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    結(jié)構(gòu)化方法下CDS 保費(fèi)和價(jià)格的計(jì)算

    2020-07-18 09:17:04周夢晨姜瀚成馬越紀(jì)尚明峰曹雅婷高雨倩蘇州大學(xué)
    環(huán)球市場 2020年11期
    關(guān)鍵詞:方法模型

    周夢晨 姜瀚成 馬越紀(jì) 尚明峰 曹雅婷 高雨倩 蘇州大學(xué)

    本文在結(jié)構(gòu)化方向下建立CDS 定價(jià)模型,在結(jié)構(gòu)化方法的框架下,違約對(duì)于公司資產(chǎn)來說是一個(gè)可觀測事件。相較于傳統(tǒng)的結(jié)構(gòu)化模型,本章對(duì)于標(biāo)的債券公司的違約邊界構(gòu)造了一個(gè)更客觀、符合中國債券市場實(shí)情的判定方法,公司價(jià)值必須低于界限值并維持一段時(shí)間才會(huì)判定違約。

    在本文中,標(biāo)的債券公司的股票滿足Black-Scholes 公式,且符合幾何布朗運(yùn)動(dòng),在首次到達(dá)時(shí)間模型中,通過對(duì)過程進(jìn)行數(shù)值采取蒙特卡洛模擬的方式刻畫違約時(shí)間。這種方法把違約時(shí)間同公司資產(chǎn)聯(lián)系起來,更具客觀性,并能靈活地應(yīng)用于中國債券市場。本章主要介紹了在結(jié)構(gòu)化框架下對(duì)于違約時(shí)間的刻畫以及利用結(jié)構(gòu)化方法確定CDS保費(fèi)率的數(shù)學(xué)模型。

    一、保費(fèi)率為k

    考慮一份到期日為T的信用違約互換,其參考標(biāo)的是面值L,到期日的可違約零息債券,該CDS 在債務(wù)違約時(shí)刻τ賠付。CDS 的具體執(zhí)行過程是保護(hù)買方在到期日T或者違約前的規(guī)定時(shí)刻支付保費(fèi)kL。

    根據(jù)保護(hù)買方的貼現(xiàn)現(xiàn)金流在風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)測度下期望為0 來構(gòu)造等式移項(xiàng)后得到保費(fèi)率k的計(jì)算公式[1]:

    其中,ru為無風(fēng)險(xiǎn)利率,與時(shí)間u相關(guān)。

    二、違約時(shí)間

    結(jié)構(gòu)化方法下,違約時(shí)間τ對(duì)于參考信息是可觀測事件。在明確公司資產(chǎn)與違約邊界的情況下,相較于約化方法能夠提高違約時(shí)間τ的精度。本節(jié)通過公司資產(chǎn)St及其違約邊界來刻畫違約時(shí)間τ。

    (一)首次到達(dá)時(shí)間模型

    考慮標(biāo)的債券為某公司發(fā)售的零息票債券,這張債券不向持有者支付息票,只在到期日向持有者支付債券面值L,設(shè)公司的資產(chǎn)過程St符合Black-Scholes 定價(jià)方程,且服從幾何布朗運(yùn)動(dòng):

    其中,r為資產(chǎn)流入率,q為資產(chǎn)流出率。σ為公司資產(chǎn)波動(dòng)率,Wt為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng),符合正態(tài)分布。

    通過求解可以得到公司資產(chǎn)的變化過程:

    對(duì)于公司資產(chǎn)波動(dòng)率σ,我們可以用如下公式計(jì)算[2]:

    接下來,我們定義公司資產(chǎn)的違約界限過程b(t):

    其中:c 為給定的界限值,我們選擇c=0.8。下面我們定義違約時(shí)間τ,基于首次到達(dá)模型,違約發(fā)生在債券到期日前的任意時(shí)刻。因此,違約時(shí)間τ可有下面的公式進(jìn)行描述:

    (見圖1)

    (二)到達(dá)-檢驗(yàn)?zāi)P?/h3>

    圖1

    實(shí)際情況中,金融市場會(huì)出現(xiàn)短時(shí)的劇烈震蕩,導(dǎo)致短時(shí)數(shù)據(jù)的失真。例如:2020年的原油寶事件等。此時(shí),公司價(jià)值會(huì)短暫低于界限,但是由于政府的政策支持等原因,這樣的情況僅持續(xù)短時(shí)間,企業(yè)在一定的流動(dòng)性支持下并不會(huì)發(fā)生大規(guī)模違約。為了使違約時(shí)間的刻畫更接近實(shí)際的債券市場,我們認(rèn)為:公司價(jià)值必須低于界限并維持一段時(shí)間才能判定違約。

