基于時變擴散系數(shù)的圓柱體煤屑的瓦斯放散規(guī)律研究

蔡銀英，程建圣，程 波

(1.重慶第二師范學院，重慶 400067； 2.中煤科工集團重慶研究院有限公司，重慶 400037)

我國煤層氣(也稱為“瓦斯”)資源豐富，“十三五”期間，在國家相關利好政策的驅(qū)動下，將開啟煤層氣資源開發(fā)利用的新時代。研究瓦斯在煤中的擴散規(guī)律，有助于進一步認識煤層氣運移機理，為煤層氣開發(fā)方案的制訂提供依據(jù)，同時對于研究井下瓦斯含量的測試方法，以及預測煤與瓦斯突出危險性，具有非常重要的現(xiàn)實意義[1]。一般認為，瓦斯以“吸附”和“游離”的形態(tài)賦存于煤體內(nèi)部的孔隙和裂隙通道內(nèi)[2-3]。在煤體原有的“吸附—解吸”的平衡狀態(tài)被打破后，煤孔隙內(nèi)的瓦斯在濃度差的驅(qū)動下，逐漸擴散至煤的裂隙通道內(nèi)[4-9]。在研究煤屑瓦斯放散規(guī)律方面，大多數(shù)學者采用了理論分析并結(jié)合實驗測試的方法，如楊其鑾等[4-5]以菲克擴散定律為基礎，建立了球形煤屑瓦斯擴散的數(shù)學模型，并求取了方程的理論解，為我國學者研究煤屑瓦斯擴散規(guī)律奠定了基礎；此后，何學秋[6]、聶百勝[7]等分析了瓦斯在煤體內(nèi)擴散的微觀機理，并指出瓦斯擴散的模式；聶百勝等[8-9]考慮煤屑界面?zhèn)髻|(zhì)的影響，建立相應的瓦斯擴散數(shù)學模型，求取了解析解；秦躍平[10-11]、王健[12]等通過對達西定律與擴散定律的比較，認為瓦斯在煤屑內(nèi)運移的驅(qū)動力為壓力差；張飛燕[13]、韓穎[14]等建立了球形煤粒的瓦斯擴散方程，并推導了相應的無窮級數(shù)解，測定了煤屑瓦斯在整個解吸期間的擴散過程；楊濤[15]、劉彥偉[16]等開展了溫度與擴散系數(shù)之間關聯(lián)性的研究；李樹剛[17]、趙東[18-19]等采用實驗的方法分別研究了低頻振動、注水對煤體瓦斯解吸特性的影響；劉高峰等[20]分析了氣肥煤、焦煤的孔隙特征，并對CH4/CO2混合氣體在煤體內(nèi)的吸附—解吸特征進行了研究；李小春等[21]研究了有效應力對煤吸附特性的影響，并獲得了考慮有效應力影響的Langmuir方程形式；劉彥偉等[22]研究了軟硬煤粒瓦斯擴散速度、擴散系數(shù)的差異特征隨粒徑的變化規(guī)律，并分析了粒徑對軟硬煤瓦斯擴散行為產(chǎn)生差異性影響的機理；李志強等[23-25]研究指出煤屑瓦斯的擴散系數(shù)為與時間相關的函數(shù)，并通過實驗的方法，獲得了擴散系數(shù)的時變規(guī)律。

綜上所述，國內(nèi)外學者已針對瓦斯在煤屑內(nèi)的流動規(guī)律開展了大量的研究，一般認為瓦斯在煤粒內(nèi)的運移過程服從菲克擴散定律，即擴散速度與濃度梯度成正比。但煤本身也是一種多孔介質(zhì)，在煤體內(nèi)瓦斯含量降低的過程中，煤體自身的孔隙結(jié)構(gòu)也會隨之而發(fā)生改變[26]，李志強等[23-25]研究證實在煤屑放散瓦斯的過程中，其擴散系數(shù)為一個時變量。因而，在進行煤屑瓦斯放散規(guī)律的研究時，將經(jīng)典模型中的擴散系數(shù)設定為時變參數(shù)將更能反映煤屑瓦斯放散的實際情況。并且，當前的研究成果大多將煤屑假設為球形煤粒[4-11,13-16,23-25]，但在研究的過程中，對大量煤樣破碎后的煤屑運用ThunisA688掃描儀觀測發(fā)現(xiàn)，大部分煤屑為圓柱體或長方體，粒徑一般為0.20～0.25 mm，少量煤屑為球形。因此，未考慮時變擴散系數(shù)及煤屑形狀對煤屑瓦斯放散規(guī)律的影響，勢必將導致理論分析與實驗測試結(jié)果的相互驗證出現(xiàn)偏差。同時，由于大多數(shù)煤屑呈圓柱體和長方體狀，且當煤屑粒徑極小時長方體煤屑的外形接近于圓柱體，故研究圓柱體煤屑的瓦斯放散規(guī)律將更接近于實際。

