馬科維茨均值-方差理論在能源期貨投資組合優(yōu)化中的運(yùn)用

王一凡

(湖南師范大學(xué)商學(xué)院，湖南 長沙 410012)

0 引 言

能源是現(xiàn)代社會發(fā)展的血液，經(jīng)濟(jì)建設(shè)、社會生活與文化發(fā)展都與能源息息相關(guān)。能源的使用滲透在社會生活的方方面面，如交通運(yùn)輸業(yè)、建筑業(yè)、制造業(yè)、旅游業(yè)等。而能源交易一般集中于期貨交易，如美國的NYMEX原油期貨。世界著名的能源期貨交易所有紐約期貨交易所、倫敦國際石油交易所等。由于期貨交易所的存在，投資者也可進(jìn)入能源市場進(jìn)行投資獲利，同時(shí)，投資者的進(jìn)入與杠桿交易的特點(diǎn)導(dǎo)致了大量的投機(jī)行為并且被杠桿進(jìn)一步放大，導(dǎo)致能源期貨交易的波動巨大，稍有不慎便面臨巨大的風(fēng)險(xiǎn)。

2020年4月21日，五月到期的WTI原油期貨跌至負(fù)數(shù)，空方的投機(jī)行為使原油期貨價(jià)格跌落至負(fù)數(shù)，為多方帶來了巨大損失。如果運(yùn)用馬科維茨的投資組合理論對原油期貨產(chǎn)品進(jìn)行分散化投資，利用歷史數(shù)據(jù)計(jì)算出最佳投資策略，可以使投資者有效規(guī)避這種投機(jī)行為帶來的非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)，實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定收益。

馬科維茨于1952年提出均值-方差組合理論。他認(rèn)為，大量的投資組合可以完全規(guī)避非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)。該理論被提出后，得到了學(xué)者廣泛應(yīng)用與研究。隨著時(shí)間的推移，許多學(xué)者對該理論的有效性進(jìn)行了研究，并不斷完善該理論。肖趙華[1]系統(tǒng)地論述了自馬科維茨均值-方差理論開始的資產(chǎn)配置理論。文獻(xiàn)[2-4]對馬科維茨均值-方差理論的算法進(jìn)行了優(yōu)化。文獻(xiàn)[5-13]通過放寬限制條件，對馬科維茨均值-方差理論體系進(jìn)行了優(yōu)化。文獻(xiàn)[14-18]以現(xiàn)實(shí)數(shù)據(jù)為依據(jù)，對馬科維茨均值-方差理論進(jìn)行了實(shí)證檢驗(yàn)。文獻(xiàn)[19-22]對馬科維茨均值-方差模型進(jìn)行了拓展，并通過實(shí)證檢驗(yàn)驗(yàn)證其拓展模型的有效性。

綜上所述，學(xué)者們在該理論無論是實(shí)證還是理論方面都進(jìn)行了充分的研究。然而，將馬科維茨均值-方差理論應(yīng)用于期貨投資的研究并不多。同時(shí)，少量資產(chǎn)進(jìn)行組合的有效性暫且未知，但大量的資產(chǎn)進(jìn)行組合后，計(jì)算量巨大，使實(shí)踐中個(gè)人投資者很難做到最佳投資比率的計(jì)算。

因此，本文選取4種能源期貨資產(chǎn)，通過實(shí)證驗(yàn)證其投資組合的有效性。這說明，少量的能源期貨資產(chǎn)進(jìn)行組合后，可以有效規(guī)避非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)，并提供了動態(tài)投資組合策略。

1 馬科維茨均值-方差理論模型

1.1 最佳投資比率計(jì)算

馬科維茨均值-方差理論是經(jīng)典的投資組合理論，它驗(yàn)證了投資組合可以有效地分散系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)。劉科弟[23]系統(tǒng)地論述了經(jīng)典理論模型，本文以其作為理論基礎(chǔ)，在進(jìn)行實(shí)際投資時(shí)，模型如下：

選擇紐約商業(yè)交易所的天然氣1號期貨合約、取暖油1號期貨合約、RBOB常規(guī)油1號期貨合約以及OK原油1號期貨合約進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)分散。為了簡化計(jì)算，本文規(guī)定以上4種合約分別稱為資產(chǎn)x1、x2、x3、x4，其權(quán)重分別為ω1、ω2、ω3、ω4。同時(shí)，令X=(x1,x2,x3,x4)T，W=(ω1,ω2,ω3,ω4)T，且資產(chǎn)xi的收益率為ri，期望收益率為E(ri)，資產(chǎn)之間的協(xié)方差為σij，i=j時(shí)，即為資產(chǎn)本身的波動率。由于是期貨合約，因此允許賣空，并且假設(shè)不考慮保證金賬戶收益。

規(guī)定資產(chǎn)組合為P，收益率為Rp，波動率為σp，則有以下等式：

P=WTX

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

根據(jù)以上等式，可以運(yùn)用拉格朗日乘子法得到資產(chǎn)組合P在定期望收益率的情況下的最小方差，從而得到預(yù)期收益率與最小方差的關(guān)系，最終得到資產(chǎn)組合P的有效邊界，計(jì)算過程如下：