    新方法下和首次到達(dá)模型對(duì)于相同的一個(gè)資產(chǎn)變化可能會(huì)帶來不同的結(jié)果,對(duì)比圖如圖2:

    圖2

    連續(xù)過程的計(jì)算比較復(fù)雜,采用蒙特卡洛模擬后可以通過觀察方法。但是,對(duì)于大量和復(fù)雜數(shù)據(jù)下的機(jī)器計(jì)算,觀察并不能有效、準(zhǔn)確得出結(jié)論,不同尺度的圖片可能在視覺上會(huì)產(chǎn)生巨大變化,導(dǎo)致主觀判斷錯(cuò)誤的情況。項(xiàng)目組采用離散化的思想給出編程的理論模型。

    步驟一:選擇違約集G中時(shí)刻的最小值作為t0;

    步驟二:選取k=1,2,3…直到滿足:

    步驟三:步驟二中出現(xiàn)符合條件的t0,則其為在二分法下確定的最小違約時(shí)間,如果在步驟一中G已經(jīng)被刪為空集,則認(rèn)為沒有發(fā)生違約,。

    該方法在使用概率論知識(shí)求解時(shí)只需要按照離散化的思想,保證后續(xù)的即可。即對(duì)于違約概率應(yīng)該為上述檢驗(yàn)點(diǎn)處違約概率的乘積,考慮到數(shù)值計(jì)算的精度,建議采用二分法或者等距選點(diǎn)檢驗(yàn)的方法,否則數(shù)據(jù)計(jì)算誤差會(huì)成為計(jì)算的主要誤差。改進(jìn)后的違約時(shí)間模擬如圖3,在資產(chǎn)模擬2 中不再選取第一次到達(dá)的時(shí)間,在資產(chǎn)模擬1 中的短時(shí)間低于界限過程也不再判定為違約情況發(fā)生。

    (三)違約時(shí)間簡化模型

    通過離散化時(shí)間的方式,我們可以發(fā)現(xiàn)并不是所有的違約發(fā)生的同時(shí)可以被發(fā)現(xiàn),只有在部分條件處罰時(shí)才會(huì)吸引人們的注意力,公司會(huì)被發(fā)現(xiàn)違約??紤]如果違約時(shí)間τ在時(shí)間段發(fā)生,那么在時(shí)刻被發(fā)現(xiàn),那么:

    此時(shí)采用蒙特卡洛模擬的方法可以預(yù)測違約時(shí)間τ。但注意:該簡化的方法不能運(yùn)用在上市公司、大型知名企業(yè)的債券違約的分析上,主要是可以運(yùn)用在付息的債券在付息日觸發(fā)違約的情況。當(dāng)時(shí)間段越來越稠密時(shí)結(jié)果收斂于連續(xù)假設(shè)下的違約時(shí)間,模型具備良好的穩(wěn)定性和收斂性。

    三、CDS 定價(jià)

    ·對(duì)于一張無對(duì)手信用風(fēng)險(xiǎn)的CDS 的購買者來說:

    ·在債券到期日T之前以保費(fèi)率支付保費(fèi);

    圖3

    ·當(dāng)CDS 合約到期時(shí),合約結(jié)束。

    那么,這張CDS 的定價(jià)為:

    對(duì)ut進(jìn)行貼現(xiàn),考慮為一個(gè)鞅,運(yùn)用公式,利用dt項(xiàng)為0,可得ut滿足的偏微分方程組:

    這是一個(gè)一維熱傳導(dǎo)方程,可以采用Poisson 公式進(jìn)行求解。在使用Poisson 公式前需要對(duì)方程組中的進(jìn)行線性變換,使得模型變成標(biāo)準(zhǔn)的一維熱傳導(dǎo)方程。熱傳導(dǎo)方程通過傅里葉變換的方法進(jìn)行求解,相關(guān)理論在姜禮尚、陳亞浙等編寫的數(shù)學(xué)物理方程講義[5]中已經(jīng)詳細(xì)論述,這里不做過多介紹。

    四、結(jié)語

    總之,采用微分方程方法求解含有信用風(fēng)險(xiǎn)的金融衍生品的定價(jià)可以分為以下幾個(gè)步驟:①現(xiàn)金流分析,寫出信用衍生品的貼現(xiàn)現(xiàn)金流。②決定相關(guān)信息,對(duì)貼現(xiàn)現(xiàn)金流取條件期望作為該產(chǎn)品的價(jià)格。③對(duì)違約時(shí)間進(jìn)行建模。④計(jì)算條件期望,采用概率論知識(shí)或轉(zhuǎn)化為偏微分方程進(jìn)行求解。

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