多參非解析4旋轉(zhuǎn)對稱映射的動力系統(tǒng)圖形化研究

陳 寧，張書瑋，王鳳英

(沈陽建筑大學(xué) 信息與控制工程學(xué)院，沈陽 110168)

1 引 言

隨著計算機的軟硬件設(shè)備的逐步開發(fā)與完善,非線性動力系統(tǒng)圖形化的研究成為了非線性科學(xué)的一個研究分支.美國科學(xué)家B.B.Mandelbrot于上世紀(jì)70年代采用復(fù)解析映射f(z)=z2+c在參數(shù)平面上構(gòu)造出了著名的Mandelbrot集合(M集),這個集合被稱之為是一個構(gòu)造動力平面上結(jié)構(gòu)各異的充滿Julia集分形圖的源泉[1].研究人員針對不同的迭代映射提出動力系統(tǒng)圖形化的各種方法,大量生成了各種形式的充滿Julia集分形圖和混沌吸引子圖[2-8].在非線性動力系統(tǒng)的圖形化研究中,用線性仿射壓縮迭代函數(shù)系(IFS)構(gòu)造分形是另一個重要的研究內(nèi)容,2000年以來,在構(gòu)造IFS的新方法研究、IFS自身的各種數(shù)學(xué)性質(zhì)、利用IFS構(gòu)造重疊分形、超分形的方法研究以及廣義IFS與編碼空間之間關(guān)系的相關(guān)成果不斷出現(xiàn)[9-13]；來自于IFS的分形在各工程領(lǐng)域的應(yīng)用研究也取得了進(jìn)展[14-16]；隨著IFS的越來越廣泛的應(yīng)用,對線性迭代函數(shù)系所生成的分形的研究進(jìn)入到了對非線性迭代函數(shù)系的相關(guān)研究[17-20].1991年,Vrscay和Weil用實多項式進(jìn)行了的非線性IFS構(gòu)造奇怪吸引子的研究[17].2009年,王興元等人將Vrscay和Weil的模型擴展成復(fù)多項式映射[18],他們模擬了用上述復(fù)映射構(gòu)造的IFS的分形吸引子,討論了完全離散的IFS的吸引子與它的地址集之間的關(guān)系,理論分析了控制參數(shù)變化對圖形結(jié)構(gòu)變化規(guī)律的影響.同年,Van Loocke用2個線性的壓縮映射和2個包括復(fù)變量平方根的映射構(gòu)造了由4個映射組成的非線性IFS,在正多邊形和圓上生成了分形圖案[19].2010年,清華大學(xué)范申的博士論文《非線性迭代函數(shù)系與Schr?dinger算子的譜的分形性質(zhì)》[20],關(guān)于一列有向圖確定的非線性迭代函數(shù)系的有界變差、有界諧變與Gibbs-Lik測度存在性等問題進(jìn)行了深入的理論研究.

2 搜索迭代映射的極值點

(1)

(2)

min‖Df(x,y)‖

(3)

(4)

是一個在動力平面上具有4個90°旋轉(zhuǎn)對稱的迭代映射,可以在第一象限搜索指定參數(shù)下迭代映射的局部極值點.實驗表明：這個映射的混沌吸引子以及充滿Julia集的吸引域范圍可以控制在(x,y∈[-1.5,1.5])之內(nèi),因此,關(guān)于式(4),本文取動力平面的第一象限且(x,y∈[0,1.5])為指定參數(shù)下的迭代映射局部極值點的基本搜索域,以0.1為步長,在基本搜索域上共取16×16=256個初始點,用“步長加速法”搜索出在迭代終止限10-6下的滿足式(3)的N個局部極值點(其中N值隨參數(shù)變化而變化),為在參數(shù)空間劃分出不同動力學(xué)特性的參數(shù)區(qū)間,即構(gòu)造廣義M集做出了必要準(zhǔn)備.

表1給出了在式(4)的參數(shù)空間上選取7個參數(shù)的7個迭代映射在基本搜索區(qū)域上遍歷256個初始點,用“步長加速法”搜索出的互不相同的局部極值點.表中各迭代映射中的參數(shù)(α,β,γ)取定值,參數(shù)(λ,ω)取變值,即將參數(shù)λ和ω組成了5參數(shù)空間的1個參數(shù)斷面C,λ為水平坐標(biāo)軸,ω為縱坐標(biāo)軸,(ci,i=1,2,…,7)是參數(shù)斷面C上的7個參數(shù).表1說明:迭代映射(4)隨著參數(shù)的變化,從基本域出發(fā),搜索出的局部極值點的數(shù)量N是變化的,N個極值點的迭代軌道特性可以不同:有逃逸軌道、混沌軌道和吸引周期軌道;但N個極值點的軌道中可以具有相同的軌道特性,根據(jù)一個迭代映射在動力平面上的局部極值點的軌道特性將參數(shù)空間進(jìn)行有效劃分,構(gòu)造出參數(shù)截斷面上的廣義M集.

