一種多元函數(shù)無條件極值的求解方法

馬國棟　賴婷

[摘 要] 數(shù)學(xué)分析和高等數(shù)學(xué)教材中多針對一元和二元函數(shù)的無條件極值進(jìn)行理論和計算的討論，對三元或者三元以上函數(shù)無條件極值判別法的探討甚少，然而實際中很多是關(guān)于三元或者三元以上函數(shù)的無條件極值問題。文章利用多元函數(shù)的Hessian矩陣，來判別和求解多元函數(shù)的無條件極值，所涉及的方法更為直接且易計算。

[關(guān)鍵詞] 多元函數(shù)無條件極值;Hessian矩陣;極值充分條件

[作者簡介] 馬國棟（1983—），男，湖南邵陽人，理學(xué)博士，副教授，研究方向：數(shù)學(xué)學(xué)科教育教學(xué);賴 婷（1998—），女，湖南長沙人，2016級數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)本科生。

[中圖分類號] G642.3? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A? ? [文章編號] 1674-9324（2020）25-0297-02? ? [收稿日期] 2019-11-07

一、引言

高等數(shù)學(xué)是大學(xué)理工科專業(yè)必修的一門基礎(chǔ)課程，函數(shù)極值是一個重要知識點。針對一元函數(shù)可利用一階導(dǎo)數(shù)或二階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)號判斷極值;對于二元函數(shù)可利用二階偏導(dǎo)數(shù)判斷極值，此方法不易直觀理解，且難以證明。參考文獻(xiàn)[1][2]利用Taylor公式證明二元函數(shù)存在極值的充分條件較為復(fù)雜。參考文獻(xiàn)[3]利用全微分概念，推出一種不必計算高階偏導(dǎo)數(shù)的多元函數(shù)極值判別法，減少了計算量。參考文獻(xiàn)[4]根據(jù)多元函數(shù)極值定義，用一元函數(shù)方法給出了二元和三元函數(shù)極值充分條件的證明，只涉及了偏導(dǎo)數(shù)的求法，相對于數(shù)學(xué)分析和高等數(shù)學(xué)教材中多元函數(shù)極值充分條件證明，此文的方法更為直接而且簡明。參考文獻(xiàn)[5]針對全國碩士研究生入學(xué)考試的一道二元函數(shù)極值題目，緊扣函數(shù)極值的定義，利用極限局部保號性，給出了二元函數(shù)極值的嚴(yán)格解法。參考文獻(xiàn)[6]不使用Taylor公式，通過把二元函數(shù)轉(zhuǎn)換成一元函數(shù)，得到了極值充分條件的一個簡單、直接、易于理解的證明方法。

縱觀國內(nèi)研究現(xiàn)狀，針對一元和二元函數(shù)的無條件極值，給予了詳細(xì)的理論和計算的討論，多元函數(shù)極值判別法都在理論方面探討。然而，具體問題中很多是關(guān)于三元或者三元以上函數(shù)的無條件極值問題，本文將利用多元函數(shù)Hessian矩陣導(dǎo)出多元函數(shù)極值的充分條件，進(jìn)而求解多元函數(shù)的無條件極值。

參考文獻(xiàn)

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].北京：高等教育出版社，2001.

[2]同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系.髙等數(shù)學(xué)[M].第六版.北京：高等教育出版社，2010.

[3]王大胄.多元函數(shù)極值的一種判別法[J].高師理科學(xué)刊，2014，34（2）：32-33.

[4]范周田，彭娟，黃秋梅.多元函數(shù)極值充分條件證明的一元方法[J].數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識，2015，45（24）：297-300.

[5]韓淑霞，黃永忠，吳潔.一類二元函數(shù)極值的判別[J].高等數(shù)學(xué)研究，2018，21（2）：53-55.

[6]鄭連偉.一種二元函數(shù)極值存在的充分條件的簡單證明方法[J].科技視界，2018.（14）：183.

Abstract：The current mathematical analysis and advanced mathematics textbooks discuss the theory and calculation of the unconstrained extreme for one element or two elements functions，but there is little discussion on the unconstrained extreme for three or more variables function，and many of the specific problems are about the unconstrained extreme for three or more variables function.Therefore，in this paper，the Hessian matrix of multivariate function is used to identify and solve the unconstrained extreme，and the method involved is simpler and easier.

Key words：unconstrained extreme of multivariate function;Hessian matrix;sufficient condition of extreme value