邊界元法幾乎奇異積分計(jì)算方法及其在螺旋槳性能預(yù)報(bào)中的應(yīng)用

管延敏,陳 萍,黃溫赟,陳慶任,劉可峰

(1.江蘇科技大學(xué) 船舶與海洋工程學(xué)院,鎮(zhèn)江 212003) (2.中國(guó)水產(chǎn)科學(xué)研究院漁業(yè)機(jī)械儀器研究所,上海 200092) (3.中國(guó)船級(jí)社 武漢規(guī)范研究所,武漢 430022)

在船舶水動(dòng)力計(jì)算諸多算法中,邊界元法以其計(jì)算簡(jiǎn)便、形式多樣、適應(yīng)性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)得到眾多學(xué)者的認(rèn)可．邊界元法在奇點(diǎn)接近區(qū)域進(jìn)行影響系數(shù)計(jì)算時(shí),高斯積分法存在幾乎奇異積分,易產(chǎn)生誤差,影響數(shù)值模擬精度．許多學(xué)者對(duì)提高邊界元法算法精度的方法展開(kāi)研究．針對(duì)非光滑邊界物體切向誘導(dǎo)速度誤差極大問(wèn)題,文獻(xiàn)[1]中提出了泰勒展開(kāi)邊界元方法;文獻(xiàn)[2]中運(yùn)用雙層插值單元法將邊界積分方程源點(diǎn)布置在單元內(nèi)部,提高邊界元法的算法精度;文獻(xiàn)[3-5]中采用無(wú)奇異邊界元法將流體計(jì)算域表面網(wǎng)格中心上的奇點(diǎn)移至計(jì)算域外部,實(shí)現(xiàn)了算法的無(wú)奇異化．在幾乎奇異積分方面,文獻(xiàn)[6]中對(duì)二維幾乎奇異積分截?cái)嗾`差進(jìn)行了研究;文獻(xiàn)[7]中通過(guò)運(yùn)用極坐標(biāo)變換將奇異積分轉(zhuǎn)化為常規(guī)積分,提出了一種高階邊界元奇異積分的通用高效計(jì)算方法;文獻(xiàn)[8]中通過(guò)引入漸近距離函數(shù)完善了指數(shù)變換,提高了算法精度;文獻(xiàn)[9]中提出一種自適應(yīng)方法計(jì)算聲學(xué)邊界元中的擬奇異積分;文獻(xiàn)[10]中運(yùn)用半解析算法對(duì)三維聲場(chǎng)邊界元法幾乎奇異積分問(wèn)題進(jìn)行了分析研究;文獻(xiàn)[11]中對(duì)三維變系數(shù)熱傳導(dǎo)問(wèn)題邊界元分析中幾乎奇異積分計(jì)算進(jìn)行了研究;文獻(xiàn)[12]中提出了一種彈性邊界元法幾乎奇異積分的半解析算法;文獻(xiàn)[13]中提出了一種用于三維邊界元法幾乎奇異積分計(jì)算的二叉樹(shù)細(xì)分方法．

螺旋槳作為船舶主要推進(jìn)器,精確預(yù)報(bào)其水動(dòng)力性能對(duì)螺旋槳、船舶優(yōu)化設(shè)計(jì)具有重要意義,引起廣大學(xué)者的關(guān)注[14-16]．文中采用一種影響系數(shù)精確積分的方法對(duì)幾乎奇異積分進(jìn)行精確計(jì)算,并將該方法應(yīng)用于定常工況和非定常工況螺旋槳水動(dòng)力性能預(yù)報(bào),有效地解決了螺旋槳槳葉葉梢處幾乎奇異積分問(wèn)題,數(shù)值結(jié)果表明文中采取的方法精確、穩(wěn)定．

1 邊界元數(shù)值方法

1.1 控制方程及邊界條件設(shè)定

定義光滑邊界S包圍的流場(chǎng)區(qū)域V,并假定邊界S由物面SB、尾渦面SW和外邊界面S∞組成,對(duì)于不可壓無(wú)旋流,存在速度勢(shì)φ滿足Laplace方程:

(1)

當(dāng)螺旋槳處于無(wú)限流域中,無(wú)窮遠(yuǎn)處擾動(dòng)速度勢(shì)趨近于消失,邊界S∞可忽略,計(jì)算時(shí)只考慮物面SB和尾渦面SW邊界條件.

(1) 物面上滿足不可穿透邊界條件：

(2)

式中：VI為來(lái)流速度；VA和ω分別為來(lái)流速度矢量和角速度矢量；r是邊界面上點(diǎn)P(x,y,z)的位置矢量；n為物面外法線方向．

(2) 假設(shè)尾渦面無(wú)窮薄,通過(guò)尾渦面法向速度和壓力無(wú)間斷,允許速度勢(shì)有跳躍,尾渦面邊界條件可表示為:

(ΔP)SW=P+-P-=0

(3)

Δφ=φ+-φ-

(4)

式中，上標(biāo)+，-分別代表上下表面.