表1 7 個參數(shù)下的迭代映射的動力學(xué)特性(其中α=-0.57087,β=1.30842,γ=-0.86886)

Table 1 Dynamics of iterative mapping under 7 parameters(whereα=-0.57087,β=1.30842,γ=-0.86886)

參數(shù)ci(λi,ωi)極值點數(shù)N極值點序號極值點坐標(biāo)x yL指數(shù)極值點軌道特性軌道點的坐標(biāo)或混沌吸引子c1(0.943,0.800)610.3809620.550630-0.776367I:8周期I:{(-0.002,-0.642),(0.510,-0.369),20.2010000.694208-0.776367(0.642,-0.002),(0.369,0.510),30.3119190.800219-0.776367(0.002,0.642),(-0.510,0.369),40.645168-0.199000-0.776367(-0.642,0.002),(-0.369,-0.510)}50.3994380.608469-0.77636760.800219-0.305460-0.776367c2(-0.669,0.482)71-0.0330770.601000-0.278318I:1周期I:{(0,0)}20.2010000.694713-0.278318I:1周期II:{(-0.905,0.164),(0.905,-0.164)}30.6176140.051000-0.278318I:1周期III:{(-0.164,-0.905),(0.164,0.905)}40.900219-0.103897-0.603969II:2周期50.1245670.900219-0.603969III:2周期6-0.0986090.744235—逃逸70.7553210.097875—逃逸c3(1.349,0.211)210.5011100.520618-0.135510I:2周期I:{(0.415,0.701),(0.596,0.566)}20.3244380.633841-0.135510c4(-0.669,0.388)710.1411180.301000-0.370764I:1周期I:{(0,0)}20.557250-0.031884-0.370764I:1周期II:{(-0.860,0.215),(0.940,-0.071)}30.894750-0.065432-0.345125II:2周期III:{(-0.215,-0.860),(0.071,0.940)}40.1254190.894750-0.345125III:2周期50.2010000.706669-0.345125III:2周期6-0.1052500.794159—逃逸70.8035110.101000—逃逸c5(0.719,1.022)210.2136900.6010000.247352I:混沌I:2個極值點的軌道到達(dá)同一個混沌吸引子20.615980-0.1990000.247352c6(-0.691,0.352)710.1349630.601000-0.366819I:1周期I:{(0,0)}20.563500-0.001074-0.366819I:1周期II:混沌吸引子130.894750-0.0516060.047041II:混沌III:混沌吸引子240.1212770.8947500.047041III:混沌50.2100000.7266830.047041III:混沌6-1.052520.808234—逃逸70.8157820.101000—逃逸c7(1.225,1.118)310.4010000.777790—逃逸—20.3051810.801000—逃逸30.793809-0.299000—逃逸

*表1中符號“—”意為軌道逃逸,不存在L指數(shù)也沒有相應(yīng)圖形；表1中最后1項表示參數(shù)ci下的迭代映射fci(z)在動力平面上的吸引周期軌道上各周期點的坐標(biāo)值或出現(xiàn)的混沌吸引子情況,用符號“I、II 和III”表示該參數(shù)映射下的不同情況.

3 參數(shù)空間截面C上的廣義M集

式(4)的參數(shù)空間是5維的,由于計算屏幕可以清晰地表達(dá)由2個參數(shù)構(gòu)成的參數(shù)截面上的參數(shù)區(qū)域劃分情況,本文提出了通過在5個參數(shù)中固定3個參數(shù),考查另2個參數(shù)變化對迭代映射的動力學(xué)特性的影響來構(gòu)造參數(shù)斷面上廣義M集的方法.例如:本文采用固定3個參數(shù)(α,β,γ),將其余2個參數(shù)(λ,ω)組成一個參數(shù)空間截面C,構(gòu)造出該斷面上的廣義M集.

