一種混疊采樣條件下的自適應(yīng)LMS 方法*

劉 寧

（中國西南電子技術(shù)研究所，四川 成都 610036）

0 引言

過去20 年，無線通信在全世界得到了快速迅猛發(fā)展，其中自適應(yīng)信號處理廣泛應(yīng)用于無線通信的中射頻領(lǐng)域，主要包含均衡、功放預(yù)失真、回波對消以及通道均衡等關(guān)鍵技術(shù)。隨著調(diào)制技術(shù)的不斷革新，通信信號的帶寬不斷加寬，對采樣率提出了愈高的要求，現(xiàn)有數(shù)模轉(zhuǎn)換器件已經(jīng)不能滿足信號帶寬的需求。如何在采樣率不足的條件下完成自適應(yīng)的學(xué)習(xí)過程，成為亟待解決的技術(shù)難點。

本文從基本采樣理論著手，分析采樣混疊后信號的特點，算法設(shè)計中合理設(shè)置中頻頻率與采樣率的關(guān)系，推導(dǎo)出了一種在混疊信號中進(jìn)行自適應(yīng)信號誤差計算的方法，通過實驗確認(rèn)了其可靠性和有效性。

1 采樣混疊

圖1 為將連續(xù)時間模擬信號轉(zhuǎn)換到數(shù)字信號的A/D 轉(zhuǎn)換器原理框圖[1]，采樣周期為T。A/D 轉(zhuǎn)換器的等效處理過程如圖2 所示。

圖1 采樣A/D 轉(zhuǎn)換示意

圖2 等效采樣過程

通過傅里葉變換可推導(dǎo)出xs(t)的頻域表示：

考慮xc(t)為一種帶限信號，其最高頻率成分為ΩN，其頻譜如圖3 所示。

圖3 原始連續(xù)時間信號頻譜

顯然，當(dāng)Ωs-ΩN＞ΩN時，Xs(jΩ)頻譜如圖4 所示，原始信號可從采樣后信號中完全重構(gòu)，信號未產(chǎn)生失真。

當(dāng)不滿足奈奎斯特采樣定律時，采樣后信號會產(chǎn)生如圖5 所示的混疊現(xiàn)象，使得無法從采樣后信號重構(gòu)出采樣原始信號，則不能利用混疊后的采樣信號進(jìn)行有效正確的相關(guān)數(shù)字處理[2-3]。

圖4 理想采樣信號頻譜

圖5 混疊采樣信號頻譜

2 算法設(shè)計

2.1 特定采樣率與中頻頻率下的采樣信號

若信號f(t)=A(t)cos(f0t+φt)，帶寬為B，在奈奎斯特采樣定律的保證下進(jìn)行采樣，可以得到其可重構(gòu)的無失真基帶復(fù)信號[4-5]：

考慮如圖6 所示的中頻采樣過程，其中f(t)是待采樣中頻模擬信號，中頻頻率為f0，采樣率為fs。對f(t)=A(t)cos(f0t+φt)直接的等效數(shù)學(xué)表示如下：

圖6 混疊采樣過程

不妨設(shè)置采樣率fs與中頻頻率f0的關(guān)系為，則中頻直接采樣后信號可推導(dǎo)為：

將式（5）展開，可得：

不妨再設(shè)置采樣率fs與中頻頻率f0的關(guān)系為，則中頻直接采樣后信號可推導(dǎo)為：

將式（7）展開，可得：

比較式（6）和式（8）可見，通過設(shè)置不同的采樣率fs與中頻頻率f0的倍數(shù)關(guān)系，可以得到不同混疊程度的采樣信號。正如前面推導(dǎo)，如果合理設(shè)置，那么會得到式（8）的采樣結(jié)果。一般實現(xiàn)中去掉符號的影響，則式（8）可轉(zhuǎn)換為：

滿足奈奎斯特條件下，得到的基帶信號應(yīng)為：

（1）式（9）采樣結(jié)果得到過程中沒有限制采樣率fs和帶寬B的關(guān)系，即在任何帶寬B的條件下，不改變式（9）的結(jié)果；

（2）式（10）采樣結(jié)果得到過程限制了采樣率fs和帶寬B的關(guān)系，即必須滿足奈奎斯特采樣定律。

（3）雖然式（9）得到的采樣結(jié)果產(chǎn)生了混疊，但其采樣信號剛好是式（10）理想采樣基帶信號的正交信號和同相信號的抽樣合并。

顯然，在基于圖6 的采樣結(jié)構(gòu)下，設(shè)置中頻頻率與采樣率的關(guān)系為，這樣采樣過程可以完全不滿足奈奎斯特采樣條件的要求，不限制采樣率fs和帶寬B的關(guān)系，得到的混疊采樣結(jié)果恰好是理想采樣基帶正交信號和同相信號的抽樣合并。

