太陽跟蹤誤差模型多參數(shù)全局敏感性分析

龔 儉，李 鵬，羅 琦，雷 旺

(武漢理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，湖北 武漢 430070)

太陽跟蹤技術(shù)通常是指使太陽跟蹤器根據(jù)太陽的運(yùn)動軌跡作相應(yīng)機(jī)械運(yùn)動，并使太陽光線能夠隨時垂直入射太陽能光伏組件的表面[1-2]。在實(shí)際應(yīng)用中，由于機(jī)械加工、組裝以及現(xiàn)場安裝等因素的復(fù)雜性，導(dǎo)致存在多種誤差源影響太陽跟蹤系統(tǒng)精度，從而影響系統(tǒng)發(fā)電效率，研究各因素對跟蹤精度的影響及影響程度對提高跟蹤系統(tǒng)精度十分重要[3]。文獻(xiàn)[4]分析了不同誤差源對太陽跟蹤系統(tǒng)精度的影響，并給出誤差源單獨(dú)作用時的影響。由于系統(tǒng)正常運(yùn)行時，并不是受到各個誤差源的單獨(dú)影響，通常是受到多種誤差源同時作用且相互之間存在較強(qiáng)的耦合效應(yīng)，因此，當(dāng)系統(tǒng)受多誤差源同時作用時，各個誤差源對系統(tǒng)總的影響相比各誤差源單獨(dú)作用時的影響會有所差別，而當(dāng)誤差源較多且系統(tǒng)較為復(fù)雜時，這個差別會更顯著[5]。為此，筆者利用全局敏感性分析方法研究主要誤差源及其間相互作用對跟蹤精度的影響關(guān)系，以達(dá)到各誤差源對系統(tǒng)精度的敏感性認(rèn)知。

采用敏感性分析來評估模型輸入的變化如何影響其輸出，從而確定模型輸入?yún)?shù)或一組模型輸入?yún)?shù)的變化影響模型輸出的程度[6]。模型參數(shù)敏感性分析可以識別模型關(guān)鍵參數(shù)、診斷模型結(jié)構(gòu)，是模型創(chuàng)建和應(yīng)用的關(guān)鍵步驟之一[7]。敏感性分析又分為兩類：局部敏感性分析和全局敏感性分析。局部敏感性分析通過一次改變一個輸入?yún)?shù)同時保持其他參數(shù)為定值來檢查輸出的局部響應(yīng)，雖然操作容易，但由于依賴其他參數(shù)值而導(dǎo)致“異參同效”現(xiàn)象的存在，其局限性較大[8-9]。全局敏感性分析則是所有參數(shù)在整個參數(shù)空間上同時變化，允許同時評估多個參數(shù)對模型輸出的影響以及各參數(shù)的相互作用，較適用于復(fù)雜系統(tǒng)的分析[10]。常用的全局敏感性分析方法有回歸分析法、FAST法、RSA法和Sobol法等方法，其中，基于方差原理的Sobol法具有計(jì)算簡便、計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確可靠等優(yōu)點(diǎn)，是最常用的全局敏感性分析方法之一[11-13]。

筆者以太陽雙軸跟蹤器為例，利用Sobol方法，以太陽跟蹤誤差作為敏感性分析模型的目標(biāo)函數(shù)，分別對夏至、秋分以及冬至?xí)r的跟蹤誤差模型各參數(shù)的單獨(dú)作用以及參數(shù)的全局敏感性進(jìn)行了深入分析。研究結(jié)果有助于理解跟蹤模型參數(shù)的敏感性, 可為模型的參數(shù)校正和應(yīng)用提供指導(dǎo)。

