聯(lián)系數(shù)伴隨函數(shù)的若干問題探討

金菊良，張浩宇，崔 毅,*，寧少尉，周玉良，吳成國

(合肥工業(yè)大學(xué) a.土木與水利工程學(xué)院;b.水資源與環(huán)境系統(tǒng)工程研究所, 合肥 230009)

0 引 言

作為復(fù)雜性之源的不確定性是自然界、人類社會中普遍存在的現(xiàn)象，長期以來，人們總是希望不確定性在一定條件下可轉(zhuǎn)換為確定性，從而研究不確定性的規(guī)律[1]。中國學(xué)者趙克勤先生認(rèn)為客觀事件都是以系統(tǒng)的形式存在，應(yīng)當(dāng)采用系統(tǒng)科學(xué)方法研究系統(tǒng)不確定性的復(fù)雜性，于1989年提出了集對分析(Set Pair Analysis，SPA)這一系統(tǒng)不確定性分析理論[2]，它是一種將確定性與不確定性聯(lián)系起來、作為確定不確定系統(tǒng)進(jìn)行分析的新穎系統(tǒng)理論，從兩個集合間同異反3方面的確定不確定關(guān)系結(jié)構(gòu)出發(fā)去分析研究集對事物的確定性、不確定性及其聯(lián)系和轉(zhuǎn)換，構(gòu)成了一種基于同異反關(guān)系結(jié)構(gòu)的確定不確定性系統(tǒng)分析新理論，為構(gòu)建聯(lián)系科學(xué)奠定了基礎(chǔ)[3-5]。對于集對事件間的同異反程度采用同異反聯(lián)系度進(jìn)行度量，簡稱聯(lián)系度[1,3]，目前多統(tǒng)一稱為聯(lián)系數(shù)[5-6]。聯(lián)系數(shù)是描述研究對象同異反確定不確定性狀態(tài)在宏觀層次上的結(jié)構(gòu)函數(shù)[3-5]，是對兩個集對事件在某研究問題下關(guān)聯(lián)程度的測度。進(jìn)一步挖掘聯(lián)系數(shù)中聯(lián)系分量與差異度系數(shù)隱含的信息，對聯(lián)系分量與差異度系數(shù)作不同的定義和運算，得出原聯(lián)系數(shù)的伴隨函數(shù)[3, 5]，伴隨函數(shù)是聯(lián)系分量在微觀層次上的關(guān)系結(jié)構(gòu)函數(shù)，聯(lián)系數(shù)的伴隨函數(shù)作為深入挖掘聯(lián)系分量、差異度系數(shù)之間關(guān)系的結(jié)構(gòu)函數(shù)，將集對事件所蘊藏的不確性信息充分考慮其中，并用于分析集對事件發(fā)展趨勢等有關(guān)特征，為研究聯(lián)系數(shù)開辟了廣闊的領(lǐng)域[6-7]。

聯(lián)系數(shù)的伴隨函數(shù)是聯(lián)系數(shù)研究的熱點，已提出的伴隨函數(shù)主要有集對勢[1, 6, 8]、偏聯(lián)系數(shù)[4, 7]、鄰聯(lián)系數(shù)[9-10]、聯(lián)系熵[11]等。目前，聯(lián)系數(shù)的伴隨函數(shù)適用于許多學(xué)科領(lǐng)域，但大多用于判斷事件的發(fā)展趨勢和評價，且多局限于應(yīng)用方面，對于聯(lián)系數(shù)伴隨函數(shù)的改進(jìn)與創(chuàng)新尚較少，有些聯(lián)系數(shù)伴隨函數(shù)所表達(dá)的物理內(nèi)涵尚不清晰、所采用的計算公式尚未統(tǒng)一，嚴(yán)重限制了聯(lián)系數(shù)伴隨函數(shù)的發(fā)展。為此，本文在已有聯(lián)系數(shù)伴隨函數(shù)理論和應(yīng)用研究的基礎(chǔ)上，聚焦于聯(lián)系數(shù)伴隨函數(shù)的理論方法層面來系統(tǒng)分析伴隨函數(shù)的現(xiàn)有研究，同時借助文獻(xiàn)計量分析方法，重點闡述聯(lián)系數(shù)的關(guān)系結(jié)構(gòu)和伴隨函數(shù)、集對勢、偏聯(lián)系數(shù)、鄰聯(lián)系數(shù)和聯(lián)系熵等熱點方向的研究現(xiàn)狀和發(fā)展趨勢，分析討論伴隨函數(shù)當(dāng)前發(fā)展遇到的若干問題，以進(jìn)一步促進(jìn)聯(lián)系數(shù)伴隨函數(shù)的理論和應(yīng)用研究，展望聯(lián)系數(shù)伴隨函數(shù)的未來發(fā)展方向。

