線性代數(shù)教學(xué)中的幾點(diǎn)做法

范英梅

摘 要 本文結(jié)合作者多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，從提高學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)的積極性和培養(yǎng)學(xué)習(xí)能力方面給出一些具體做法。

關(guān)鍵詞 線性代數(shù) 積極性 思考方法 學(xué)習(xí)能力

線性代數(shù)是高等院校理、工、農(nóng)、醫(yī)、經(jīng)濟(jì)、管理各個(gè)專業(yè)的一門重要公共基礎(chǔ)課程，是一門介紹科學(xué)計(jì)算核心理論和基本方法的數(shù)學(xué)課程，它不僅是后續(xù)課程的基礎(chǔ)，而且對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的思維能力及解決實(shí)際問(wèn)題的能力等都起著重要的作用。線性代數(shù)在應(yīng)用上的重要性與計(jì)算機(jī)的計(jì)算性能成正比例增長(zhǎng)，而這一性能伴隨著計(jì)算機(jī)軟硬件的創(chuàng)新在不斷提升。最終，計(jì)算機(jī)并行處理和大規(guī)模計(jì)算的迅猛發(fā)展將會(huì)把計(jì)算機(jī)科學(xué)與線性代數(shù)緊密地聯(lián)系在一起，并廣泛應(yīng)用于解決飛機(jī)制造、橋梁設(shè)計(jì)、交通規(guī)劃、石油勘探、、網(wǎng)絡(luò)技術(shù)、經(jīng)濟(jì)管理、生物技術(shù)、航天、航海等領(lǐng)域的科學(xué)問(wèn)題。針對(duì)《線性代數(shù)》概念多、定理多、運(yùn)算規(guī)律多、前后知識(shí)聯(lián)系緊密，內(nèi)容抽象等特點(diǎn)，相當(dāng)部分學(xué)生比較對(duì)難理解等等問(wèn)題，筆者談?wù)勛约涸诮虒W(xué)中的具體做法。

1從問(wèn)題出發(fā)，引入概念，并總結(jié)規(guī)律，從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維

在介紹代數(shù)概念前，筆者一般都盡量從問(wèn)題出發(fā)，使學(xué)生更容易接受。下面用兩個(gè)例子介紹筆者的教法。

一是在講行列式概念之前向?qū)W生提問(wèn)：兩個(gè)未知數(shù)兩個(gè)方程組成的線性方程組（即二元線性方程組）、三個(gè)未知數(shù)三個(gè)方程組成的線性方程組（即三元線性方程組）會(huì)解嗎？同學(xué)們肯定回答說(shuō)：會(huì)解。接著問(wèn)：他們的解大家發(fā)現(xiàn)有什么特點(diǎn)或規(guī)律嗎？ 基本上回答不上來(lái)。接著問(wèn)：10個(gè)未知數(shù)10個(gè)方程組成的一次線性方程組好解嗎？是不是要找規(guī)律？這么多變量的方程組寫出解的過(guò)程是不是很長(zhǎng)？為此我們是不是要找一種方便書寫的方式？這樣一層層提問(wèn)后，最后把二元線性方程組用消元法得的解寫出來(lái)，發(fā)現(xiàn)解具有非常好的規(guī)律，為了描述解的形式，再引出二階、三階行列式的概念，并把方程的解用行列式表示出來(lái)，明確告訴學(xué)生行列式就是一個(gè)在解方程組時(shí)為簡(jiǎn)化書寫而引用的記號(hào)，在此基礎(chǔ)上通過(guò)分析二階、三階行列式的項(xiàng)數(shù)及每項(xiàng)符號(hào)的規(guī)律，引入n階行列式的概念，指出關(guān)于二元、三元線性方程組的解對(duì)于更高元的線性方程組也成立（即后面要學(xué)習(xí)的克萊姆法則）。隨后的問(wèn)題是一般的高階行列式，用定義計(jì)算幾乎行不通，于是要討論行列式的性質(zhì)，同時(shí)說(shuō)明行列式是線性代數(shù)中的一個(gè)重要概念，它是求解某些線性方程組、判別方陣是否可逆、判別向量組的線性相關(guān)性及求方陣的特征值等的工具，從而引起學(xué)生重視。這里只是解決了線性方程組的一種特殊情形，即線性方程組所含方程的個(gè)數(shù)等于未知量的個(gè)數(shù)，且方程組的系數(shù)行列式不等于零的情形。適時(shí)提出：未知數(shù)與方程個(gè)不相等的線性方程組求解問(wèn)題，引入新的學(xué)習(xí)內(nèi)容（后續(xù)學(xué)習(xí)內(nèi)容），引導(dǎo)學(xué)生擴(kuò)展思維。通過(guò)從學(xué)生們已經(jīng)熟悉的解簡(jiǎn)單線性方程組這個(gè)過(guò)程及發(fā)現(xiàn)解形式的規(guī)律，告訴學(xué)生在實(shí)際生活中，解決完一個(gè)問(wèn)題后，要多思考這種解決問(wèn)題的思路和方法有沒(méi)有普遍性，能否用它解決其它問(wèn)題？這就是科學(xué)研究的基本思想。