在參數(shù)斷面C上取不同參數(shù)點{ci,i=1,2,…,7}(見表1),相應(yīng)迭代映射(4)在動力平面(XOY)上有不同的動力學(xué)特性,例如,表中參數(shù)c7下的迭代映射的3個局部極值點的軌道都逃逸了.圖1顯示了用“步長加速法”數(shù)值計算出的表1中前6個參數(shù)下的迭代映射的各局部極值點的迭代軌道,其中參數(shù)c1的6個極值點的軌道分別到達(dá)了同一條8吸引周期軌道；參數(shù)c2和參數(shù)c4下的7個極值點的軌道分別到達(dá)了各自迭代映射的吸引不動點I、2個2吸引周期軌道II和III以及逃逸軌道；參數(shù)c3下的2個極值點的軌道分別到達(dá)了同一條2吸引周期軌道I；參數(shù)c5下的2個極值點的軌道分別到達(dá)了同一個混沌吸引子I；參數(shù)c6下的7個極值點的軌道分別到達(dá)了一個吸引不動點I,2個混沌吸引子II和III以及逃逸軌道.參數(shù)不同,I、II和III代表的對象不同.圖1打出了第1象限中16×16=256個搜索初始點的位置,繪圖窗口為:{x∈[-1.5,1.5],y∈[-1.5,1.5]}.

圖1 表1中各迭代映射的局部極值點軌道

本文在參數(shù)斷面C上選繪圖窗口{λ∈[-1.1,1.7],ω∈[-2,2]}為構(gòu)造廣義M集的參數(shù)區(qū)域范圍.在768×768的分辨率下,遍歷選取繪圖范圍內(nèi)768×768組參數(shù)中的每一組(λ,ω)參數(shù)與固定的參數(shù){α=-0.57087,β=1.30842,γ=-0.86886}一起構(gòu)造出一個相應(yīng)的迭代映射,用“步長加速法”搜索第1節(jié)所述的指定參數(shù)下的迭代映射的N個局部極值點.如果搜索出的N個局部極值點的所有迭代軌道均逃逸,則這個迭代映射在動力平面上的所有點的迭代軌道均逃逸,與參數(shù)斷面C上的參數(shù)組(λ,ω)相應(yīng)的繪圖窗口內(nèi)的像素點被著上白色,代表參數(shù)斷面C上“逃逸區(qū)域”中的1點；如果搜索出的N個局部極值點的迭代軌道有逃逸的、且有吸引周期的(Li<0,1≤i≤N),則迭代映射在動力平面上有吸引周期軌道的吸引域,所有周期軌道的吸引域的并集是這個迭代映射的充滿Julia集,與參數(shù)斷面C上的參數(shù)(λ,ω)相應(yīng)的繪圖窗口內(nèi)的像素點被著上黑色,代表參數(shù)斷面C上“吸引參數(shù)”區(qū)域中的1點；如果搜索出的N個局部極值點的迭代軌道有逃逸的、且有混沌的(Li>0,1≤i≤N),則迭代映射在動力平面上有混沌吸引子,所有混沌吸引子的并集是這個迭代映射的總的混沌吸引子,與參數(shù)截面C上的參數(shù)(λ,ω)相應(yīng)的繪圖窗口內(nèi)的像素點被著上深灰色,代表參數(shù)斷面C上“混沌參數(shù)”區(qū)域中的1點；如果搜索出的N個局部極值點的迭代軌道有逃逸的、也可以沒有逃逸的,但是既有混沌的也有周期的(Li>0或Lj<0|其中:1≤i，j≤N, 且i+j≤N),則迭代映射在動力平面上既有混沌吸引子也有充滿Julia集,與參數(shù)斷面C上的參數(shù)組(λ,ω)相應(yīng)的繪圖窗口內(nèi)的像素點被著上淺灰色,代表參數(shù)斷面C上“混合參數(shù)”區(qū)域中的1點.按照上述對參數(shù)區(qū)域的劃分方法,本文構(gòu)造出了參數(shù)截面C上的廣義M集,表1中7個參數(shù)點{(λi,ωi),i=1,2,…,7}在M集中的位置如圖2所示.本文稱白色為逃逸參數(shù)區(qū)域,黑色為吸引參數(shù)區(qū)域,淺灰色為混合參數(shù)區(qū)域以及深灰色為混沌參數(shù)區(qū)域.黑色區(qū)域參數(shù)可以用于構(gòu)造生成充滿Julia集圖形的迭代映射；淺灰色區(qū)域參數(shù)可以用于構(gòu)造生成充滿Julia集圖形和混沌吸引子圖形的迭代映射；深灰色區(qū)域參數(shù)可以用于構(gòu)造生成混沌吸引子圖形的迭代映射.