1 聯(lián)系數(shù)的關(guān)系結(jié)構(gòu)和伴隨函數(shù)

1.1 聯(lián)系數(shù)的關(guān)系結(jié)構(gòu)

聯(lián)系數(shù)是對兩個集對事件在某一問題中同、異、反關(guān)系程度的量化表達(dá)[1-2]，是考慮同一度項、差異度項、對立度項的關(guān)系結(jié)構(gòu)函數(shù)[1, 5, 12]。聯(lián)系數(shù)的函數(shù)表達(dá)式包含了兩個集對事件的確定不確定關(guān)系，其中同一度項、對立度項是相對確定的模糊關(guān)系，差異度項是相對不確定的模糊關(guān)系，同時，同一度、差異度、對立度在宏觀層面上又是確定的值，差異度系數(shù)在微觀層面上又是不確定的、可以繼續(xù)分解的，由此，構(gòu)成了聯(lián)系數(shù)這個確定不確定的關(guān)系結(jié)構(gòu)函數(shù)。三元聯(lián)系數(shù)定義為[1]：

μ=a+bi+cj

(1)

式中，a為同一度，b為差異度，c為對立度，均為非負(fù)實數(shù)且a+b+c=1；差異度系數(shù)i∈[-1,1]，對立度系數(shù)j=-1，i與j有時僅起標(biāo)記作用、不取值[1]。

1.2 聯(lián)系數(shù)的伴隨函數(shù)

聯(lián)系數(shù)中同一度、差異度、對立度表征集對事件在宏觀層次上的確定不確定關(guān)系，差異度系數(shù)表征集對事件在微觀層次上的不確定關(guān)系，對于宏觀層次的研究可進(jìn)一步分解為不同方向微觀層次上的研究，由此演化出多類聯(lián)系數(shù)的伴隨函數(shù)：集對勢、偏聯(lián)系數(shù)、鄰聯(lián)系數(shù)、聯(lián)系熵等。這些伴隨函數(shù)對于分析集對事件提供了不同的分析角度，可以全面、深入反映集對事件的發(fā)展趨勢等微觀問題?；诖?，聯(lián)系數(shù)的伴隨函數(shù)可定義為：聯(lián)系數(shù)μ=f(a,b,c)在聯(lián)系數(shù)分量a=a0、b=b0、c=c0確定的前提下，在(a0,b0,c0)處作用不同的函數(shù)f(a0,b0,c0)，f(a0,b0,c0)僅包含聯(lián)系數(shù)分量、差異度系數(shù)等變量的函數(shù)稱為原聯(lián)系數(shù)的伴隨函數(shù)，伴隨函數(shù)是一種在宏觀與微觀層次上的關(guān)系結(jié)構(gòu)函數(shù)[1,12]。

本文運用文獻(xiàn)計量分析法，在CNKI中以“集對勢”“偏聯(lián)系數(shù)”“鄰聯(lián)系數(shù)”“聯(lián)系熵”為主題詞進(jìn)行高級檢索，運用VOSviewer工具分析上述檢索文獻(xiàn)在CNKI數(shù)據(jù)庫中聯(lián)系數(shù)伴隨函數(shù)研究熱點的關(guān)鍵詞[13-14]，以揭示伴隨函數(shù)研究進(jìn)展、研究熱點和研究團(tuán)隊狀況，結(jié)果見圖1。

圖1 CNKI數(shù)據(jù)庫中四類伴隨函數(shù)研究關(guān)鍵詞共現(xiàn)年代標(biāo)簽和國內(nèi)外合著標(biāo)簽圖Fig.1 Keywords co-occurrence age labels and co-authored labels of four types of adjoint functions study in CNKI database

