不確定美式算術(shù)一籃子看漲期權(quán)定價(jià)研究

尹曉芳 封韶波 劉昕鑫

【摘?要】美式一籃子期權(quán)是一個(gè)關(guān)于多個(gè)標(biāo)的資產(chǎn)的投資組合，其收益取決于執(zhí)行時(shí)這些資產(chǎn)的平均價(jià)格或加權(quán)平均價(jià)格。該期權(quán)賦予投資者一個(gè)權(quán)利，同時(shí)這個(gè)權(quán)利是可以放棄的。然而，這個(gè)權(quán)利的獲取需要付出一定的“代價(jià)”，即期權(quán)的價(jià)格。考慮到一籃子期權(quán)的價(jià)格通常要比關(guān)于單一標(biāo)的資產(chǎn)的期權(quán)組合的價(jià)格要便宜，該期權(quán)很快收到了投資者的青睞。因此，文章主要探討了在不確定的金融環(huán)境中美式算術(shù)一籃子看漲期權(quán)的定價(jià)。假設(shè)股票價(jià)格之間是相互獨(dú)立的，并且服從相應(yīng)的不確定微分方程，進(jìn)而推導(dǎo)出美式算術(shù)一籃子看漲期權(quán)的定價(jià)公式，并且通過數(shù)值算例說明期權(quán)定價(jià)公式的可行性。

【關(guān)鍵詞】期權(quán)定價(jià);美式算術(shù)一籃子看漲期權(quán);不確定微分方程;不確定環(huán)境

引言

隨著經(jīng)濟(jì)全球化與市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)地快速發(fā)展，金融衍生品為金融市場(chǎng)的發(fā)展開啟了一個(gè)新的篇章。作為一種金融衍生品，期權(quán)可以更好地發(fā)揮出規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)、提高收益以及套期保值的功能。期權(quán)是一份合約，持有人在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)以敲定價(jià)格購買或銷售一定數(shù)量的原生資產(chǎn)的合同，但是期權(quán)的持有人卻不需要承擔(dān)必須購買或銷售的義務(wù)[1]。由此可以看出，期權(quán)是一個(gè)權(quán)利，并不是必須要去履行的義務(wù)。然而，期權(quán)的獲取并不是白白得到的，需要付出一定的價(jià)格，也就是期權(quán)的價(jià)格。期權(quán)的價(jià)格與買賣雙方的收益息息相關(guān)的，那么為期權(quán)進(jìn)行合理的定價(jià)就顯得至關(guān)重要。

