維情況下100 歷元模擬數(shù)據(jù)的平均解算結(jié)果見(jiàn)表1。從表1 可以看出，SEQR 算法的降相關(guān)時(shí)間要小于LLL 算法的解算結(jié)果，但兩者的平均搜索時(shí)間基本一致，LAMBDA 的降相關(guān)時(shí)間相比于其余兩種算法效果較差，但搜索時(shí)間比其余兩種算法效果相對(duì)較好。三種算法的條件數(shù)基本一致。100 歷元三種算法解算結(jié)果的累積分布函數(shù)如圖1 所示，圖1 中結(jié)果與表1 結(jié)果趨勢(shì)一致。

表1 100 歷元三種算法10 維平均解算結(jié)果

20 維情況下100 歷元三種算法的平均解算結(jié)果見(jiàn)表2。在20 維情況下，LLL 算法的規(guī)約效率最高，但搜索時(shí)間相較于其余兩算法效果較差。在總體效率上，LLL 算法比SEQR 算法效率略低，二者均高于LAMBDA 算法。在條件數(shù)上SEQR 算法最小，即矩陣的對(duì)角化程度要比其余兩種算法較好。20 維100 歷元三種算法解算結(jié)果的累積分布函數(shù)如圖2所示，圖2 與表2 的結(jié)果趨勢(shì)一致。

表2 100 歷元三種算法20 維平均解算結(jié)果

圖2 100 歷元三種算法20 維累積分布函數(shù)圖（log10 表示坐標(biāo)軸取對(duì)數(shù)）

30 維模擬數(shù)據(jù)的平均解算結(jié)果見(jiàn)表3，30 維模擬數(shù)據(jù)的累積分布函數(shù)如圖3 所示。30 維情況下三種算法的結(jié)果與20 維基本一致，LLL 算法的規(guī)約效率最高，搜索效率上，SEQR 算法最高，總體性能上LLL 算法比SEQR 算法略低，二者均高于LAMBDA算法。由于維度較高，矩陣的病態(tài)性上升，三種算法在降相關(guān)后的條件數(shù)仍然較大。

表3 100 歷元三種算法30 維平均解算結(jié)果

圖3 100 歷元三種算法30 維累積分布函數(shù)圖（log10 表示坐標(biāo)軸取對(duì)數(shù)）

4.2 實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)

為進(jìn)一步比較三種算法的性能，采用一組靜態(tài)觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，該組數(shù)據(jù)使用司南M300-Pro 接收機(jī)采集，基線長(zhǎng)29.5km，采樣間隔1s。實(shí)驗(yàn)取前100 歷元的GPS+BDS 單歷元處理結(jié)果。

三種算法實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)100 歷元的平均解算結(jié)果見(jiàn)表1，三種算法實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的累積分布函數(shù)如圖4 所示。從圖表的結(jié)果來(lái)看，在這組實(shí)驗(yàn)中，SEQR 算法的總體效率在三種算法中最高。LLL 算法在這組實(shí)驗(yàn)中，規(guī)約效率最差，由于搜索效率比LAMBDA 算法高，導(dǎo)致最終的整體解算時(shí)間相較于LAMBDA 算法效果更好。LLL 算法在這組實(shí)驗(yàn)中規(guī)約性能較差原因在于該組數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)較大，LLL 算法在規(guī)約過(guò)程循環(huán)了多次以滿足尺度規(guī)約條件，因此造成規(guī)約時(shí)間較其他兩種算法更大。這組實(shí)驗(yàn)中，SEQR 算法的條件數(shù)相較于其他兩種算法更小。

表4 100 歷元三種算法實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)平均解算結(jié)果

圖4 100 歷元三種算法實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)累積分布函數(shù)（log10 表示坐標(biāo)軸取對(duì)數(shù)）

5 結(jié)論

本文利用三組模擬數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)和一組實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)對(duì)LLL、LAMBDA 和SEQR 算法的性能進(jìn)行了比較分析，結(jié)果表明SEQR 算法的總體性能最優(yōu)，LLL算法其次，LAMBDA 算法總體性能在本文中相對(duì)較差。主要原因在于SEQR 算法在降相關(guān)過(guò)程中對(duì)條件方差進(jìn)行了排序，用較少的降相關(guān)過(guò)程獲得了一個(gè)更有利于搜索的降相關(guān)矩陣。LLL 算法的規(guī)約性能與數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)有關(guān)，在模擬數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)中LLL 算法的規(guī)約性能效果相對(duì)較好，但在實(shí)測(cè)實(shí)驗(yàn)中效果相比于其他兩種算法較差。LAMBDA 算法采用的分解方式為分解，因此在本文模擬數(shù)據(jù)中的降相關(guān)效率相對(duì)較差，在實(shí)測(cè)實(shí)驗(yàn)中由于降相關(guān)的矩陣條件方差的排序效果不穩(wěn)定，所以導(dǎo)致搜索性能較差。綜上所述，在進(jìn)行GNSS 模糊度解算時(shí)，采用SEQR 算法進(jìn)行降相關(guān)解算更有優(yōu)勢(shì)。