結(jié)構(gòu)化方法下CDS 保費(fèi)和價(jià)格的計(jì)算

周夢(mèng)晨 姜瀚成 馬越紀(jì) 尚明峰 曹雅婷 高雨倩 蘇州大學(xué)

本文在結(jié)構(gòu)化方向下建立CDS 定價(jià)模型，在結(jié)構(gòu)化方法的框架下，違約對(duì)于公司資產(chǎn)來(lái)說(shuō)是一個(gè)可觀測(cè)事件。相較于傳統(tǒng)的結(jié)構(gòu)化模型，本章對(duì)于標(biāo)的債券公司的違約邊界構(gòu)造了一個(gè)更客觀、符合中國(guó)債券市場(chǎng)實(shí)情的判定方法，公司價(jià)值必須低于界限值并維持一段時(shí)間才會(huì)判定違約。

在本文中，標(biāo)的債券公司的股票滿足Black-Scholes 公式，且符合幾何布朗運(yùn)動(dòng)，在首次到達(dá)時(shí)間模型中，通過(guò)對(duì)過(guò)程進(jìn)行數(shù)值采取蒙特卡洛模擬的方式刻畫違約時(shí)間。這種方法把違約時(shí)間同公司資產(chǎn)聯(lián)系起來(lái)，更具客觀性，并能靈活地應(yīng)用于中國(guó)債券市場(chǎng)。本章主要介紹了在結(jié)構(gòu)化框架下對(duì)于違約時(shí)間的刻畫以及利用結(jié)構(gòu)化方法確定CDS保費(fèi)率的數(shù)學(xué)模型。

一、保費(fèi)率為k

考慮一份到期日為T的信用違約互換，其參考標(biāo)的是面值L，到期日的可違約零息債券，該CDS 在債務(wù)違約時(shí)刻τ賠付。CDS 的具體執(zhí)行過(guò)程是保護(hù)買方在到期日T或者違約前的規(guī)定時(shí)刻支付保費(fèi)kL。

根據(jù)保護(hù)買方的貼現(xiàn)現(xiàn)金流在風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)測(cè)度下期望為0 來(lái)構(gòu)造等式移項(xiàng)后得到保費(fèi)率k的計(jì)算公式[1]：

其中，ru為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，與時(shí)間u相關(guān)。

二、違約時(shí)間

結(jié)構(gòu)化方法下，違約時(shí)間τ對(duì)于參考信息是可觀測(cè)事件。在明確公司資產(chǎn)與違約邊界的情況下，相較于約化方法能夠提高違約時(shí)間τ的精度。本節(jié)通過(guò)公司資產(chǎn)St及其違約邊界來(lái)刻畫違約時(shí)間τ。

（一）首次到達(dá)時(shí)間模型

考慮標(biāo)的債券為某公司發(fā)售的零息票債券，這張債券不向持有者支付息票，只在到期日向持有者支付債券面值L，設(shè)公司的資產(chǎn)過(guò)程St符合Black-Scholes 定價(jià)方程，且服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)：

其中，r為資產(chǎn)流入率，q為資產(chǎn)流出率。σ為公司資產(chǎn)波動(dòng)率，Wt為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)，符合正態(tài)分布。

通過(guò)求解可以得到公司資產(chǎn)的變化過(guò)程：

對(duì)于公司資產(chǎn)波動(dòng)率σ，我們可以用如下公式計(jì)算[2]：

接下來(lái)，我們定義公司資產(chǎn)的違約界限過(guò)程b(t)：

其中：c 為給定的界限值，我們選擇c=0.8。下面我們定義違約時(shí)間τ，基于首次到達(dá)模型，違約發(fā)生在債券到期日前的任意時(shí)刻。因此，違約時(shí)間τ可有下面的公式進(jìn)行描述：

(見圖1)

（二）到達(dá)-檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?/h3>

圖1

實(shí)際情況中，金融市場(chǎng)會(huì)出現(xiàn)短時(shí)的劇烈震蕩，導(dǎo)致短時(shí)數(shù)據(jù)的失真。例如：2020年的原油寶事件等。此時(shí)，公司價(jià)值會(huì)短暫低于界限，但是由于政府的政策支持等原因，這樣的情況僅持續(xù)短時(shí)間，企業(yè)在一定的流動(dòng)性支持下并不會(huì)發(fā)生大規(guī)模違約。為了使違約時(shí)間的刻畫更接近實(shí)際的債券市場(chǎng)，我們認(rèn)為：公司價(jià)值必須低于界限并維持一段時(shí)間才能判定違約。