圖1(a)表明：聯(lián)系數(shù)的伴隨函數(shù)中“集對勢”“偏聯(lián)系數(shù)”“聯(lián)系熵”3類伴隨函數(shù)研究較多，“鄰聯(lián)系數(shù)”的研究相對較少，以至于在圖1中未顯示；伴隨函數(shù)的應(yīng)用研究領(lǐng)域較為廣泛[12]，主要涉及到風(fēng)險評價[1]、水資源承載力[6]、趨勢分析[7]等領(lǐng)域；從時間上，伴隨函數(shù)當(dāng)前與多元聯(lián)系數(shù)(四元、五元聯(lián)系數(shù))、水資源承載力、風(fēng)險評價的聯(lián)系密切，這些方向仍將是今后的研究重點。

圖1(b)表明：四類伴隨函數(shù)國外研究者幾乎沒有，國內(nèi)研究者較多但合作關(guān)系一般相對松散，集對分析和聯(lián)系數(shù)理論的創(chuàng)始人趙克勤與李斌等[15]合作密切，與其余研究者幾乎沒有合作，研究相對較多的團(tuán)隊有王亞鵬、劉杰 、韋琦、金菊良等；由于研究者之間合作較少，伴隨函數(shù)的研究也相對獨立，其發(fā)展速度、應(yīng)用領(lǐng)域受到了制約。

2 集對勢

式(1)中聯(lián)系數(shù)分量a、b、c反映了集對事件間同、異、反的關(guān)系程度，三者之間的大小差別在一定程度上表達(dá)集對事件在某一問題下的發(fā)展趨勢[1, 6]，按照表達(dá)式的不同結(jié)構(gòu)可以把集對勢分為除法集對勢[1,16]、廣義集對勢[17]、減法集對勢[6,18]、粗糙集對勢[19]、區(qū)間集對勢[20]等。

2.1 除法集對勢

將聯(lián)系數(shù)μ=a+bi+cj中同一度與對立度間的比值定義為除法集對勢shi(H)[1]：

shi(H)=a/c

(2)

式中，c≠0。除法集對勢能反映集對事件在指定問題下某種確定性聯(lián)系趨勢，其等級和次序關(guān)系見文獻(xiàn)[1]。文獻(xiàn)[1]給出了除法集對勢劃分等級表，將該表與除法集對勢計算結(jié)果對照可判別集對勢等級狀態(tài)。在式(2)基礎(chǔ)上周家紅[21]等從系統(tǒng)內(nèi)最不利的角度考慮提出了悲觀集對勢，即將所有不確定項(差異度)均轉(zhuǎn)移到對立項(對立度), 通過同一度與對立度的比值來分析系統(tǒng)的態(tài)勢[21]：

shi(H)P=a/(b+c)

(3)

式中，b+c≠0，同時差異度系數(shù)i=-1。同理，可定義樂觀集對勢為[22]：

shi(H)O=(a+b)/c

(4)

式中，c≠0。當(dāng)shi(H)P、shi(H)O=1時，為劃分系統(tǒng)“安全”與“危險”狀態(tài)的界限；當(dāng)shi(H)P、shi(H)O<1時，系統(tǒng)為危險狀態(tài)；當(dāng)shi(H)P、shi(H)O>1時，系統(tǒng)為安全狀態(tài)[22]。悲觀集對勢與樂觀集對勢是相對存在的，是除法集對勢的兩個極端取值，即shi(H)∈[shi(H)P,shi(H)O]。

2.2 廣義集對勢

為避免除法集對勢中分母為零時無法計算集對勢的情況，李德順[22]提出了廣義集對勢：

shi(H)e=ea/ec

(5)

2.3 減法集對勢

金菊良等[6]分析指出聯(lián)系數(shù)集對勢的實質(zhì)就是刻畫所研究集對事件在當(dāng)前宏觀期望層次上所處的相對確定性狀態(tài)和發(fā)展趨勢，據(jù)此提出了減法集對勢sf(u)：

sf(u)=a-c+ba-bc=(a-c)(1+b)

(6)

式中，sf(u)∈[-1,1]；差異度按比率取值法[1]計算；若差異度項按最有利或最不利情形分配到同一度項或?qū)α⒍软?，可得樂觀減法集對勢sfa(u)=(a+b)-c或悲觀減法集對勢sfc(u)=a-(c+b)。根據(jù)sf(u)的大小比較次序，依據(jù)“均分原則”[1]將sf(u)分成5個勢級[6]：反勢sf(u)∈[-1.0, -0.6)，偏反勢sf(u)∈[-0.6, -0.2)，均勢sf(u)∈[-0.2, 0.2]，偏同勢sf(u)∈(0.2, 0.6]，同勢sf(u)∈(0.6, 1.0]。