引入拉格朗日乘子α,β，記E=(E(R1),…,E(R4))T,∑=(σij)4×4,1=(1,1,1,1)T。構(gòu)造拉格朗日等式：

對W、α、β求導(dǎo)，得到：

解該方程組，令A(yù)=ET∑-1E,B=1T∑-1E,C=1T∑-11,D=AC-B2，有：

從而可以計(jì)算出給定資產(chǎn)組合P的預(yù)期收益率E(Rp)下的最小波動率為：

從而得到σp與E(Rp)的關(guān)系，即：

因此，資產(chǎn)組合P的有效邊界為雙曲線M的右半支中處于第一象限的部分，即σp>0,E(Rp)<0的部分。資產(chǎn)組合P的最佳投資比例所對應(yīng)的收益率與波動率即為有效邊界上使夏普比率最高的收益率與波動率的收益率和波動率。該點(diǎn)為使該點(diǎn)與無風(fēng)險(xiǎn)收益率形成的直線與雙曲線相切的點(diǎn)(σp,Rp)。

為了簡化運(yùn)算，令σp=x,E(Rp)=y=f(x),x>0,y>0，則有：

設(shè)雙曲線M上有一點(diǎn)(x0,y0)，其與(0,Rf)形成的直線與雙曲線相切，雙曲線M等式兩邊同時(shí)對x0求導(dǎo)，可得：

1.2 檢驗(yàn)方法

為驗(yàn)證最佳投資比率W的有效性，本文使用歷史數(shù)據(jù)模擬的方法進(jìn)行檢驗(yàn)。即選取[n，n+252]天作為模擬區(qū)間，取[n+1，n+253]天作為檢驗(yàn)區(qū)間，n滾動k次，得到k個(gè)樣本。即，投資者持有資產(chǎn)的時(shí)間長度為一個(gè)交易年度。在假設(shè)第n+253天價(jià)格不確定的情況下，DeMiguel等人[24]證明，比起絕大多數(shù)其他投資策略，等權(quán)重投資是最為有效、穩(wěn)健的投資策略。因此，在第[n+1，n+253]天的檢驗(yàn)區(qū)間中，運(yùn)用等權(quán)重投資進(jìn)行檢驗(yàn)。

2 實(shí)證部分

2.1 數(shù)據(jù)選擇

首先，關(guān)于k的選擇，本文選擇了k=251，即滾動一個(gè)交易年度減一天。其次，由于收益率的數(shù)據(jù)需要2個(gè)交易日價(jià)格數(shù)據(jù)計(jì)算，本文選取了最近505個(gè)交易日期貨價(jià)格數(shù)據(jù)，即2個(gè)交易年度加一天的交易數(shù)據(jù)，如圖1～圖4所示。

圖1 2018-05-23日—2020-04-28日天然氣1號期貨合約交易趨勢圖

圖2 2018-04-26日—2020-04-28日取暖油1號期貨合約交易趨勢圖

圖3 2018-05-07日—2020-04-28日RBOB常規(guī)油1號期貨合約交易趨勢圖

圖4 2018-04-27日—2020-04-28日OK原油1號期貨合約交易趨勢圖

從圖中可以直觀看出，最近2個(gè)交易年度內(nèi)，4種資產(chǎn)的交易價(jià)格主要由空方主導(dǎo)，價(jià)格趨勢不斷下行。因此，本文認(rèn)為投資者主要進(jìn)行空頭交易。但在進(jìn)行投資組合時(shí)，也有投資權(quán)重為負(fù)的可能，此時(shí)，投資者要作為多頭交易，因此，排除多頭交易的可能。但是，期望收益率是以空頭為標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算，其估計(jì)為：

在第[n+k，n+k+252]日中，每一日的收益率如下：

從而可以計(jì)算出4種資產(chǎn)在第k個(gè)樣本中形成的協(xié)方差矩陣∑k。

同時(shí)，在無風(fēng)險(xiǎn)收益率的選取上，本文選取了美國一年期國庫券的2019-06-03日—2020-06-01日的收益率的均值作為無風(fēng)險(xiǎn)收益率的期望收益率，數(shù)據(jù)如圖5所示。

圖5 一年期美國國庫券每日年化收益率

計(jì)算得無風(fēng)險(xiǎn)收益率Rf=1.28%。

2.2 數(shù)據(jù)計(jì)算

通過以上數(shù)據(jù)，可以求得第k個(gè)[n,n+252]日的最佳投資比例Wk，共有252個(gè)數(shù)據(jù)。結(jié)果如圖6～圖9所示。

