一種基于任務(wù)分區(qū)的軌道轉(zhuǎn)移飛行器軌跡重規(guī)劃方法

馬昊磊 陳 攀 徐 帆 李學(xué)鋒

1.北京航天自動(dòng)控制研究所，北京 100854 2.宇航智能控制技術(shù)國(guó)家級(jí)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100854 3.西昌衛(wèi)星發(fā)射中心，西昌 615000

0 引言

軌道轉(zhuǎn)移飛行器又稱(chēng)為上面級(jí)火箭，是一種由運(yùn)載火箭基礎(chǔ)級(jí)發(fā)射送入近地軌道后，通過(guò)多次變軌將有效載荷送入預(yù)定工作軌道的獨(dú)立飛行器。我國(guó)自主研發(fā)的“遠(yuǎn)征”系列軌道轉(zhuǎn)移飛行器已完成包括北斗導(dǎo)航系統(tǒng)組網(wǎng)在內(nèi)的多次飛行任務(wù)[1]。面對(duì)未來(lái)航天任務(wù)多元化的發(fā)展趨勢(shì)，軌道轉(zhuǎn)移飛行器必須具備對(duì)故障的自主處理能力。當(dāng)任務(wù)過(guò)程中出現(xiàn)飛行偏差時(shí)，軌道轉(zhuǎn)移飛行器通過(guò)軌跡重規(guī)劃設(shè)計(jì)，實(shí)時(shí)評(píng)估剩余入軌與控制能力，動(dòng)態(tài)處理飛行過(guò)程約束，實(shí)現(xiàn)在線重規(guī)劃問(wèn)題求解，從而最大限度地提高飛行任務(wù)的可靠性。

通常情況下，軌道轉(zhuǎn)移飛行器的發(fā)動(dòng)機(jī)推力大小不可調(diào)節(jié)，重規(guī)劃問(wèn)題主要對(duì)發(fā)動(dòng)機(jī)工作時(shí)間與推力方向進(jìn)行優(yōu)化求解。近年來(lái)，軌跡重規(guī)劃問(wèn)題多選用較為復(fù)雜的三維運(yùn)動(dòng)模型，優(yōu)化算法需要考慮多路徑約束與多終端約束[2]，并設(shè)法解決實(shí)時(shí)性問(wèn)題?，F(xiàn)代計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，使得基于數(shù)值方法的軌跡規(guī)劃問(wèn)題快速求解[3]成為可能。采用凸規(guī)劃的方法可以有效降低求解問(wèn)題的復(fù)雜度，能夠在保證精度[4]的前提下實(shí)現(xiàn)快速規(guī)劃[5-6]。本文設(shè)計(jì)了一種任務(wù)分區(qū)方案，重構(gòu)了優(yōu)化問(wèn)題的約束條件與性能指標(biāo)，采用序列凸規(guī)劃[7]完成了不同情況下的優(yōu)化問(wèn)題求解，重新規(guī)劃出滿足條件的飛行軌跡。如果飛行故障或偏差較大導(dǎo)致無(wú)法進(jìn)入目標(biāo)軌道，則通過(guò)任務(wù)降級(jí)進(jìn)入次優(yōu)軌道。

1 問(wèn)題描述與軌道參數(shù)

軌道轉(zhuǎn)移飛行器的軌跡重規(guī)劃問(wèn)題可以轉(zhuǎn)換為非線性系統(tǒng)的最優(yōu)控制問(wèn)題，包括性能指標(biāo)、狀態(tài)方程、約束條件(等式約束與不等式約束)三部分。最優(yōu)控制問(wèn)題要求在滿足狀態(tài)方程和約束條件下，使得性能指標(biāo)達(dá)到極小值，標(biāo)準(zhǔn)形式可以寫(xiě)為

(1)