集對勢是聯(lián)系數(shù)較早廣泛應(yīng)用的伴隨函數(shù)，已有集對勢中尚存在以下問題[1, 6]：①除法集對勢shi(H)=a/c，當(dāng)c取值較小時shi(H)會趨于不穩(wěn)定且不適用于c=0的情況，在實際應(yīng)用中需要謹(jǐn)慎分析除法集對勢這類情況;②除法集對勢的等級劃分表對于個別情況下適用性較差、與實際會存在差別，例如分別取聯(lián)系數(shù)μ1=0.51+0i+0.49j和μ2=0.95+0.01i+0.04j，按照文獻(xiàn)[1]的劃分，聯(lián)系數(shù)μ1為準(zhǔn)同勢，聯(lián)系數(shù)μ2為強同勢，而根據(jù)實際的各聯(lián)系數(shù)分量值應(yīng)是μ2的同勢程度明顯強于μ1，可見對于除法集對勢結(jié)果值的劃分需進(jìn)一步改進(jìn);③廣義集對勢shi(H)e=ea-c雖然彌補了對立度c趨近于零以及c=0的情況下的應(yīng)用，但是改變了原有聯(lián)系數(shù)中a和c的數(shù)量級變化關(guān)系。④減法集對勢sf(u)彌補了除法集對勢shi(H)存在的上述缺陷，保留了原聯(lián)系數(shù)中a和c的數(shù)量級變化關(guān)系，但式(6)僅適用于三元聯(lián)系數(shù)，減法集對勢對于解決多元聯(lián)系數(shù)問題尚需研究提出相應(yīng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式。

集對勢適用于許多研究領(lǐng)域，計算簡便，是一類適用性強的伴隨函數(shù)，同時對于其它集對勢的研究也可成為今后研究的熱點方向。這里運用文獻(xiàn)計量分析法，在CNKI中以“集對勢”為主題詞進(jìn)行高級檢索，匯總相關(guān)的文獻(xiàn)，運用 VOSviewer工具分析上述檢索文獻(xiàn)在CNKI數(shù)據(jù)庫中的集對勢研究熱點的關(guān)鍵詞[13-14]，以揭示集對勢研究進(jìn)展、集對勢領(lǐng)域的研究熱點以及相應(yīng)的研究團(tuán)隊狀況，見圖2。

圖2 CNKI數(shù)據(jù)庫中集對勢研究關(guān)鍵詞共現(xiàn)年代標(biāo)簽和國內(nèi)外合著年代標(biāo)簽圖Fig.2 Keywords co-occurrence age labels and co-authored age labels of set pair potential study in CNKI database

圖2表明：集對勢作為聯(lián)系數(shù)的伴隨函數(shù)，在現(xiàn)有文獻(xiàn)中與集對分析、聯(lián)系度保持了緊密的聯(lián)系，集對勢應(yīng)用較多的領(lǐng)域為安全評價；合著作者中共有9個研究團(tuán)隊，但是9個團(tuán)隊之間相互沒有交集，現(xiàn)有研究相互合作的情況較少，從時間上看，李宗坤、許開立、王亞鵬等學(xué)者研究、運用集對勢較早，當(dāng)前汪明武、劉杰、徐巖等學(xué)者研究集對勢較活躍。

3 偏聯(lián)系數(shù)

趙克勤先生于2005年提出了聯(lián)系數(shù)的新伴隨函數(shù)—偏聯(lián)系數(shù)的概念[4]，偏聯(lián)系數(shù)是一種由聯(lián)系分量的系統(tǒng)層次關(guān)系遞推而來，刻畫集對事件中同異反確定不確定性狀態(tài)變化趨勢的伴隨函數(shù)，判斷事件發(fā)展趨勢是其最主要的用途，偏聯(lián)系數(shù)包含偏正聯(lián)系數(shù)、偏負(fù)聯(lián)系數(shù)和全偏聯(lián)系數(shù)等。當(dāng)前，對于偏聯(lián)系數(shù)的研究較為廣泛，對于聯(lián)系分量間層次關(guān)系的發(fā)展基本取得共識，而對于偏負(fù)聯(lián)系數(shù)、差異度系數(shù)的取值方式以及所處的位置則尚存在爭議，筆者將有代表性的3種理論[7,23-24]進(jìn)行分析。