圖6 天然氣1號期貨合約最佳投資比率

圖7 取暖油1號期貨合約最佳投資比率

圖8 RBOB常規(guī)油1號期貨合約最佳投資比率

圖9 OK原油1號期貨合約最佳投資比率

從圖中可以直觀看出，只有極少一段時(shí)間，最優(yōu)資產(chǎn)組合比率的分配發(fā)生了較大波動。因此，投資者可以更接近于靜態(tài)持有投資組合，可以為投資者節(jié)約時(shí)間成本。為進(jìn)行進(jìn)一步分析，對4種比率進(jìn)行ADF檢驗(yàn)。檢驗(yàn)結(jié)果顯示，4種比率均為平穩(wěn)序列。因此，進(jìn)一步證實(shí)該資產(chǎn)比率的有效性。

2.3 結(jié)果檢驗(yàn)

將該數(shù)據(jù)代入第k個(gè)[n+1,n+252]日后，可得該投資比率投資于檢驗(yàn)區(qū)間的夏普比率Sharpratiok+1，將其與等權(quán)重投資所得的夏普比率Sharpratiok進(jìn)行比較，比較結(jié)果如圖10所示。

圖10 夏普比率對比圖

圖11 標(biāo)準(zhǔn)差對比圖

圖12 期望收益率對比圖

從圖中可以看出，僅有極少一部分最優(yōu)投資比率策略惡化等權(quán)重投資策略的風(fēng)險(xiǎn)，且絕大部分情況下等權(quán)重投資策略與最佳投資比率策略的風(fēng)險(xiǎn)相差無幾。因此，最佳投資比率策略降低風(fēng)險(xiǎn)的效果并沒有優(yōu)于等權(quán)重風(fēng)險(xiǎn)，僅與等權(quán)重投資策略接近。

可以看出，最佳投資比率策略在后半段中絕大部分明顯優(yōu)于等權(quán)重投資策略，其中有一小段明顯劣于等權(quán)重投資策略。因此，最佳投資策略比率在期望收益率上優(yōu)于等權(quán)重投資策略。

綜上所述，最佳投資比率策略部分優(yōu)化了等權(quán)重投資策略，并且絕大部分策略至少沒有劣于等權(quán)重投資策略。

3 結(jié)束語

本文依據(jù)馬科維茨均值-方差理論，根據(jù)第k個(gè)[n,n+252]日的期貨交易數(shù)據(jù)，構(gòu)造了252個(gè)最佳投資比率。同時(shí)，以第k個(gè)[n+1,n+253]日的數(shù)據(jù)作為最佳投資比率的檢驗(yàn)區(qū)間。結(jié)果顯示，最佳投資組合比率中各資產(chǎn)組合比率的變化是平穩(wěn)的。并且在絕大部分情況下，最佳投資比率組合的夏普比率優(yōu)于等權(quán)重投資比率。同時(shí)，經(jīng)過檢驗(yàn)后，期望收益率顯著優(yōu)于等權(quán)重投資比率，而方差并沒有得到顯著優(yōu)化。因此，利用歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行最佳投資比率模擬，并將該比率應(yīng)用于未來投資時(shí)，相比于絕大部分投資組合的等權(quán)重投資，該投資組合顯著優(yōu)化了期望收益率，并保持了與等權(quán)重投資相近的風(fēng)險(xiǎn)。因此，即使對于非大量的投資組合，進(jìn)行投資組合優(yōu)化依然可以有效分散非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)，實(shí)現(xiàn)相對較好的收益。同時(shí)，最佳投資組合比率在滾動的過程中，表現(xiàn)出良好的平穩(wěn)性，等權(quán)重投資可進(jìn)行靜態(tài)調(diào)整的優(yōu)勢被減小，進(jìn)一步體現(xiàn)了最佳投資組合的有效性。

根據(jù)上述結(jié)論，可以得出以下建議：

1)期貨投資具有高杠桿性，無論是收益還是損失都是巨大的。投資者應(yīng)善用投資組合，規(guī)避可能出現(xiàn)的巨大損失。

2)即使是少量的投資組合，資產(chǎn)組合的夏普比率也得到了顯著提升。因此，少量的投資組合依然可以規(guī)避非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)，實(shí)現(xiàn)較為安全、穩(wěn)定的收益。

3)相比于靜態(tài)的等權(quán)重投資，不斷調(diào)整最優(yōu)投資組合的動態(tài)權(quán)重投資可以得到更好的收益，并穩(wěn)定風(fēng)險(xiǎn)。然而，隨著資產(chǎn)數(shù)量的增加，最優(yōu)投資比率的計(jì)算量也在不斷增加，調(diào)整最優(yōu)投資比率也不斷復(fù)雜。因此，對于個(gè)人投資者而言，更好的方案是選擇適當(dāng)?shù)馁Y產(chǎn)數(shù)量，而不是選擇過高的資產(chǎn)數(shù)量，追求近乎于0的非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)。

4)在對該組合進(jìn)行投資時(shí)，最優(yōu)投資比率的波動并不大。因此，持有該資產(chǎn)組合可以進(jìn)行少量的動態(tài)調(diào)整，投資者無需花費(fèi)過多精力調(diào)整投資比率，節(jié)省投資者的時(shí)間成本。