萬有引力與宇宙航行知識薈萃

◇ 山東 呂治華

萬有引力與航天涉及行星運(yùn)動、宇宙航行等問題，與人類的生產(chǎn)、生活密不可分.本文系統(tǒng)總結(jié)了萬有引力及宇宙航行的相關(guān)定律及實際應(yīng)用，把開普勒定律、萬有引力定律以及衛(wèi)星變軌與追及等問題進(jìn)行統(tǒng)一，讓學(xué)生體驗“探尋表象—找出規(guī)律—理論提升”這一學(xué)習(xí)過程.

1 開普勒定律

1)開普勒定律內(nèi)容(如表1所示)

表1

2)核心要點(diǎn)

a)行星繞太陽的運(yùn)動通常按圓軌道處理.b)開普勒行星運(yùn)動定律也適用于其他天體，例如月球、衛(wèi)星繞地球的運(yùn)動.c)在開普勒第三定律＝k中，k值 只與中心天體質(zhì)量有關(guān)，不同的中心天體k值不同.

2 萬有引力定律

1)內(nèi)容

自然界中任何兩個物體都相互吸引，引力的方向在它們的連線上，引力的大小與物體的質(zhì)量m1和m2的乘積成正比，與它們之間距離r的二次方成反比.

2)表達(dá)式

3)適用條件

a)公式適用于質(zhì)點(diǎn)間的相互作用.當(dāng)兩個物體間的距離遠(yuǎn)大于物體本身的大小時，物體可視為質(zhì)點(diǎn).b)質(zhì)量分布均勻的球體可視為質(zhì)點(diǎn)，r是兩球心的距離.

4)要點(diǎn)突破

a)萬有引力與重力的關(guān)系.地球?qū)ξ矬w的萬有引力F表現(xiàn)為兩個效果：一是重力mg，二是提供物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心力F向，如圖1所示.

①在赤道上：＝mg1＋mω2R；

圖1

③在一般位置：萬有引力等 于重力mg與向心力F向的矢量和.

越靠近南北兩極g值越大，由于物體隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力較小，常認(rèn)為萬有引力近似等于重力，即

b)天體上空的重力加速度g′.天體上空距離天體中 心r＝R＋h處 的 重 力 加 速 度 為g′，mg′＝，得，所以

3 萬有引力理論的成就

應(yīng)用萬有引力計算天體質(zhì)量和密度的方法如表2.

表2

4 宇宙航行

4.1 宇宙速度

1)第一宇宙速度(環(huán)繞速度)

a)推導(dǎo)：已知地球質(zhì)量m地和半徑R，物體繞地球的運(yùn)動可視為勻速圓周運(yùn)動，萬有引力提供物體運(yùn)動所需的向心力，即，可 得v ＝；或已知地面附近的重力加速度g 和地球半徑R，由，其數(shù)值為7.9km·s－1.

b)第一宇宙速度是人造衛(wèi)星在地面附近環(huán)繞地球做勻速圓周運(yùn)動時具有的速度.

c)第一宇宙速度是人造衛(wèi)星最小的發(fā)射速度，也是人造衛(wèi)星的最大環(huán)繞速度.

2)第二宇宙速度(脫離速度)

使物體掙脫地球引力束縛的最小發(fā)射速度，其數(shù)值為11.2km·s－1.

3)第三宇宙速度(逃逸速度)

使物體掙脫太陽引力束縛的最小發(fā)射速度，其數(shù)值為16.7km·s－1.

4)要點(diǎn)突破

a)第一宇宙速度是發(fā)射人造地球衛(wèi)星的最小速度，也是人造地球衛(wèi)星的最大環(huán)繞速度，此時它的運(yùn)行周期最短，

b)宇宙速度與運(yùn)動軌跡的關(guān)系.當(dāng)v發(fā)＝7.9km·s－1時，衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動；當(dāng)7.9km·s－1＜v發(fā)＜11.2km·s－1時，衛(wèi)星繞地球運(yùn)動的軌跡為橢圓；當(dāng)11.2km·s－1≤v發(fā)＜16.7km·s－1時，衛(wèi)星繞太陽做橢圓運(yùn)動；當(dāng)v發(fā)≥16.7km·s－1時，衛(wèi)星將掙脫太陽引力的束縛，飛到太陽系以外的空間.