鑒于此，筆者首先對煤屑瓦斯放散過程中擴散系數(shù)的時變特性進行分析，并以此為基礎，建立基于時變擴散特性的圓柱體煤屑的瓦斯擴散方程，利用數(shù)學物理的方法求取方程的解析解，再結(jié)合實驗測試對解析解的準確性進行驗證。

1 煤屑放散瓦斯時變擴散特性的理論分析

瓦斯在煤屑內(nèi)的擴散，其本質(zhì)是瓦斯氣體分子不規(guī)則熱運動的結(jié)果，以濃度差作為驅(qū)動力，使得瓦斯氣體分子自高濃度區(qū)域擴散至低濃度區(qū)域。擴散系數(shù)本質(zhì)是反映瓦斯氣體分子在煤屑內(nèi)運移阻力大小的一個指標。在煤屑放散瓦斯的初期，瓦斯氣體分子沿擴散方向的濃度值存在不連續(xù)平衡勢差，隨著瓦斯氣體分子的運動和碰撞，最終濃度分布會達到較為連續(xù)的穩(wěn)定狀態(tài)。

根據(jù)分子動力學與統(tǒng)計學理論，對瓦斯氣體分子在煤屑內(nèi)的擴散過程進行分析。首先假設煤屑內(nèi)的瓦斯為理想氣體，并且瓦斯氣體分子在煤固體表面上發(fā)生的碰撞為彈性鏡面反射，則瓦斯氣體分子的平均速率為：

(1)

式中：R為氣體狀態(tài)常數(shù)；T為熱力學溫度；M為氣體分子質(zhì)量。

2 圓柱體煤屑放散瓦斯的數(shù)學模型

假設煤屑為半徑R0、高度2h0的均質(zhì)圓柱體。吸附平衡時，煤屑中的瓦斯?jié)舛葹镃0，而后突然卸壓至1個大氣壓，煤屑表面的瓦斯?jié)舛葹镃1。瓦斯自煤屑內(nèi)部向圓柱體的環(huán)形與軸向方向上擴散(如圖1所示)，且擴散系數(shù)與放散時間相關，設時變擴散系數(shù)為Dt。

圖1 圓柱體煤屑放散瓦斯示意圖

圓柱體煤屑放散瓦斯的數(shù)學模型為：

(2)

(3)

設式(3)中CN的解滿足形式：CN=S(r)·H(z)·L(f)，且S(r)、H(z)、L(f)分別僅為r、z、f的函數(shù)。將CN=S(r)·H(z)·L(f)代入到式(3)中可得：

(4)

若式(4)成立，則等號左右兩邊均等于一常數(shù)，設其數(shù)值為-ε2，則可得關于f的解為：

L(f)=A2e-ε2f

(5)

式中A2為積分常數(shù)。

令-μ2使得式(6)成立:

(6)

則有：

H=B1cos(μz)+B2sin(μz)

(7)

式中B1、B2為積分常數(shù)。

將H(z)、L(f)的解代入到CN中可得:

CN=e-ε2f[B3cos(μz)+B4sin(μz)]·S(r)

(8)

式中B3、B4為A2分別與B1、B2的乘積。

將式(3)中的邊界條件代入到式(8)中可得B4=0。故CN為:

CN=e-ε2f·B3cos(μz)·S(r)

(9)

由于式(9)中μ的取值存在無數(shù)多個，故根據(jù)解的線性疊加原理可得：

(10)

式(6)第一個等號右邊的項，可寫為：

(11)

式(11)為典型的零階貝塞爾方程，其通解為：

(12)

當r=0時，式(12)中的第二類零階貝塞爾函數(shù)的取值將趨于負無窮大，因而CN也將趨于負無窮大。這勢必與實際的初始邊界條件相悖，因而積分常數(shù)N2的取值應為0。故CN為：

(13)

同樣根據(jù)解的線性疊加原理可得：

(14)

將式(3)中的初始條件代入到式(14)中可得：

(15)

對式(15)進行積分處理，可得：

B3n·N1m=(C0-C1)·

(16)

將式(16)代入到式(14)中即為放散過程中圓柱體煤屑內(nèi)瓦斯?jié)舛鹊姆植际?。將煤屑的半徑、高度代入到濃度分布式的解析解中，即可獲得不同時間所對應的瓦斯放散量。