1 太陽跟蹤誤差數(shù)值模型

由文獻(xiàn)[14]可知，制造安裝過程引起的主要誤差源包括：方位軸傾斜φ、俯仰軸和方位軸不正交γ、基座相對立柱旋轉(zhuǎn)ε和編碼器零點(diǎn)偏移。圖1(a)為太陽跟蹤誤差空間示意圖，太陽光線采用平行光束模型,根據(jù)太陽跟蹤器光伏組件指向和太陽入射光線的偏差簡化得到。圖1(b)分別是俯仰軸和方位軸不正交γ、方位軸傾斜φ和基座相對立柱旋轉(zhuǎn)ε的平面示意圖。以跟蹤器俯仰軸和方位軸正交點(diǎn)為原點(diǎn)O，正東為X，正南為Y，正上方(天頂)為Z建立坐標(biāo)系，OA為太陽入射光線矢量S在水平面上的投影，通常約定OA與正南方向夾角ω為太陽方位角，并規(guī)定順時針為正，因此ω∈(-180°，180°)；OA與矢量S夾角α為太陽高度角，α∈(0°，90°)。太陽入射光線矢量S可表示為：

S=cosαcosω×I-cosαsinφ×J+sinα×K

(1)

式中:I、J、K分別為X、Y、Z軸方向單位矢量。

圖1 跟蹤誤差模型示意圖

圖1(b)表示了誤差源在模型推導(dǎo)過程中的一般處理方式。則φ、γ、ε可表示為：

[φ]=(cosφ+sinφ)×I+J+

(-sinφ+cosφ)×K

(2)

[γ]=I+(cosγ-sinγ)×J+

(sinγ+cosγ)×K

(3)

[ε]=(cosε-sinε)×I+

(sinε+cosε)×J+K

(4)

跟蹤器指向矢量M為

M=[ε]·[γ]·[φ]·S

(5)

采用矢量夾角計(jì)算公式，跟蹤誤差角δ可表示為：

(6)

編碼器零點(diǎn)偏移可以通過控制系統(tǒng)中加入偏差角補(bǔ)償?shù)萚15],因此：

δ=F(φ、γ、ε、σ1、σ2、α、ω)

(7)

式中:σ1、σ2分別為方位角編碼器和高度角編碼器的零點(diǎn)偏移。

2 全局敏感性分析

Sobol方法是一種基于方差分解的模型獨(dú)立全局敏感性分析方法，它可以處理非線性和非單調(diào)函數(shù)和模型。該方法的核心是將目標(biāo)函數(shù)的總方差分解成單個參數(shù)及參數(shù)之間相互作用產(chǎn)生的方差。由前述得到模型可以表示為δ=F(φ、γ、ε、σ1、σ2、α、ω)，其中，δ為模型輸出的目標(biāo)函數(shù)；φ、γ、ε、σ1、σ2、α、ω為模型的參數(shù)。那么δ的方差D(δ)可作如下分解：

(8)

式中：D(δ)為模型總方差；Di為個體參數(shù)Fi單獨(dú)影響的方差；Dij為參數(shù)Fi、Fj共同影響的方差；D123…n為n個參數(shù)共同影響的方差。

對上式(8)兩端除以模型總方差D(δ),定義敏感度為:

S123…N=D123…N/D(δ)

(9)

S123…N為模型單個參數(shù)或參數(shù)之間相互影響的一階或高階敏感度，N=1,2，…,n，將式(9)代入式(8)，可得：

(10)

式中：Si為一階敏感度，描述單個參數(shù)Fi在模型δ中所造成的影響；Sij為二階敏感度，描述Fi和Fj兩個參數(shù)共同作用對模型δ的影響；S123…n為n階敏感度，表征n個參數(shù)共同作用對模型δ的影響。第i個參數(shù)的總敏感度為：

STi=∑S(i)

(11)

式中：S(i)為所有包含參數(shù)i的敏感度。

3 敏感度計(jì)算結(jié)果與討論

3.1 靜態(tài)敏感度

由于Sobol法的結(jié)果容易受到樣本數(shù)量的影響，因此需要討論樣本數(shù)量對計(jì)算結(jié)果的收斂情況，以確保計(jì)算結(jié)果的可靠性。圖2顯示樣本數(shù)量為2 100～21 000組過程中，一階敏感度和總敏感度的收斂情況。由圖2可知在樣本數(shù)量為10 000組之后，計(jì)算結(jié)果僅有少量波動，敏感度趨于收斂。故采用10 000組樣本數(shù)量作為計(jì)算，保證計(jì)算結(jié)果可靠。