3.1 全偏聯(lián)系數(shù)

在聯(lián)系數(shù)μ=a+bi+cj中，偏正聯(lián)系數(shù)可定義為：按照事物不斷發(fā)展變化的角度看,假設(shè)差異度原本位于對立度上，是對立度朝正向發(fā)展而來，用?b=b/(b+c)表示原本位于對立度上發(fā)展到差異度上的比例；同理可用?a=a/(a+b)表示原本處在差異度上發(fā)展到同一度上的比例。偏正聯(lián)系數(shù)的大小表征了集對事物朝同方向(正方向)發(fā)展趨勢的強弱程度[23]。集對事件內(nèi)部存在對立統(tǒng)一的辯證性,通過對比偏正聯(lián)系數(shù)來定義偏負(fù)聯(lián)系數(shù)：假設(shè)差異度原本是位于同一度的層次上,是同一度朝負(fù)向發(fā)展而來,用?-b=b/(a+b)表示原本位于同一度上發(fā)展到差異度上的比例；同理可用?-c=c/(b+c)表示原本位于差異度上發(fā)展到對立度上的比例；偏負(fù)聯(lián)系數(shù)的大小表征了集對事物朝反方向(負(fù)方向)發(fā)展趨勢的強弱程度[23]。全偏聯(lián)系數(shù)的值由偏正、偏負(fù)聯(lián)系數(shù)相互作用得到[23]。

覃杰等[23]認(rèn)為三元聯(lián)系數(shù)μ=a+bi+cj的全偏聯(lián)系數(shù)定義為：

(7)

(8)

當(dāng)前，對于偏正聯(lián)系數(shù)獲得了統(tǒng)一認(rèn)識，存在較大爭議的地方源于偏負(fù)聯(lián)系數(shù)的定義與函數(shù)表達(dá)式。筆者認(rèn)為偏負(fù)聯(lián)系數(shù)應(yīng)參照偏正聯(lián)系數(shù)的定義與函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行展開，對立度系數(shù)j的取值是明確的，取-1僅僅是與同一度表明方向的差別，在偏負(fù)聯(lián)系數(shù)的計算中必須帶上對立度系數(shù)j，以示方向性，在計算偏負(fù)聯(lián)系數(shù)的差異度系數(shù)i-時，往往容易忽略其隱含的方向性，偏負(fù)與偏正的不同方向恰恰是由差異度系數(shù)和對立度系數(shù)的正負(fù)號進(jìn)行表達(dá)，偏負(fù)聯(lián)系數(shù)的差異度系數(shù)顯然應(yīng)取負(fù)值，全偏聯(lián)系數(shù)應(yīng)是偏正、偏負(fù)聯(lián)系數(shù)在以偏正聯(lián)系數(shù)為正方向的前提下，帶有方向的相加，進(jìn)而得到全偏聯(lián)系數(shù)。上述兩種方法在刻畫偏聯(lián)系數(shù)的物理內(nèi)涵方面尚存在不足，例如式(7)未能考慮到偏負(fù)聯(lián)系數(shù)中差異度系數(shù)i的正負(fù)取值、對立度系數(shù)j的取值對于最終趨勢起到的作用，而式(8)未能考慮偏負(fù)聯(lián)系數(shù)中i的正負(fù)性以及偏正聯(lián)系數(shù)與偏負(fù)聯(lián)系數(shù)加或減的作用問題。

3.2 效應(yīng)全偏聯(lián)系數(shù)

金菊良等取三元聯(lián)系數(shù)的偏正聯(lián)系數(shù)為[4, 7]：

(9)

(10)

效應(yīng)全偏聯(lián)系數(shù)取自差異度系數(shù)在不同偏聯(lián)系數(shù)中表達(dá)的含義，效應(yīng)全偏聯(lián)系數(shù)定義為[7]：

(11)