二是介紹向量組的線性相關(guān)性概念時(shí)，筆者從簡(jiǎn)單的齊次線性方程組出發(fā)，看是否有多余的方程（即能用方程組中其它一個(gè)或多個(gè)方程表示）入手，引出向量組線性相關(guān)和線性無(wú)關(guān)的概念，即如果有多余方程，則系數(shù)矩陣的列向量組線性相關(guān);如果沒(méi)有多余方程，則系數(shù)矩陣的列向量組線性無(wú)關(guān)。同時(shí)向量組A（有m個(gè)向量） 線性相關(guān)的充要條件是向量組A中至少有一個(gè)向量能由其余m-1個(gè)向量線性表示。常把這個(gè)充要條件作為向量組線性相關(guān)的等價(jià)定義，即向量組A（有m個(gè)向量）中至少有一個(gè)向量能由其余向量線性表示，也就是A的m個(gè)向量至少有一個(gè)線性關(guān)系式，這就是這m個(gè)向量線性相關(guān)的涵義。而向量組A線性無(wú)關(guān)的充要條件是A中任意一個(gè)向量均不能由其余向量線性表示，形象地說(shuō)，即”誰(shuí)也表示不了誰(shuí)“，這種”獨(dú)立“性正是向量組A線性無(wú)關(guān)所包含的內(nèi)在的意義。告訴學(xué)生們從這兩個(gè)概念引伸到社會(huì)團(tuán)體，如果團(tuán)體成員都是核心成員（相當(dāng)于線性無(wú)關(guān)），俗稱一個(gè)蘿卜一個(gè)坑，成員就不會(huì)輕意被淘汰。否則（相當(dāng)于線性相關(guān)，能被其它向量線性表示的向量可以去掉）就會(huì)有成員隨時(shí)會(huì)被淘汰。用簡(jiǎn)單的事例來(lái)說(shuō)明學(xué)生們很易接受這個(gè)概念。最后再?gòu)?qiáng)調(diào)引入向量組線性相關(guān)性概念是為了更好地研究線性方程組解向量之間的關(guān)系：如齊次線性方程組有非零解（即有無(wú)窮多解）時(shí)，所有的解向量量構(gòu)成的向量組是線性相關(guān)的，可用幾個(gè)向量（即一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組）表示任一個(gè)解向量（引入后面章節(jié)要學(xué)習(xí)的內(nèi)容），從而會(huì)引起他們的重視。

2從介紹計(jì)算方法的理論意義，提升學(xué)生的重視程度

學(xué)生認(rèn)為線性代數(shù)中的計(jì)算簡(jiǎn)單而且繁瑣，沒(méi)有多大意義，不重視。筆者通常會(huì)解釋，因?yàn)槲覀兪止び?jì)算，不能太難，但它有重要的意義。例如，在介紹利用行列式的性質(zhì)化行列式為上三角行列式的一般步驟：如果第一列第一個(gè)元素為0， 先將第一行與其它行交換使得第一列第一個(gè)元素不為0; 然后把第一行分別乘以適當(dāng)?shù)臄?shù)加到其它各行，使得第一列除第一個(gè)元素外其余元素全為0;再用同樣的方法處理除去第一行和第一列后余下的低一階行列式，如此繼續(xù)下去，直至使它成為上三角形行列式，這時(shí)主對(duì)角線上元素的乘積就是所求行列式的值。這個(gè)方法看起來(lái)復(fù)雜，但它有很重要的理論意義，大部分用于計(jì)算行列式的計(jì)算機(jī)程序是按上述方法進(jìn)行設(shè)計(jì)的。這就是我們?yōu)槭裁蠢糜?jì)算機(jī)軟件，只要輸入行列式中的數(shù)就很快得出結(jié)果，那是計(jì)算機(jī)編程技術(shù)人員事先按照這個(gè)過(guò)程編好程序，我們直接用而已。

在講解一般的線性方程組時(shí)，強(qiáng)調(diào)利用矩陣表示的作用，它是在利用計(jì)算機(jī)計(jì)算高階線性方程組時(shí)方便輸入，利用矩陣的初等行變換法把矩陣化為行階梯形，進(jìn)一步化為行最簡(jiǎn)形解線性方程組的方法，同樣具有很重要的理論意義，它是應(yīng)用計(jì)算機(jī)計(jì)算高階一般線性方程組的計(jì)算機(jī)編程的理論依據(jù)和編程的方法。

強(qiáng)調(diào)計(jì)算方法有重要的理論意義后，學(xué)生在思想上和行動(dòng)上就不再輕視這些計(jì)算方法了。

3從一題多解出發(fā)，培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的思考方法

下面用兩個(gè)例子從不同的角度出發(fā)，得出形式上不同的解法.