其中，E[x(t),u(t),t]為等式約束條件，I[x(t),u(t),t]為不等式約束條件。

在地心慣性坐標(biāo)系OE-XEYEZE中描述飛行器的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程，原點(diǎn)OE位于地球質(zhì)心，OEXE在地球赤道平面內(nèi)指向春分點(diǎn)，OEXEYE平面為赤道平面，OEZE為地球自轉(zhuǎn)軸，指向北極。軌道轉(zhuǎn)移飛行器高空飛行時(shí)可以忽略空氣動(dòng)力的影響，根據(jù)牛頓第二定律，在地心慣性坐標(biāo)系中建立飛行器的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)方程

(2)

優(yōu)化過(guò)程中的約束條件主要包括端點(diǎn)約束、控制約束以及過(guò)程約束。初始端點(diǎn)約束為

x(t0)=x0∈R7

(3)

其中，x0=[r0T,v0T,m0]T為飛行器軌跡重規(guī)劃的初始狀態(tài)。在飛行結(jié)束時(shí)需要到達(dá)某一個(gè)給定的目標(biāo)狀態(tài)，終端的目標(biāo)軌道約束為

r(tf)=rf∈R3,v(tf)=vf∈R3

(4)

其中，rf和vf分別是目標(biāo)軌道的位移矢量與速度矢量。飛行器在中心引力場(chǎng)軌道上無(wú)動(dòng)力運(yùn)行時(shí)，存在保持不變的特征軌道參數(shù)，可以由此描述目標(biāo)軌道的約束條件。綜合二體運(yùn)動(dòng)方程與矢量微分法則，可得飛行器在目標(biāo)軌道上無(wú)動(dòng)力運(yùn)行時(shí)的動(dòng)量矩[8]，即優(yōu)化問(wèn)題的終端動(dòng)量矩約束

(5)

其中，i表示目標(biāo)軌道的軌道傾角，Ω表示目標(biāo)軌道的升交點(diǎn)赤經(jīng)。

將二體運(yùn)動(dòng)方程與動(dòng)量矩H進(jìn)行叉乘運(yùn)算可得

(6)

根據(jù)矢量三重叉乘法則可得

r×H=r×(r×v)=(r·v)r-
(r·r)v=rvr-r2v

(7)

將式(7)代入式(6)可得

(8)

對(duì)式(8)求積分可得

(9)

式中c為積分常矢量，由此可得飛行器在目標(biāo)軌道上運(yùn)行時(shí)的軌道常矢量

(10)

在圓軌道上運(yùn)行時(shí)，目標(biāo)軌道常矢量為0。

飛行器在目標(biāo)軌道無(wú)動(dòng)力運(yùn)行時(shí)的能量可以表示為

(11)

其中，a表示目標(biāo)軌道的半長(zhǎng)軸(圓軌道為目標(biāo)軌道半徑)。當(dāng)在圓軌道上運(yùn)行時(shí)，其能量方程滿足

r(tf)[v(tf)]2=μ

(12)

2 軌跡重規(guī)劃設(shè)計(jì)

2.1 任務(wù)分區(qū)

當(dāng)飛行過(guò)程中出現(xiàn)異常狀況時(shí)，需要根據(jù)當(dāng)前時(shí)刻的飛行狀態(tài)對(duì)軌跡進(jìn)行預(yù)判，通過(guò)任務(wù)決策規(guī)劃確定下一步的行動(dòng)目標(biāo)。采用任務(wù)分區(qū)的方法，考慮飛行過(guò)程中軌道傾角偏差、遠(yuǎn)地點(diǎn)高度偏差等因素，根據(jù)偏差范圍對(duì)任務(wù)決策進(jìn)行分類(lèi)。以判斷軌道傾角與遠(yuǎn)地點(diǎn)高度偏差為例，在出現(xiàn)飛行偏差時(shí)的任務(wù)決策分區(qū)如圖1所示。

圖1 飛行異常狀況下的任務(wù)分區(qū)