效應(yīng)全偏聯(lián)系數(shù)通過對偏負(fù)聯(lián)系數(shù)的重新定義，采用偏正聯(lián)系數(shù)與偏負(fù)聯(lián)系數(shù)帶有正、負(fù)效應(yīng)[1]方向地進(jìn)行相加，可更加深刻地刻畫全偏聯(lián)系數(shù)內(nèi)涵，得出的結(jié)果可進(jìn)一步準(zhǔn)確揭示集對事件的整體發(fā)展趨勢；偏聯(lián)系數(shù)具有與偏導(dǎo)數(shù)不同的復(fù)雜內(nèi)容，式(11)僅適用于三元聯(lián)系數(shù)，當(dāng)前面對的實際問題較為復(fù)雜，多元效應(yīng)全偏聯(lián)系數(shù)會更適用于今后問題的研究中[7]。本文僅針對于一階偏聯(lián)系數(shù)說明，對于多階偏聯(lián)系數(shù)目前的研究比較薄弱，多階偏聯(lián)系數(shù)的物理內(nèi)涵和計算形式尚未完全確定，多階偏聯(lián)系數(shù)的研究也將是今后研究的重點方向。

這里運用文獻(xiàn)計量分析法，在CNKI中以“偏聯(lián)系數(shù)”為主題詞進(jìn)行高級檢索，運用VOSviewer工具分析偏聯(lián)系數(shù)研究熱點的關(guān)鍵詞[13-14]，以揭示偏聯(lián)系數(shù)的研究進(jìn)展、研究熱點和研究團(tuán)隊狀況，見圖3。

圖3 CNKI數(shù)據(jù)庫中偏聯(lián)系數(shù)研究關(guān)鍵詞共現(xiàn)年代標(biāo)簽和國內(nèi)外合著年代標(biāo)簽圖Fig.3 Keywords co-occurrence age labels and co-authored age labels of partial connection number study in CNKI database

圖3表明：偏聯(lián)系數(shù)作為聯(lián)系數(shù)的伴隨函數(shù)，在現(xiàn)有文獻(xiàn)中與集對分析、聯(lián)系度保持了緊密的聯(lián)系，偏聯(lián)系數(shù)應(yīng)用較多的方向為趨勢分析方面，應(yīng)用領(lǐng)域多為水資源承載力[6-7]、醫(yī)療[15]、風(fēng)險[1, 22]等方向；合著作者中共有11個聚類，但是聚類之間合作較少，趙克勤與李斌等團(tuán)隊合作較多，偏聯(lián)系數(shù)研究以趙克勤團(tuán)隊為主，王萬軍、孫愛峰等人起步較早，當(dāng)前，李斌、金菊良等團(tuán)隊對于偏聯(lián)系數(shù)的研究較活躍。

4 鄰聯(lián)系數(shù)

哈麗陽等指出當(dāng)取三元聯(lián)系數(shù)的“+”方向為參考方向時，a、bi、cj具有層次性和優(yōu)先性，即a優(yōu)先于b，b優(yōu)先于c，據(jù)此三元聯(lián)系數(shù)的鄰聯(lián)系數(shù)定義為[9]：

(12)

(13)

孫愛峰等[10]認(rèn)為鄰聯(lián)系數(shù)揭示出聯(lián)系數(shù)中兩個相鄰聯(lián)系分量的“聯(lián)系作用”所呈現(xiàn)的顯在發(fā)展趨勢(簡稱聯(lián)系趨勢)，是對集對事件將來狀態(tài)的一種描述，鄰正、鄰負(fù)聯(lián)系數(shù)分別表征了聯(lián)系數(shù)中相鄰聯(lián)系分量的左、右側(cè)拉動程度，全鄰聯(lián)系數(shù)揭示了兩種拉動作用的矛盾運動及其結(jié)果。三元聯(lián)系數(shù)的全鄰聯(lián)系數(shù)μ2為[9-10]：

(14)

5 聯(lián)系熵

通常，有m個集合組成的系統(tǒng)可依據(jù)不同的要求組成n個集對，由此可得n個聯(lián)系數(shù)[27]。針對有n個集對存在的系統(tǒng)的同一性、差異性、對立性和聯(lián)系性進(jìn)行度量，參照熵的傳統(tǒng)定義，引入系統(tǒng)的同、異、反和聯(lián)系熵的概念。聯(lián)系熵(總熵)由同熵、異熵和反熵組成，是刻畫系統(tǒng)的有序、無序演化以及有序和無序的度量。其中，同熵和反熵分別是對有序和無序的度量，異熵是對系統(tǒng)演化過程中有序無序混亂情形下的度量[28]。當(dāng)前，由聯(lián)系熵衍生出同異反態(tài)勢熵[29]、脆性聯(lián)系熵[30]、廣義聯(lián)系熵[31]等，聯(lián)系熵是其發(fā)展的主要基礎(chǔ)，下面僅討論聯(lián)系熵。