新方法下和首次到達(dá)模型對(duì)于相同的一個(gè)資產(chǎn)變化可能會(huì)帶來(lái)不同的結(jié)果，對(duì)比圖如圖2：

圖2

連續(xù)過(guò)程的計(jì)算比較復(fù)雜，采用蒙特卡洛模擬后可以通過(guò)觀察方法。但是，對(duì)于大量和復(fù)雜數(shù)據(jù)下的機(jī)器計(jì)算，觀察并不能有效、準(zhǔn)確得出結(jié)論，不同尺度的圖片可能在視覺上會(huì)產(chǎn)生巨大變化，導(dǎo)致主觀判斷錯(cuò)誤的情況。項(xiàng)目組采用離散化的思想給出編程的理論模型。

步驟一：選擇違約集G中時(shí)刻的最小值作為t0；

步驟二：選取k=1,2,3…直到滿足：

步驟三：步驟二中出現(xiàn)符合條件的t0，則其為在二分法下確定的最小違約時(shí)間，如果在步驟一中G已經(jīng)被刪為空集，則認(rèn)為沒(méi)有發(fā)生違約，。

該方法在使用概率論知識(shí)求解時(shí)只需要按照離散化的思想，保證后續(xù)的即可。即對(duì)于違約概率應(yīng)該為上述檢驗(yàn)點(diǎn)處違約概率的乘積，考慮到數(shù)值計(jì)算的精度，建議采用二分法或者等距選點(diǎn)檢驗(yàn)的方法，否則數(shù)據(jù)計(jì)算誤差會(huì)成為計(jì)算的主要誤差。改進(jìn)后的違約時(shí)間模擬如圖3，在資產(chǎn)模擬2 中不再選取第一次到達(dá)的時(shí)間，在資產(chǎn)模擬1 中的短時(shí)間低于界限過(guò)程也不再判定為違約情況發(fā)生。

（三）違約時(shí)間簡(jiǎn)化模型

通過(guò)離散化時(shí)間的方式，我們可以發(fā)現(xiàn)并不是所有的違約發(fā)生的同時(shí)可以被發(fā)現(xiàn)，只有在部分條件處罰時(shí)才會(huì)吸引人們的注意力，公司會(huì)被發(fā)現(xiàn)違約。考慮如果違約時(shí)間τ在時(shí)間段發(fā)生，那么在時(shí)刻被發(fā)現(xiàn)，那么：

此時(shí)采用蒙特卡洛模擬的方法可以預(yù)測(cè)違約時(shí)間τ。但注意：該簡(jiǎn)化的方法不能運(yùn)用在上市公司、大型知名企業(yè)的債券違約的分析上，主要是可以運(yùn)用在付息的債券在付息日觸發(fā)違約的情況。當(dāng)時(shí)間段越來(lái)越稠密時(shí)結(jié)果收斂于連續(xù)假設(shè)下的違約時(shí)間，模型具備良好的穩(wěn)定性和收斂性。

三、CDS 定價(jià)

·對(duì)于一張無(wú)對(duì)手信用風(fēng)險(xiǎn)的CDS 的購(gòu)買者來(lái)說(shuō)：

·在債券到期日T之前以保費(fèi)率支付保費(fèi)；

圖3

·當(dāng)CDS 合約到期時(shí)，合約結(jié)束。

那么，這張CDS 的定價(jià)為：

對(duì)ut進(jìn)行貼現(xiàn)，考慮為一個(gè)鞅，運(yùn)用公式，利用dt項(xiàng)為0，可得ut滿足的偏微分方程組：

這是一個(gè)一維熱傳導(dǎo)方程，可以采用Poisson 公式進(jìn)行求解。在使用Poisson 公式前需要對(duì)方程組中的進(jìn)行線性變換，使得模型變成標(biāo)準(zhǔn)的一維熱傳導(dǎo)方程。熱傳導(dǎo)方程通過(guò)傅里葉變換的方法進(jìn)行求解，相關(guān)理論在姜禮尚、陳亞浙等編寫的數(shù)學(xué)物理方程講義[5]中已經(jīng)詳細(xì)論述，這里不做過(guò)多介紹。

四、結(jié)語(yǔ)

總之，采用微分方程方法求解含有信用風(fēng)險(xiǎn)的金融衍生品的定價(jià)可以分為以下幾個(gè)步驟：①現(xiàn)金流分析，寫出信用衍生品的貼現(xiàn)現(xiàn)金流。②決定相關(guān)信息，對(duì)貼現(xiàn)現(xiàn)金流取條件期望作為該產(chǎn)品的價(jià)格。③對(duì)違約時(shí)間進(jìn)行建模。④計(jì)算條件期望，采用概率論知識(shí)或轉(zhuǎn)化為偏微分方程進(jìn)行求解。