4.2 人造地球衛(wèi)星

衛(wèi)星的軌道平面可以在赤道平面內(nèi)(如同步軌道)，可以通過兩極上空(極地軌道)，也可以和赤道平面成任意角度，如圖2所示.因為地球?qū)πl(wèi)星的萬有引力提供了衛(wèi)星繞地球做圓周運(yùn)動的向心力，所以地心必定是衛(wèi)星圓軌道的圓心，且衛(wèi)星的各物理量隨軌道半徑變化而變化.

圖2

1)極地衛(wèi)星和近地衛(wèi)星

a)極地衛(wèi)星.極地衛(wèi)星運(yùn)行時每圈都經(jīng)過南北兩極，由于地球自轉(zhuǎn)，極地衛(wèi)星可以實現(xiàn)全球覆蓋.

b)近地衛(wèi)星.近地衛(wèi)星是在地球表面附近環(huán)繞地球做勻速圓周運(yùn)動的衛(wèi)星，其運(yùn)行的軌道半徑可近似認(rèn)為等于地球半徑，其運(yùn)行線速度v1＝7.9km·s－1，周期，分別是人造地球衛(wèi)星做勻速圓周運(yùn)動的最大線速度和最小周期.

2)同步衛(wèi)星

a)“同步”的含義就是和地面保持相對靜止，所以其周期等于地球自轉(zhuǎn)周期.

b)同步衛(wèi)星的6個“一定”

同步衛(wèi)星的特點(diǎn)如圖3所示.

圖3

4.3 衛(wèi)星變軌與追及問題

1)衛(wèi)星發(fā)射及變軌過程概述

人造衛(wèi)星的發(fā)射過程要經(jīng)過多次變軌方可到達(dá)預(yù)定軌道.如圖4所示，發(fā)射衛(wèi)星的過程大致有以下幾個步驟：a)為了節(jié)省能量，在赤道上順著地球自轉(zhuǎn)方向發(fā)射衛(wèi)星到圓軌道Ⅰ上；b)在A 處點(diǎn)火加速，由于速度變大，進(jìn)入橢圓軌道Ⅱ；c)在B 處(遠(yuǎn)地點(diǎn))再次點(diǎn)火加速進(jìn)入圓形軌道Ⅲ.

2)衛(wèi)星變軌的實質(zhì)

圖4

4.4 雙星或多星問題

1)雙星模型

如圖5所示，宇宙中有相距較近、質(zhì)量相差不大的兩個天體，它們離其他天體都較遠(yuǎn)，其他天體對它們的萬有引力可以忽略不計.在這種情況下，它們將圍繞其連線上的某一固定點(diǎn)做周期相同的勻速圓周運(yùn)動，通常，我們把這樣的兩個天體稱為“雙星”.

圖5

雙星系統(tǒng)具有以下特點(diǎn)：a)兩星圍繞它們之間連線上的某一點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動，兩星的運(yùn)行周期、角速度相同；b)兩星的向心力大小相等，由二者之間的萬有引力提供；c)兩星的軌道半徑之和等于兩星之間的距離，即r1＋r2＝L，軌道半徑與兩星質(zhì)量成反比.雙星間的萬有引力提供了它們做圓周運(yùn)動的向心力，即有

2)多星系統(tǒng)

在宇宙中存在類似于“雙星”的系統(tǒng)，如“三星”“四星”等多星系統(tǒng)，在多星系統(tǒng)中：a)各個天體做圓周運(yùn)動的周期、角速度相同；b)某一天體做圓周運(yùn)動的向心力是由其他天體對它引力的合力提供的.

5 知識網(wǎng)絡(luò)

萬有引力與宇宙航行的知識網(wǎng)絡(luò)如圖6所示.

圖6