(15)

聯(lián)系熵S(總熵)一般定義為[27]：

S=Sa+Sbi+Scj=∑anlnan+(∑bnlnbn)i+(∑cnlncn)j

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式中，i∈[-1,1]，j= -1；同熵Sa和反熵Sc相對確定，但Sb相對不確定，但三者之間互相聯(lián)系、互相影響和互相制約，在某些問題中可相互轉(zhuǎn)化[27]。

在目前應(yīng)用過程中聯(lián)系熵的物理內(nèi)涵尚未能明確反映同異反3個方面，割裂了聯(lián)系數(shù)包含的同異反結(jié)構(gòu)，對于聯(lián)系熵的求解應(yīng)將異熵與反熵考慮其中，借鑒聯(lián)系數(shù)的表達(dá)形式，筆者建議直接計算聯(lián)系數(shù)的熵，這樣或許能夠綜合反映集對事件的有序狀況，聯(lián)系熵今后的發(fā)展方向應(yīng)反映集對事件的內(nèi)部不確定性狀態(tài)和有序性發(fā)展。

這里運用文獻(xiàn)計量分析法，在CNKI中以“聯(lián)系熵”為主題詞進(jìn)行高級檢索，匯總相關(guān)的文獻(xiàn)，運用VOSviewer工具分析上述檢索文獻(xiàn)在CNKI數(shù)據(jù)庫中的聯(lián)系熵研究熱點的關(guān)鍵詞[13-14]，以揭示聯(lián)系熵研究進(jìn)展、聯(lián)系熵領(lǐng)域的研究熱點以及相應(yīng)的研究團(tuán)隊狀況，見圖4。

圖4 CNKI數(shù)據(jù)庫中聯(lián)系熵研究關(guān)鍵詞共現(xiàn)年代標(biāo)簽和國內(nèi)外合著年代標(biāo)簽圖Fig.4 Keywords co-occurrence age labels and co-authored age labels in China of connection entropy study in CNKI database

圖4表明：聯(lián)系熵作為聯(lián)系數(shù)的伴隨函數(shù)，在現(xiàn)有文獻(xiàn)中與集對分析、聯(lián)系度保持了緊密的聯(lián)系，聯(lián)系熵應(yīng)用較多的方向為評價方面；因聯(lián)系熵論文較少，這里將作者出現(xiàn)的閾值設(shè)為1，多個聚類之間相互較為獨立，研究者之間合作較少，研究較多的學(xué)者有韋琦、施式亮、王棟、劉保相等。

6 展 望

聯(lián)系數(shù)伴隨函數(shù)的研究經(jīng)過近30年的發(fā)展已取得了很多重要進(jìn)展：對于伴隨函數(shù)的概念內(nèi)涵基本明確，深化了聯(lián)系數(shù)理論的研究，進(jìn)一步揭示了同一度、差異度、對立度三者之間的模糊關(guān)系，挖掘出了更多隱含其中的信息，提出了各類伴隨函數(shù)科學(xué)合理和簡單實用的應(yīng)用范式，形成了聯(lián)系數(shù)理論研究的一些重要方向，為聯(lián)系數(shù)在更多領(lǐng)域的研究與應(yīng)用提供了有力的分析技術(shù)。聯(lián)系數(shù)伴隨函數(shù)在趨勢分析、綜合評價、決策調(diào)控等方面的應(yīng)用充分顯示出其自身的優(yōu)越性與廣泛性，具有不確定性分析的理論思想直觀形象、方法模型實現(xiàn)簡便、數(shù)據(jù)挖掘充分、分析結(jié)果合理等顯著特點。

目前，聯(lián)系數(shù)的伴隨函數(shù)研究在理論基礎(chǔ)、實際應(yīng)用方面仍都較薄弱，現(xiàn)有的研究多以中文論文為主。為進(jìn)一步發(fā)展出一套完備、成熟的伴隨函數(shù)理論和方法體系，今后亟待深入研究的問題主要集中在以下方面：