例1：計(jì)算，從三個(gè)不同的觀察點(diǎn)出發(fā)，寫出三種解法。

（1）注意到行列式中各列中4個(gè)數(shù)之和都為8，于是想把列中4個(gè)數(shù)相加起來(lái)，想到用行加，得到下面的解法。

（2）注意到行列式中各行中4個(gè)數(shù)之和都為8，于是想把行中4個(gè)數(shù)相加起來(lái)，想到用列加，得到下面的解法。

（3）注意到行列式中其它行與第一行相比，只有第一列及主對(duì)角線的元素不同，用其它行都減第一行化為箭形行列式，得到下面的解法。

例2：計(jì)算，從兩個(gè)不同的觀察點(diǎn)出發(fā)，寫出二種解法。

（1）注意到行列式相鄰列的特點(diǎn)，從左向右將每列依次加到相鄰的右列，會(huì)得到特殊的行列式，于是有下面的解法。

（2）注意到行列式中除第四列外，其余各行中4個(gè)數(shù)之和都為0，于是要把行中4個(gè)數(shù)相加起來(lái)，想到用列加，得到下面的解法。

這兩個(gè)例子的解法都可以推廣到計(jì)算n階行列式中去.

通過(guò)這兩個(gè)例子的不同解決方法，向?qū)W生展示了，從不同的觀察點(diǎn)出發(fā)考慮問(wèn)題和解決問(wèn)題，雖然解決問(wèn)題的著手點(diǎn)不同，過(guò)程不同，最終殊途同歸。教育學(xué)生們，在平常做作業(yè)或解決生活中的實(shí)際問(wèn)題時(shí)，不要太死板和教條，要多角度考慮和實(shí)踐，也許能發(fā)現(xiàn)比一般方法更好的辦法去解決問(wèn)題，這樣就能拓寬途徑。

4合理使用網(wǎng)絡(luò)資源，培養(yǎng)學(xué)生查閱資料解決問(wèn)題的能力

網(wǎng)絡(luò)作為當(dāng)今世界通用的信息工具，是我們學(xué)習(xí)知識(shí)的好幫手。一是課堂學(xué)習(xí)中存在的問(wèn)題以及學(xué)習(xí)中不足之處、不明白的地方，筆者都是通過(guò)QQ、微信等移動(dòng)信息平臺(tái)及時(shí)與學(xué)生交流解答。從而可以解決學(xué)生學(xué)習(xí)中遇到問(wèn)題無(wú)處可問(wèn)的問(wèn)題。二是要求學(xué)生借助MATLAB軟件進(jìn)行線性代數(shù)運(yùn)算，筆者會(huì)給出幾個(gè)具體的實(shí)例，要求學(xué)生解決。解決方法可以是學(xué)生自己通過(guò)網(wǎng)絡(luò)搜索，查找資料，自己動(dòng)手編寫程序，進(jìn)行實(shí)驗(yàn)解決大型計(jì)算問(wèn)題，這樣能解決沒(méi)學(xué)這門課之前學(xué)生們覺(jué)得不可能的問(wèn)題，從而達(dá)到調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。

5結(jié)束語(yǔ)

教學(xué)不僅僅是傳授知識(shí)，而且它還是一門藝術(shù)，需要教師在教學(xué)實(shí)踐中不斷歸納總結(jié)，不斷提高自身的素質(zhì)。線性代數(shù)作為理工科及管理院校的一門重要的公共基礎(chǔ)課，是科學(xué)與工程計(jì)算的核心。本文就筆者在線性代數(shù)課程教學(xué)中，探討了教授這門課使用的幾個(gè)具體教法，旨在最大限度地使學(xué)生不再感覺(jué)到線性代數(shù)太抽象及調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，使學(xué)生學(xué)到理論知識(shí)的同時(shí)更學(xué)到了思考問(wèn)題方法和解決問(wèn)題思路，從而達(dá)到開(kāi)設(shè)這門課程的目的。

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