當(dāng)軌道傾角與遠(yuǎn)地點(diǎn)高度偏差較小時(shí)，飛行器通過(guò)自適應(yīng)調(diào)整或重新規(guī)劃軌跡可以將載荷送入目標(biāo)軌道。當(dāng)超出臨界范圍，飛行器無(wú)法直接通過(guò)軌跡重規(guī)劃將載荷送入目標(biāo)軌道，此時(shí)需要分析飛行任務(wù)的可達(dá)邊界范圍，采用任務(wù)降級(jí)方案規(guī)劃出次優(yōu)軌道(救援軌道)。任務(wù)決策分類(lèi)見(jiàn)表1。

表1 飛行異常狀況下的任務(wù)決策分類(lèi)

任務(wù)分區(qū)需要綜合利用飛行器信息確定偏差范圍，根據(jù)飛行狀態(tài)確定任務(wù)決策，生成相應(yīng)的制導(dǎo)和控制諸元。飛行器可以采取自適應(yīng)調(diào)整入軌、軌跡重規(guī)劃入軌、任務(wù)降級(jí)重規(guī)劃等不同的任務(wù)策略。

當(dāng)存在小范圍飛行偏差時(shí)(I區(qū))，飛行器不需要重規(guī)劃設(shè)計(jì)，采用原有的制導(dǎo)和控制指令就可以將載荷送入目標(biāo)軌道。

當(dāng)超出總體給定的偏差，但超出偏差范圍不大時(shí)(II區(qū))，采用軌跡重規(guī)劃設(shè)計(jì)，綜合考慮飛行器的實(shí)時(shí)狀態(tài)與任務(wù)約束條件，通過(guò)快速規(guī)劃算法得到滿足終端任務(wù)要求的轉(zhuǎn)移軌道，將載荷送入目標(biāo)軌道。重規(guī)劃過(guò)程中先得到優(yōu)化問(wèn)題的收斂解，進(jìn)而通過(guò)改進(jìn)優(yōu)化算法獲得更高精度的優(yōu)化解。

當(dāng)飛行超出的偏差范圍過(guò)大時(shí)，載荷不能進(jìn)入目標(biāo)軌道。在尚未造成致命性故障時(shí)(III區(qū))，飛行器采用任務(wù)降級(jí)重規(guī)劃策略將載荷送入次優(yōu)軌道。降級(jí)軌道任務(wù)設(shè)計(jì)需要考慮飛行任務(wù)的特點(diǎn)和需求，分析飛行器在給定初始狀態(tài)和能量約束條件下能夠到達(dá)的空間集合。任務(wù)降級(jí)策略可以根據(jù)任務(wù)需求、后續(xù)調(diào)整難度、可實(shí)現(xiàn)性等因素，在可達(dá)范圍內(nèi)選擇合適的性能指標(biāo)與終端約束條件。任務(wù)降級(jí)軌道的選取應(yīng)盡可能保證靠近原目標(biāo)軌道，在軌跡規(guī)劃設(shè)計(jì)中執(zhí)行這一策略，令終端狀態(tài)與目標(biāo)點(diǎn)狀態(tài)以等比例形式靠近。目標(biāo)圓軌道選取最大半徑作為性能指標(biāo)可以在一定程度上保證與原目標(biāo)軌道盡可能小的轉(zhuǎn)移范圍，以便于航天器后續(xù)的軌道機(jī)動(dòng)調(diào)整。

2.2 優(yōu)化問(wèn)題求解

最優(yōu)控制問(wèn)題以有限推力作用下的質(zhì)心運(yùn)動(dòng)模型作為狀態(tài)方程，求解最優(yōu)的發(fā)動(dòng)機(jī)工作時(shí)間與推力矢量方向，在滿足運(yùn)動(dòng)狀態(tài)方程與約束條件下求解最優(yōu)性能指標(biāo)。航天器入軌任務(wù)中，由于圓軌道相位調(diào)整較為方便，目前絕大部分載荷的入軌目標(biāo)軌道都是采用圓軌道[9]。以圓軌道作為目標(biāo)軌道完成軌跡重規(guī)劃問(wèn)題描述。圓軌道上的位移矢量與速度矢量相互垂直，因此有

rT(tf)v(tf)=0

(13)