1)需要進(jìn)一步界定、完善各種伴隨函數(shù)的概念內(nèi)涵。伴隨函數(shù)最初的定義局限于文字描述，定義難免存在涵蓋不全的問題，應(yīng)盡可能使用數(shù)學(xué)化的語言進(jìn)行概念界定，這樣更有助于伴隨函數(shù)的發(fā)展和推廣。伴隨函數(shù)具有多種類型，現(xiàn)有階段對于同一伴隨函數(shù)有不同的理解，導(dǎo)致了后續(xù)的研究出現(xiàn)分歧，研究方向的正確性也無法求證，且學(xué)者之間深入交流討論較少，今后希望召開伴隨函數(shù)的專門會議討論此問題，統(tǒng)一對于各類伴隨函數(shù)概念內(nèi)涵的認(rèn)識。

2)目前有的伴隨函數(shù)(例如偏聯(lián)系數(shù)、集對勢)具有多種表達(dá)式，尚需進(jìn)一步比較研究這些表達(dá)式，盡可能規(guī)范統(tǒng)一或闡明相應(yīng)的適用范圍。例如：偏聯(lián)系數(shù)的表達(dá)式當(dāng)前至少有3種，每種表達(dá)式均在不同實際領(lǐng)域運用，取得結(jié)果也不相同，對于公式是否能準(zhǔn)確表達(dá)偏聯(lián)系數(shù)的物理內(nèi)涵，目前尚無統(tǒng)一定論，其它伴隨函數(shù)也存在類似問題。

3)需進(jìn)一步論證、檢驗伴隨函數(shù)的適用性。每種伴隨函數(shù)的適用性各有其特點，廣泛應(yīng)用的伴隨函數(shù)，其應(yīng)用領(lǐng)域和范圍存在差異，對不同的研究問題不能一概而論。例如目前“集對勢”“偏聯(lián)系數(shù)”“鄰聯(lián)系數(shù)”適用于判斷集對事件的發(fā)展趨勢，“聯(lián)系熵”適用于評價集對事件，“集對勢”“鄰聯(lián)系數(shù)”多用于三元聯(lián)系數(shù)，“偏聯(lián)系數(shù)”以一階三元偏聯(lián)系數(shù)應(yīng)用為主，多階多元偏系數(shù)的研究較少。

4)伴隨函數(shù)實質(zhì)上就是對集對事件的聯(lián)系數(shù)信息作進(jìn)一步的數(shù)據(jù)挖掘和信息利用，是當(dāng)前集對分析學(xué)科的研究前沿?zé)狳c，非常重要。數(shù)據(jù)挖掘的目的不同，應(yīng)該可以構(gòu)造出不同的伴隨函數(shù)。聯(lián)系數(shù)伴隨函數(shù)的概念提出已有二十多年，目前主要有四大類伴隨函數(shù)，從“聯(lián)系熵”到“集對勢”再到“偏聯(lián)系數(shù)”最后到“鄰聯(lián)系數(shù)”，新的伴隨函數(shù)的創(chuàng)新稍顯不足，發(fā)展速度較為緩慢，其主要原因可能有：①現(xiàn)有伴隨函數(shù)的概念與表達(dá)范式尚未完全達(dá)成一致，較多學(xué)者研究專注已有伴隨函數(shù)，分散了注意力；②已有的研究團(tuán)隊間相互交流不足，限制了伴隨函數(shù)的持續(xù)創(chuàng)新；③眾多研究者對于伴隨函數(shù)的研究不夠深入，僅僅停留在運用階段，未深入探討伴隨函數(shù)的物理內(nèi)涵和挖掘聯(lián)系數(shù)信息的需求；④對于伴隨函數(shù)研究的傳承出現(xiàn)斷層，以小團(tuán)隊為基礎(chǔ)進(jìn)行研究，受到外界的影響較大，很容易由伴隨函數(shù)轉(zhuǎn)向其它研究方向，持續(xù)性較差。

5)伴隨函數(shù)的研究進(jìn)展需要立足于聯(lián)系數(shù)自身的理論基礎(chǔ)研究，同時需要適當(dāng)與其他方法相結(jié)合。如將灰色關(guān)聯(lián)的思想融入到伴隨函數(shù)的研究中，將減法集對勢的思想融入到差異度系數(shù)的求解中[3, 6, 33]，融百家之長于伴隨函數(shù)，進(jìn)行多學(xué)科交叉研究[34]，推動伴隨函數(shù)研究的持續(xù)發(fā)展。