例談高中數(shù)學(xué)中數(shù)列遞推問(wèn)題的處理方法

◇ 安徽 黃振東

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要知識(shí)點(diǎn)，但學(xué)生遇到較為復(fù)雜的遞推問(wèn)題時(shí)，常常不知道如何下手，失分率較高.為避免這一情況的發(fā)生，教學(xué)中應(yīng)注重篩選經(jīng)典的例題，為學(xué)生講解數(shù)列遞推問(wèn)題的處理方法，使學(xué)生掌握相關(guān)的解題技巧，實(shí)現(xiàn)快速解題.

1 新定義遞推問(wèn)題

這類問(wèn)題在高考中經(jīng)常出現(xiàn)，主要考查學(xué)生的分析應(yīng)用能力.解題時(shí)應(yīng)深入理解題干，根據(jù)要求解的問(wèn)題靈活應(yīng)用數(shù)列通項(xiàng)公式的遞推方法.

例1設(shè)數(shù)列｛an｝滿足a1=2，an+1=an+2（n+1），若［x］表示不超過(guò)x 的最大整數(shù)（如［1.6］=1，［-1.6］=-2），則

A.2020 B.2019 C.2018 D.2017

解析

由已知條件an+1=an+2（n+1），可推出an+1-an=2（n+1），又因?yàn)閍1=2，則an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1=2n+2（n-1）+2（n-2）+…+4+2=n（n+1），則因此=2+1+1+…+1=2019，故選B.

2 奇偶項(xiàng)通項(xiàng)公式不同問(wèn)題

高中數(shù)列問(wèn)題中有一部分?jǐn)?shù)列奇偶項(xiàng)的通項(xiàng)公式不同，問(wèn)題難度較大.解答時(shí)需要進(jìn)行分類，找到奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)之間的關(guān)系，再正確求解奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)公式.

例2已知數(shù)列｛an｝的前n 項(xiàng)和Sn滿足Sn-則S100=（ ）.

解析

很多學(xué)生看到該題不知如何下手.事實(shí)上在突破該類問(wèn)題時(shí)仍然需要應(yīng)用所學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，找到奇數(shù)項(xiàng)與偶項(xiàng)數(shù)之間的遞歸關(guān)系.

因?yàn)閿?shù)列｛an｝的前n 項(xiàng)和Sn滿足

當(dāng)n≥2時(shí)，得

①-②得an-（-1）nan+（-1）n-1an-1=2-，所以當(dāng)n 為偶數(shù) 時(shí)即n=102時(shí)，當(dāng)n 為奇數(shù)時(shí)101時(shí)，2a101+a100=，因此，，即S100=a100+200-6+=200，故選B.

3 兩個(gè)數(shù)列問(wèn)題

高中數(shù)列的部分習(xí)題涉及兩個(gè)數(shù)列，解答該類問(wèn)題有時(shí)需要求解出其中一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，有時(shí)則需要找到兩個(gè)數(shù)列之間的關(guān)系.

例3已知數(shù)列｛an｝滿足a1==+3an+1，若，設(shè)數(shù)列｛bn｝的前n 項(xiàng)和為Sn，則使得｜S2019-k｜最小的整數(shù)k 的值為（ ）.

A.0 B.1 C.2 D.3

解析

由an+1=an2+3an+1，可得an+1-an=+2an+1=（an+1）2≥0，故數(shù)列｛an｝為遞增數(shù)列，而an+1+1=+3an+2=（an+1）（an+2），因 此，，則，則

高中數(shù)列遞推問(wèn)題難度較大，教學(xué)中教師應(yīng)注重篩選經(jīng)典例題，為學(xué)生深入細(xì)致地講解，同時(shí)組織學(xué)生開展相關(guān)的訓(xùn)練活動(dòng)，使學(xué)生真正地掌握相關(guān)的解題技巧，提升學(xué)習(xí)能力.