在線軌跡重規(guī)劃任務(wù)II區(qū)的終端約束為滿足任務(wù)需求的圓軌道，即

r(tf)=rset

(14)

其中rset為設(shè)定的滿足任務(wù)需求的軌道半徑大小。

采用序列凸規(guī)劃完成優(yōu)化問(wèn)題實(shí)時(shí)在線求解，其核心思想是將原始問(wèn)題轉(zhuǎn)化為具有線性性能指標(biāo)、等式約束、不等式約束及控制邊界約束松弛的標(biāo)準(zhǔn)凸規(guī)劃問(wèn)題，通過(guò)不斷迭代更新求解近似后的凸規(guī)劃問(wèn)題，以此逼近原問(wèn)題的局部最優(yōu)解[10]?；谛蛄型挂?guī)劃的軌跡快速優(yōu)化方法，可以將多約束下的軌跡優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一系列有限時(shí)間內(nèi)的凸規(guī)劃問(wèn)題，利用凸規(guī)劃工具[11]進(jìn)行快速尋優(yōu)，得到最優(yōu)飛行軌跡，保證在高精度的前提下，快速實(shí)施軌跡優(yōu)化。凸規(guī)劃求解需要處理模型中的非凸因素。

由于發(fā)動(dòng)機(jī)推力為非凸約束，無(wú)法采用凸規(guī)劃方法求解。另外，動(dòng)力學(xué)方程中存在不易于凸規(guī)劃求解的狀態(tài)方程，因此也要進(jìn)行一定的處理，將其轉(zhuǎn)化為易于求解的形式。飛行器的推力加速度為

(15)

推力加速度的幅值為

(16)

采用變量代換設(shè)計(jì)，令

z(t)=ln[m(t)]

(17)

選擇飛行器的位移、速度、質(zhì)量變換量作為狀態(tài)變量x=[rx,ry,rz,vx,vy,vz,z]T，推力加速度的分量與幅值作為控制變量u=[aTx,aTy,aTz,w]T，運(yùn)動(dòng)狀態(tài)方程(2)可以轉(zhuǎn)換為

(18)

在軌跡重規(guī)劃問(wèn)題中，通常發(fā)動(dòng)機(jī)的推力大小不可調(diào)節(jié)。推力加速度的幅值約束可以表示為

(19)

對(duì)Tconste-z(t)關(guān)于z0(t)進(jìn)行Taylor展開(kāi)并保留線性項(xiàng)可得

0≤w(t)≤Tconste-z(t)[1-z(t)+z0(t)]

(20)

式(20)滿足二階錐約束，可以使用凸規(guī)劃方法快速求解。由于飛行器的終端質(zhì)量具有下限mlow，因此有

z(tf)≥ln(mlow)

(21)

為了提高序列凸規(guī)劃求解的迭代速度與收斂性，在控制變量約束中引入迭代過(guò)程變量VI。結(jié)合罰函數(shù)法的優(yōu)化思想，在性能指標(biāo)函數(shù)中加入迭代過(guò)程變量的懲罰系數(shù)，從而保證迭代求解結(jié)束時(shí)的過(guò)程變量為0。在軌跡自主規(guī)劃設(shè)計(jì)中執(zhí)行這一策略，在飛行異常狀態(tài)處于任務(wù)II區(qū)時(shí)，選取燃料消耗最少(即終端狀態(tài)質(zhì)量最大)作為重規(guī)劃入軌的性能指標(biāo)函數(shù)。根據(jù)最優(yōu)控制理論對(duì)這一問(wèn)題進(jìn)行求解，構(gòu)造最優(yōu)控制問(wèn)題。

(22)