圖2 復(fù)映射式(4)參數(shù)截面C上的廣義M集

圖3是采用圖2(或表1)中前6組參數(shù)構(gòu)造出的迭代映射在動力平面上的充滿Julia集或混沌吸引子,圖3中標(biāo)出了各迭代映射在動力平面上的極值點的I、II和III軌道.觀察與圖3中參數(shù)c1,c2和c5相應(yīng)的圖形:圖3(a)和圖3(b)中的充滿Julia集、圖3(e)中的混沌吸引子都是4旋轉(zhuǎn)對稱的圖形；而與參數(shù)c3,c4和c6的相應(yīng)圖形:圖3(c)和圖3(d)中的充滿Julia集圖形是不完整的4旋轉(zhuǎn)對稱圖形；圖3(f)中吸引不動點軌道I的吸引域所表示的充滿Julia集是4旋轉(zhuǎn)對稱的圖形,而與混沌軌道II和III相應(yīng)的吸引子部分的圖形不是4旋轉(zhuǎn)對稱的圖形,因此,圖3(f)的整體圖形不是完整的4旋轉(zhuǎn)對稱圖形.

圖3 圖2的M集上6個參數(shù)下的迭代映射的充滿Julia集與混沌吸引子圖

由于式(4)是具有Z4對稱特性的迭代映射,因此,在第1象限搜索區(qū)域得到的局部極值點在動力平面上是Z4旋轉(zhuǎn)對稱分布的.如果搜索出所有這些旋轉(zhuǎn)對稱分布的極值點的軌道,就可以生成動力平面上的完整的Z4對稱的充滿Julia集或混沌吸引子圖形.如圖4所示,其中圖4(a)表明參數(shù)c3下的迭代映射在動力平面上有4條旋轉(zhuǎn)對稱分布的2周期吸引軌道,因此相應(yīng)的充滿Julia集是這4條吸引周期軌道的吸引域的并集；圖4(b)表明參數(shù)c4下的迭代映射在動力平面上有2組互成90°旋轉(zhuǎn)對稱分布的2周期吸引軌道和一條位于原點的1周期吸引軌道,共5條吸引周期軌道,因此相應(yīng)的充滿Julia集是這5條吸引周期軌道的吸引域的并集；而圖4(c)表明參數(shù)c6下的迭代映射在動力平面上有4條旋轉(zhuǎn)對稱分布的混沌軌道,每條混沌軌道的混沌吸引子由兩塊混沌區(qū)域組成,參數(shù)c6下的迭代映射在動力平面上共有8塊混沌區(qū)域組成；由于這個迭代映射在動力平面上還有一個在原點處的一周期吸引軌道,其吸引域就是這個迭代映射在動力平面上的充滿Julia集,參數(shù)c6下的迭代映射在動力平面上既有充滿Julia集又有混沌吸引子的完整的混合圖形如圖4(d)所示.