1.2 基于Green定理的邊界元表述

當(dāng)場(chǎng)點(diǎn)P(x,y,z)位于邊界面S上時(shí),Green定理可以描述為:

(5)

將邊界條件代入式(5),有:

(6)

1.3 邊界積分方程離散

設(shè)槳葉、槳轂共劃分為NK個(gè)單元,尾渦面劃分為NW個(gè)單元,在邊界每個(gè)四邊形單元上布置等強(qiáng)度源匯和偶極子,則螺旋槳表面的每個(gè)單元形心處滿足邊界積分方程,積分方程式(6)可轉(zhuǎn)化為線性方程組：

i=1,2,…,N

(7)

式中：

(8)

(9)

定義h為場(chǎng)點(diǎn)到積分單元的法向距離,式(8)中非對(duì)角線元素影響系數(shù)可以進(jìn)一步寫(xiě)為:

(10)

2 幾乎奇異積分的計(jì)算

由式(9、10)可見(jiàn),當(dāng)r趨向于0時(shí),影響系數(shù)計(jì)算存在幾乎奇異積分．文中采用一種精確積分的方法進(jìn)行幾乎奇異積分計(jì)算.

定義積分單元(圖1)，四邊形P1P2P3P4為積分單元,場(chǎng)點(diǎn)O在平面P1P2P3P4的投射點(diǎn)為O′．以逆時(shí)針為正向,定義有向面積Sp1p2p3p4為：

(11)

(12)

(13)

圖1 積分單元分塊及極坐標(biāo)示意Fig.1 Integral element blocking and polarcoordinate diagram

3 數(shù)值算例

在運(yùn)用邊界元法預(yù)報(bào)螺旋槳水動(dòng)力性能時(shí),螺旋槳槳葉葉梢處奇點(diǎn)接近,存在幾乎奇異積分的問(wèn)題,易導(dǎo)致槳葉壓力分布計(jì)算結(jié)果不準(zhǔn)確、計(jì)算過(guò)程發(fā)散,為了驗(yàn)證上述幾乎奇異積分處理方法的準(zhǔn)確性,文中給出了螺旋槳定常、非定常性能預(yù)報(bào)的數(shù)值算例．

3.1 螺旋槳定常性能預(yù)報(bào)

DTMB4119槳(第19屆ITTC推薦槳)為三葉槳,無(wú)側(cè)斜,無(wú)縱傾,設(shè)計(jì)進(jìn)速系數(shù)J=0.833,網(wǎng)格劃分如圖2．圖3為敞水性能計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)值的比較,可見(jiàn)文中計(jì)算得到的螺旋槳推力系數(shù)KT和扭矩系數(shù)Kg與試驗(yàn)值相吻合,文中方法只進(jìn)行簡(jiǎn)單的剖面粘性系數(shù)修正,在低進(jìn)速時(shí)計(jì)算值與試驗(yàn)值存在較小偏差．圖4給出了J=0.833時(shí)在不同徑向位置r/R=0.3、0.7、0.9處葉背和葉面壓力分布計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)值、Hoshino計(jì)算值的比較,可見(jiàn)文中所選用的幾乎奇異積分處理方法對(duì)定常工況螺旋槳壓力分布的預(yù)報(bào)具有很好的精度,能夠準(zhǔn)確預(yù)報(bào)葉稍區(qū)域壓力分布,只在0.3R剖面處受流場(chǎng)粘性和槳轂形狀選取影響而與試驗(yàn)值有一定的差距，x/C為弦長(zhǎng)的百分比．

圖2 DTMB 4119槳網(wǎng)格劃分Fig.2 Element distribution of DTMB 4119

圖3 DTMB 4119槳敞水性能比較Fig.3 Comparison of the open waterperformance of DTMB 4119

圖4 DTMB 4119槳弦向壓力分布Fig.4 Comparison of chordwise pressure distributionsfor DTMB 4119

3.2 螺旋槳非定常性能預(yù)報(bào)

DTMB4679槳(第22屆ITTC推薦槳)為三葉大側(cè)斜螺旋槳,試驗(yàn)工況J=1.078,網(wǎng)格劃分如圖5．該槳來(lái)流為斜流角為7.5°的純斜流,如表1．圖6為剖面壓力分布平均值計(jì)算值與試驗(yàn)值的比較,一階剖面壓力分布幅值比較如圖7,計(jì)算值與試驗(yàn)值趨勢(shì)一致,結(jié)果相近,可見(jiàn)文中所選用的幾乎奇異積分處理方法適用于非均勻伴流螺旋槳性能預(yù)報(bào)．

圖5 DTMB 4679槳網(wǎng)格劃分Fig.5 Element distribution of DTMB 4679

表1 DTMB4679槳來(lái)流條件Table 1 Onset flows for P4679

圖6 DTMB 4679槳剖面壓力分布平均值Fig.6 Comparison of chordwise mean pressuredistributions at 0.9R for DTMB 4679

圖7 DTMB 4679槳剖面一階壓力分布幅值Fig.7 Comparison of first harmonic amplitude ofpressure for DTMB 4679

4 結(jié)論

(1) 針對(duì)邊界元法在奇點(diǎn)接近區(qū)域存在奇異積分而產(chǎn)生誤差問(wèn)題,通過(guò)將四邊形單元上的積分轉(zhuǎn)換為4個(gè)三角形分別積分再求和的方法對(duì)幾乎奇異積分進(jìn)行計(jì)算,實(shí)現(xiàn)了邊界元法的改進(jìn);

(2) 文中方法計(jì)算得到的螺旋槳推力和扭矩系數(shù)與試驗(yàn)值相吻合,具有良好的計(jì)算精度;

(3) 文中方法能夠準(zhǔn)確預(yù)報(bào)螺旋槳定常、非定常工況槳葉葉稍處的壓力分布,可以有效地解決葉梢處的幾乎奇異積分問(wèn)題．