其中狀態(tài)方程可由式(18)確定，等式約束由中心引力場(chǎng)特征軌道參數(shù)及目標(biāo)圓軌道幾何特性確定。

在飛行異常狀態(tài)處于任務(wù)III區(qū)時(shí)，構(gòu)造任務(wù)降級(jí)軌道，選取終端狀態(tài)軌道半徑最大作為重規(guī)劃入軌的性能指標(biāo)函數(shù)。即移除式(22)中的目標(biāo)軌道半徑rset約束，并將式(22)中的性能指標(biāo)函數(shù)調(diào)整為

minJ=-r(tf)+ηVI(tf)

(23)

根據(jù)上述最優(yōu)控制問(wèn)題描述，對(duì)性能指標(biāo)、狀態(tài)方程與約束條件進(jìn)行離散化、歸一化處理，選用初始狀態(tài)量作為序列凸規(guī)劃的迭代初值，采用原始-對(duì)偶內(nèi)點(diǎn)法[12]完成軌跡重規(guī)劃問(wèn)題求解。

3 仿真分析

以軌道轉(zhuǎn)移飛行器入軌任務(wù)為例，當(dāng)飛行過(guò)程中出現(xiàn)異常偏差時(shí)，采用軌跡重規(guī)劃方案確定任務(wù)目標(biāo)軌道的約束條件，并采取相應(yīng)的執(zhí)行策略。當(dāng)飛行偏差較小，處于任務(wù)I區(qū)時(shí)，軌道轉(zhuǎn)移飛行器可以通過(guò)自適應(yīng)調(diào)整實(shí)現(xiàn)入軌，調(diào)整后的飛行控制諸元保持不變，此時(shí)無(wú)需重新規(guī)劃飛行軌跡。因此主要考慮飛行偏差處于II區(qū)和III區(qū)情況下的重規(guī)劃方案。

3.1 仿真案例1

軌道轉(zhuǎn)移飛行器的發(fā)動(dòng)機(jī)參數(shù)為：總質(zhì)量10600kg，燃料質(zhì)量5600kg，真空推力13000N。

選取軌道轉(zhuǎn)移飛行器第1次點(diǎn)火作為問(wèn)題的初始狀態(tài)點(diǎn)。當(dāng)t=0s時(shí)，飛行器由于故障導(dǎo)致推力出現(xiàn)偏差，無(wú)法按照原定計(jì)劃完成任務(wù)。假設(shè)推力偏差情況下發(fā)動(dòng)機(jī)仍能正常關(guān)機(jī)與二次點(diǎn)火，且發(fā)動(dòng)機(jī)比沖保持不變，剩余燃料能夠充分燃燒。依據(jù)飛行器的入軌能力評(píng)估，重新規(guī)劃任務(wù)軌跡(任務(wù)II區(qū))，結(jié)合當(dāng)前的剩余燃料和目標(biāo)軌道根數(shù)要求，考慮飛行約束情況，通過(guò)軌跡重規(guī)劃實(shí)現(xiàn)飛行任務(wù)，如圖2所示。

圖2 軌跡重規(guī)劃入軌-任務(wù)II區(qū)

軌道轉(zhuǎn)移飛行器的重規(guī)劃轉(zhuǎn)移軌道與原任務(wù)轉(zhuǎn)移軌道半長(zhǎng)軸、推力加速度、飛行速度對(duì)比如圖3～5所示，其中虛線為原轉(zhuǎn)移軌道的變化情況，實(shí)線為重規(guī)劃轉(zhuǎn)移軌道的變化情況。

圖3 任務(wù)II區(qū)重規(guī)劃-半長(zhǎng)軸對(duì)比

圖4 任務(wù)II區(qū)重規(guī)劃-推力加速度對(duì)比

圖5 任務(wù)II區(qū)重規(guī)劃-飛行速度對(duì)比

仿真案例1采用軌跡重規(guī)劃設(shè)計(jì)，軌道轉(zhuǎn)移飛行器能夠在到達(dá)原定的任務(wù)目標(biāo)軌道，終端軌道參數(shù)為：半長(zhǎng)軸44971.0km，偏心率0，軌道傾角10.6°，升交點(diǎn)赤經(jīng)21.2°。