圖2 Sobol法敏感度收斂過程

圖3為各參數(shù)在夏至日的一階平均敏感度和總平均敏感度。由圖3可知ε、φ、γ、σ1和σ2的一階平均敏感度分別為-0.014、0.091、0.012、0.400和0.401，總平均敏感度分別為0.046、0.218、0.071、0.375和0.551。通過敏感度計(jì)算結(jié)果可得如下結(jié)論：①方位角編碼器零點(diǎn)偏移σ1約占30%，高度角編碼器零點(diǎn)偏移σ2約占43%，表示跟蹤誤差主要受這2個參數(shù)的控制。②基座相對立柱旋轉(zhuǎn)ε的敏感性較小，當(dāng)參數(shù)自動校正時，可以固定該參數(shù)值提高校正效率和準(zhǔn)確性。

圖3 Sobol法靜態(tài)敏感度

3.2 動態(tài)敏感度

動態(tài)敏感性分析計(jì)算每個模擬時間步處的敏感度，能夠觀察隨時間的變化模型參數(shù)對輸出結(jié)果的影響，分析研究參數(shù)敏感性在不同時間段內(nèi)的規(guī)律。圖4(a)～圖4(c)分別表示5個參數(shù)在夏至、秋分和冬至一整天時間一階敏感度變化和總敏感度變化。計(jì)算結(jié)果表明：①所有參數(shù)在不同時間段的敏感度都有一定的變化，σ1、σ2平均敏感度明顯大于其他3個參數(shù)，表明跟蹤誤差整體受這兩個參數(shù)影響。②對于一階敏感度，σ1敏感度先減小后增大，在中午達(dá)到最小值，σ2、φ敏感度先增大后減小，在中午達(dá)到最大值，而ε、γ敏感度相對比較平穩(wěn)，只存在微小波動。③對于總敏感度，在時間上的總體變化規(guī)律與一階敏感度類似，但在變化程度上有所不同，以σ2為例，夏至日ΔSi≈80%，ΔSTi≈18%。說明由于相互耦合作用，參數(shù)總敏感度變化較平穩(wěn)。④由圖4中中午時間段曲線斜率可以得知：對于不同日期，不同參數(shù)在中午時間變化速率為夏至>秋分>冬至，這是由于中午時間太陽軌跡在夏至日更接近坐標(biāo)系天頂附近，太陽理論角度變化較快，在進(jìn)行參數(shù)校正時，需要隨時間變化調(diào)整。

圖4 動態(tài)敏感度分析

4 結(jié)論

筆者首先對太陽跟蹤誤差模型進(jìn)行了推導(dǎo)，其次利用Sobol全局敏感性分析方法，以靜態(tài)和動態(tài)的方式分別計(jì)算太陽跟蹤誤差模型中5個參數(shù)的一階敏感度和總敏感度，得出以下結(jié)論：

(1)方位角編碼器的零點(diǎn)偏移σ1和高度角編碼器的零點(diǎn)偏移σ2這2個參數(shù)的敏感度顯著高于其他參數(shù)，表示跟蹤誤差主要受這2個參數(shù)的控制；

(2)基座相對立柱旋轉(zhuǎn)ε的敏感性較小，當(dāng)參數(shù)自動校正時，可以固定該參數(shù)值提高校正效率和準(zhǔn)確性；

(3)對于不同時間，各參數(shù)的敏感度不同，在中午時間段內(nèi)，會出現(xiàn)不同程度的變化，且變化速率夏至>秋分>冬至，在進(jìn)行參數(shù)校正時，需要隨時間變化調(diào)整。