3 實驗驗證

實驗所采用的煤樣取自河南焦煤能源演馬莊煤礦27131工作面，煤樣的灰分為17.52%，揮發(fā)分為8.74%，真密度為1.65 g/cm3，視密度為1.57 g/cm3，極限吸附瓦斯量為43.685 1 cm3/g，瓦斯吸附常數(shù)b為 1.647 1 MPa-1。經(jīng)破碎、篩分后，選用粒徑為0.20～0.25 mm的煤屑，質(zhì)量為20.003 g。應用MATLAB軟件的統(tǒng)計繪圖函數(shù)Wblplot進行威布爾分布檢驗后，采用矩估計法和經(jīng)驗方法對威布爾分布的相關參數(shù)進行求解，得到煤屑的穩(wěn)定形狀是直徑為 0.18 mm、長為 0.24 mm 的圓柱。本次實驗煤樣的吸附平衡壓力為0.83 MPa，實驗溫度為30 ℃，實驗測定方法與文獻[22-25]相同。擴散系數(shù)的求取與球形煤屑瓦斯擴散系數(shù)的計算方法類似，不同之處在于首先假定圓柱體煤屑的擴散系數(shù)為一定值，利用獲得的濃度分布解與極限瓦斯放散量即可完成對實驗煤樣瓦斯擴散系數(shù)的計算。實驗結(jié)果如圖2所示。

圖2 不同時間煤樣的瓦斯放散量與擴散系數(shù)

由圖2可知，隨著放散時間的延長，煤樣的瓦斯擴散系數(shù)呈現(xiàn)衰減的特征，這與前人的研究成果一致。通過對不同時間擴散系數(shù)的擬合，發(fā)現(xiàn)二者極好地服從函數(shù)：

D(t)=D0exp(φt)

(17)

式中：D0為初始擴散系數(shù)，其值為8.76×10-9m2/s；φ為衰減系數(shù)，其值為-1.012×10-3s-1。

式(17)與李志強等[24-25]所提出的動擴散系數(shù)形式一致。應用式(17)所表征的時變擴散系數(shù)進一步對球形煤屑瓦斯放散規(guī)律進行檢驗對比，對比的球形煤屑的尺寸為直徑0.20 mm和0.25 mm，結(jié)果如圖3所示。

圖3 圓柱體與球形煤屑放散曲線對比

由圖3可知，基于直徑0.20 mm和0.25 mm的球形煤粒的計算擴散系數(shù)與圓柱體煤屑的計算擴散系數(shù)變化特征相同，但具體數(shù)值不同，直徑 0.20 mm 球形煤粒的計算擴散系數(shù)最大，圓柱體煤屑計算擴散系數(shù)次之。且采用球形煤粒的計算放散量與實際煤粒放散量誤差較大，而應用基于時變擴散系數(shù)的圓柱體煤屑瓦斯擴散的數(shù)學模型計算值與實際較為吻合。這表明，煤屑形狀的選取對于計算瓦斯擴散系數(shù)的影響較大，煤的物性參數(shù)對于其破碎、篩分后的粒度、形狀影響較大，在研究煤屑瓦斯放散規(guī)律時，應針對煤屑的形狀進行嚴格劃分，以便使理論研究成果更接近于實際，有利于進一步厘清瓦斯擴散機理。這對于研究煤層瓦斯含量的井下快速測定、煤與瓦斯突出危險性預測指標具有極為重要的現(xiàn)實意義。

4 結(jié)論

1)對破碎煤屑形狀進行觀測，發(fā)現(xiàn)大多數(shù)煤屑呈現(xiàn)圓柱或長方體，且當粒徑極小時長方體煤屑的外形接近于圓柱體，故研究圓柱體煤屑的瓦斯放散規(guī)律將更接近于實際。

2)建立了基于時變擴散系數(shù)的圓柱體煤屑瓦斯擴散的數(shù)學模型，采用數(shù)學物理的方法，求取了相應的解析解，可用于對試驗數(shù)據(jù)的擬合，以及為井下瓦斯含量測定方法的研究提供理論依據(jù)。

3)通過實驗室實驗對獲得的解析解進行了驗證，結(jié)果表明：基于時變擴散系數(shù)的圓柱體煤屑瓦斯擴散的數(shù)學模型較球形煤屑更接近于實際。因此，在研究煤屑的瓦斯放散規(guī)律時，應根據(jù)破碎煤屑的大體形態(tài)對數(shù)學模型進行合理的選取，有助于進一步揭示煤屑瓦斯放散的機理。