3.2 仿真案例2

選取與仿真案例1相同的飛行器參數(shù)。當(dāng)二次點(diǎn)火飛行偏差較大時(shí)，飛行器無(wú)法到達(dá)目標(biāo)軌道。若第2次點(diǎn)火時(shí)，飛行器的遠(yuǎn)地點(diǎn)高度偏差為500km，軌道傾角偏差為1°，考慮飛行約束情況，采取任務(wù)降級(jí)入軌模式(任務(wù)III區(qū))。通過(guò)軌跡重規(guī)劃實(shí)現(xiàn)降級(jí)入軌，如圖6所示。

圖6 軌跡重規(guī)劃任務(wù)降級(jí)-任務(wù)III區(qū)

軌道轉(zhuǎn)移飛行器的降級(jí)規(guī)劃轉(zhuǎn)移軌道與原任務(wù)轉(zhuǎn)移軌道半長(zhǎng)軸、軌道傾角、推力加速度、飛行速度對(duì)比如圖7～10所示，其中虛線為原轉(zhuǎn)移軌道的變化情況，實(shí)線為重規(guī)劃轉(zhuǎn)移軌道的變化情況。

圖7 任務(wù)III區(qū)重規(guī)劃-半長(zhǎng)軸對(duì)比

圖8 任務(wù)III區(qū)重規(guī)劃-軌道傾角對(duì)比

圖9 任務(wù)III區(qū)重規(guī)劃-推力加速度對(duì)比

圖10 任務(wù)III區(qū)重規(guī)劃-飛行速度對(duì)比

仿真案例2對(duì)原定目標(biāo)軌道進(jìn)行了任務(wù)降級(jí)，并重新規(guī)劃了入軌飛行軌跡。軌道轉(zhuǎn)移飛行器能夠到達(dá)與原目標(biāo)軌道共面的次優(yōu)軌道，終端軌道參數(shù)為：半長(zhǎng)軸44563.4km，偏心率0，軌道傾角10.6°，升交點(diǎn)赤經(jīng)21.2°。

4 結(jié)論

針對(duì)軌道轉(zhuǎn)移飛行器的異常偏差問(wèn)題，提出了一種基于任務(wù)分區(qū)的軌跡重規(guī)劃方法。將軌跡重規(guī)劃問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最優(yōu)控制問(wèn)題。根據(jù)軌道傾角與遠(yuǎn)地點(diǎn)高度偏差，確定不同情況下的任務(wù)策略與目標(biāo)軌道參數(shù)，構(gòu)造相應(yīng)的性能指標(biāo)與約束條件。采用序列凸規(guī)劃實(shí)現(xiàn)入軌軌跡的快速重構(gòu)，實(shí)現(xiàn)了不同偏差狀況時(shí)的軌跡重規(guī)劃設(shè)計(jì)。以航天發(fā)射中常用的圓形目標(biāo)軌道任務(wù)為例，當(dāng)偏差較小時(shí)，采用自適應(yīng)調(diào)整或軌跡重規(guī)劃設(shè)計(jì)可以保證飛行器順利進(jìn)入原目標(biāo)軌道；當(dāng)偏差較大時(shí)，采用任務(wù)降級(jí)重規(guī)劃設(shè)計(jì)，盡可能保證飛行器進(jìn)入與原目標(biāo)軌道共面的次優(yōu)軌道。仿真結(jié)果表明本文提出的方法能夠適應(yīng)不同的飛行異常狀況，快速規(guī)劃出滿足任務(wù)要求的入軌軌跡，實(shí)現(xiàn)可達(dá)任務(wù)剖面的最大化。