2.2 采樣混疊條件下的自適應(yīng)LMS 算法

對于如圖7 所示的維納濾波過程，橫向濾波器的輸入和期望響應(yīng)都為廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程，且已知其二階統(tǒng)計特性，根據(jù)最小均方誤差準(zhǔn)則求得最優(yōu)濾波器參數(shù)。實現(xiàn)中一般采用迭代LMS 算法進(jìn)行求解。

圖7 維納濾波過程

根據(jù)維納濾波和LMS 算法理論，對其橫向濾波器系數(shù)權(quán)向量的更新數(shù)學(xué)表示為：

實際工程中，為了避免白噪聲的影響，一般對誤差信號求平均后進(jìn)行迭代運算，則e(n)可表示為：

結(jié)合式（13）和式（9）可以在混疊采樣條件下解算出自適應(yīng)LMS 算法的誤差信號e(n)，從而完成迭代運算，完成權(quán)向量的收斂回歸計算。這種方法只需要設(shè)置中頻頻率與采樣率的關(guān)系為，不限制采樣率fs和帶寬B的關(guān)系，特別是在寬帶信號應(yīng)用中，不再對A/D 的采樣率提出高的要求。值得注意的是，由于混疊采樣在同樣時間段內(nèi)獲取的基帶信號不是完整的同相與正交分量，所以可用于計算的誤差數(shù)據(jù)個數(shù)少于理想采樣。例如，采樣的條件下，混疊采樣采用的誤差數(shù)據(jù)是理想采樣的一半，故而混疊采樣的收斂時間是理想采樣的2 倍。

3 仿真及實驗結(jié)果

考慮如圖7 所示的維納濾波過程，期望響應(yīng)為觀測信號經(jīng)過一個2 階橫向濾波器濾波后的輸出，其系數(shù)w1=1，w2=3，分別利用理想采樣后的基帶信號LMS 算法和本文提出的混疊采樣條件下的LMS算法進(jìn)行仿真分析，仿真使用中頻頻率與采樣率的關(guān)系為。

理想采樣及混疊采樣權(quán)向量收斂曲線分別如圖8和圖9 所示，兩者權(quán)向量均收斂到目標(biāo)值w1=1，w2=3。

圖8 理想采樣權(quán)向量收斂曲線

圖9 混疊采樣權(quán)向量收斂曲線

圖10、圖11 分別表征了理想采樣及混疊采樣誤差收斂曲線。

圖10 理想采樣誤差收斂曲線

圖11 混疊采樣誤差收斂曲線

可見，混疊采樣收斂于第2 000 次迭代左右，而理想采樣收斂于第1 000 此迭代左右，收斂時間混疊采樣是理想采樣的2 倍，與理論推導(dǎo)相符。如表1 所示，兩者具備相同的收斂性能，收斂誤差均收斂于同樣的穩(wěn)態(tài)誤差即4.19e-13。

表1 收斂穩(wěn)態(tài)誤差

4 結(jié)語

本文提出的一種采樣混疊條件下的自適應(yīng)LMS算法，合理配置中頻頻率與采樣率的關(guān)系，從采樣已經(jīng)混疊的信號中恢復(fù)出可用于自適應(yīng)計算誤差計算的基帶信號，以收斂時間為代價，利用其進(jìn)行誤差計算更新迭代，并收斂于與理想采樣同樣的穩(wěn)態(tài)誤差，可廣泛應(yīng)用于均衡、數(shù)字預(yù)失真、對消以及通道校準(zhǔn)等廣泛的自適應(yīng)信號處理的應(yīng)用。同時，采樣率的配置與信號帶寬無關(guān)，極大降低了對大帶寬、高速率A/D 轉(zhuǎn)換器的要求，使得其在寬帶信號處理中的應(yīng)用具備巨大的潛力。在后續(xù)研究中，可詳細(xì)分析對不同中頻頻率與采樣率配置，推導(dǎo)出不同配置下的基帶信號，從而優(yōu)選出中頻頻率與采樣率的配置關(guān)系。