在B-S模型下，Hanbali和Linders[2]通過求解偏微分方程來研究美式一籃子期權(quán)的定價(jià)問題，同時(shí)也使用了有限差分法討論分析了歐式一籃子期權(quán)的定價(jià)。馬琴[3]在該模型下探討了歐式一籃子期權(quán)的定價(jià)問題，同時(shí)也在跳擴(kuò)散模型和分?jǐn)?shù)B-S模型下分析了該期權(quán)的定價(jià)。淡靜怡[4]是在雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)環(huán)境下分析了一籃子期權(quán)的定價(jià)問題。Liang和Xu[5]則是假定標(biāo)的資產(chǎn)服從不同的隨機(jī)波動(dòng)過程進(jìn)而探討了歐式一籃子期權(quán)的定價(jià)問題。此外，在Heston模型下，李方琦[6]則是使用深度學(xué)習(xí)的方法來討論分析歐式一籃子期權(quán)的定價(jià)問題，以此來規(guī)避一籃子期權(quán)的多維度問題。在同一模型下面，張敏等[7]則是探討了關(guān)于兩個(gè)標(biāo)的資產(chǎn)的歐式一籃子看漲期權(quán)的定價(jià)問題。上述模型均是使用概率論的方法，這就要求我們應(yīng)該獲取到大量的樣本數(shù)據(jù)。然而，在現(xiàn)實(shí)當(dāng)中考慮到技術(shù)等眾多實(shí)際方面的因素，也許無法收集到樣本數(shù)據(jù)或收集到的樣本數(shù)據(jù)是不可使用的。比如，市場(chǎng)上剛推出一款新型產(chǎn)品，然而該產(chǎn)品對(duì)于大眾的受歡迎程度則是不確定的，沒有歷史數(shù)據(jù)可供參考。再者，2019年新型冠狀病毒肺炎的迅速傳播，口罩成為一種必不可缺的防護(hù)產(chǎn)品，甚至成為疫情期間的必需品。2020年口罩的需求量明顯要遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于往年的需求量。這對(duì)于研究2020年口罩的需求量是不具有任何參考價(jià)值的。在此情況下，我們需要找到相關(guān)的專家估計(jì)出事件發(fā)生的可能性，即專家信度[8]，以此來預(yù)測(cè)股票價(jià)格的發(fā)展走向。然而，由于人類預(yù)測(cè)的結(jié)果通常較為保守，給出的預(yù)測(cè)結(jié)果總是要比真實(shí)結(jié)果的范圍要大一些[9]。如果我們繼續(xù)使用概率論的方法來處理專家信度，甚至可能會(huì)出現(xiàn)違反人類直覺的結(jié)果[10]。因此，Liu[11]于2007年開創(chuàng)了不確定理論并于2009年進(jìn)一步完善，Liu的不確定理論為解決期權(quán)定價(jià)這一問題開辟了一條全新的思路。

另外，Liu[12]在2009年首次將不確定理論運(yùn)用到金融領(lǐng)域當(dāng)中，假設(shè)股票的價(jià)格服從一個(gè)微分方程，進(jìn)而構(gòu)造出不確定股票模型，并推導(dǎo)出歐式期權(quán)的定價(jià)公式。在此模型下，Gao等[13]假設(shè)股票的價(jià)格服從不確定微分方程討論了4種美式障礙期權(quán)的定價(jià)問題。在不確定均值回歸股票模型下，Tian等[14]探討了四種歐式障礙期權(quán)的定價(jià)問題，同時(shí)也設(shè)計(jì)出算法來計(jì)算期權(quán)的價(jià)格。Gao等[15]則是假設(shè)股票的價(jià)格是一個(gè)帶跳躍的不確定過程，繼而探討了歐式多資產(chǎn)期權(quán)的定價(jià)問題。在不確定多因素股票的模型下，徐建強(qiáng)和彭錦[16]將彩虹期權(quán)的定價(jià)問題分為4種，并推導(dǎo)出相應(yīng)的期權(quán)定價(jià)公式。此外，Huang和Wang[17]在不確定均值—機(jī)會(huì)模型下對(duì)期權(quán)組合投資進(jìn)行了分析。

1 基礎(chǔ)理論

定義1.[11]假設(shè)是非空集合Γ上的σ-代數(shù)，每一個(gè)事件。若集函數(shù)M滿足：

3 結(jié)語

文章主要討論分析了在不確定金融環(huán)境中美式算術(shù)一籃子看漲期權(quán)的定價(jià)的問題。假設(shè)股票價(jià)格之間是相互獨(dú)立的，并且服從對(duì)應(yīng)的不確定微分方程，進(jìn)而推導(dǎo)出美式算術(shù)一籃子看漲期權(quán)的定價(jià)公式。在以后的研究內(nèi)容中，可以探討在不確定金融環(huán)境中其他的美式多資產(chǎn)期權(quán)以及新型期權(quán)的定價(jià)問題。

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作者簡介：

尹曉芳，1995年出生，女，漢族，河北石家莊人，在讀碩士，研究方向：期權(quán)定價(jià);

封韶波，1995年出生，女，漢族，河北邯鄲人，在讀碩士;

劉昕鑫，1993年出生，女，漢族，河北唐山人，在讀碩士。