圖4 圖3中不完整圖形的補充圖形

圖4表明,雖然根據(jù)在動力平面的1/4搜索區(qū)域上搜索出的局部極值點的軌道特性能將參數(shù)平面進(jìn)行準(zhǔn)確的區(qū)域劃分,但從這樣的參數(shù)區(qū)域挑選參數(shù)構(gòu)造迭代映射并在動力平面上構(gòu)造完整充滿Julia集或混沌吸引子圖形時,應(yīng)該將搜索區(qū)域中獲得的局部極值點進(jìn)一步再旋轉(zhuǎn)90°、180°和270°,以找到動力平面上的所有局部極值點,并考察所有局部極值點的軌道特性.關(guān)于λ參數(shù)軸對稱分布的圖5是本文對式(4)在圖2的繪圖區(qū)域上關(guān)于每組參數(shù)下的迭代映射在動力平面的基本搜索區(qū)域上用“步長加速法”搜索出的局部極值點,并根據(jù)其4旋轉(zhuǎn)對稱的所有局部極值點軌道的動力學(xué)特性來對參數(shù)點進(jìn)行區(qū)域劃分的廣義M集.這個廣義M集中白色仍表示逃逸參數(shù)區(qū)域、深灰色和淺灰色仍分別表示混沌和混合參數(shù)區(qū)域.由于來自吸引參數(shù)區(qū)域的迭代映射在動力平面上的軌道的復(fù)雜性,本文用更多不同灰度顏色表示相應(yīng)參數(shù)的迭代映射在動力平面上的軌道條數(shù)并用數(shù)字組合“number1_number2”表示該區(qū)域參數(shù)可以構(gòu)造幾條(number1)幾周期(number2)軌道的迭代映射.這樣劃分參數(shù)斷面上的吸引參數(shù)區(qū)域以后,可以看到M集上吸引參數(shù)區(qū)域主要有3類不同的參數(shù)區(qū)域:1)迭代映射在動力平面上有1條或多條以原點為中心的周期軌道的參數(shù)區(qū)域.2)迭代映射在動力平面上有1條位于原點的1周期吸引軌道和多條吸引周期軌道關(guān)于原點對稱分布,但每條吸引周期軌道的連線不通過原點的參數(shù)區(qū)域,如圖5中的5:(1_1,4_2)參數(shù)區(qū)域，則表達(dá)了與該參數(shù)區(qū)域相對應(yīng)的迭代映射在動力平面上共有5條吸引周期軌道，其中有1條位于原點處的1周期軌道和4條不過原點的2周期軌道.3)迭代映射在動力平面上有4條旋轉(zhuǎn)對稱分布的吸引周期軌道的參數(shù)區(qū)域,如果把圖5中的M集形象地看成是1條“魚”,這樣的參數(shù)區(qū)域在“魚尾”部分,其中的參數(shù)可用于構(gòu)造動力平面上具有4條旋轉(zhuǎn)對稱分布的軌道.圖5(b)是圖5(a)中方框區(qū)域的放大圖,值得注意的是這種參數(shù)區(qū)域內(nèi)的不同參數(shù)下的迭代映射在動力平面上的迭代軌道的條數(shù)相同(4條),但旋轉(zhuǎn)對稱分布的軌道周期值隨參數(shù)的變化而變化,并有倍周期變化的特點.如表1中參數(shù)c3在圖5(a)中位于 “魚尾”參數(shù)區(qū)域,從圖4(a)可知,參數(shù)c3下的迭代映射在動力平面上有4條旋轉(zhuǎn)對稱分布的2周期軌道,從放大的圖5(b)中可以看到,參數(shù)實際上位于由 “4_2”參數(shù)帶分隔的4_2參數(shù)區(qū)域中.而位于“魚尾”區(qū)域中的獨立“小魚”部分更是出現(xiàn)了4_2、4_4和4_8的4條軌道的參數(shù)區(qū)域,相應(yīng)的迭代映射在動力平面上的4條旋轉(zhuǎn)對稱軌道的周期值隨著參數(shù)模值的增大從2周期變化到4周期、再變化到8周期,并且每個區(qū)域中間被更窄的 “4_4”和“4_8”參數(shù)帶分隔,其中為了看清“4_4和“4_8”隔離帶的存在,本文用白虛線覆蓋了代表“4”條軌道的隔離條帶.需要說明的是這幾條出現(xiàn)在魚尾部的4_2、4_4和4_8隔離帶是在加大了確定每個局部極值點軌道的周期值所需要去掉的瞬態(tài)(從3000次加大到10000次)后得到的(在3000次去瞬態(tài)的條件下,這些隔離帶的參數(shù)下的迭代映射的軌道條數(shù)是8條).在圖5(b)中的右上角附近8條吸引周期軌道區(qū)域由(4_1,4_3)參數(shù)區(qū)域和(4_1,4_6)參數(shù)區(qū)域組成；而在圖5(b)的“小魚”參數(shù)區(qū)域中的 “8_2”區(qū)域中的參數(shù)可構(gòu)造出有8條、2套4旋轉(zhuǎn)對稱分布的2周期吸引軌道的迭代映射,當(dāng)在λ參數(shù)軸上取參數(shù),即ω取值為0時,相應(yīng)的迭代映射在動力平面上有一套D4對稱分布的8條2周期軌道.

圖5 參數(shù)截面C上標(biāo)明軌道條數(shù)和周期值的廣義M集

4 構(gòu)造非線性迭代函數(shù)系

圖5所展示的廣義M集為有效構(gòu)造式(4)在動力平面上的混沌吸引子和充滿Julia集提供了可選參數(shù)區(qū)域,同時,也為用式(4)構(gòu)造非線性迭代函數(shù)系(NIFS)提供了可能.事實上,本文實現(xiàn)了通過在圖5所示的廣義M集的同一個吸引參數(shù)區(qū)域中選取參數(shù)構(gòu)造迭代映射,進(jìn)而構(gòu)造NIFS,并生成了相應(yīng)分形.本文所構(gòu)造的NIFS形式上如式(5)所示:

(5)

其中: {α=-0.57087,β=1.30842,γ=-0.86886};ci=(λi,ωi)取自圖5廣義M集中同一吸引參數(shù)區(qū)域;k是迭代映射數(shù)量或所選參數(shù)數(shù)量;Xi是fci(z)在動力平面上的充滿Julia集;X是k個迭代映射的充滿Julia 集的公共吸引域.由于fci(z)在動力平面上的動力學(xué)特性隨ci所在吸引參數(shù)區(qū)域的變化而變化, 具體的公共吸引域上分形的構(gòu)造方法也是變化的.

4.1 廣義M集上具有1條吸引周期軌道的參數(shù)區(qū)域

4.1.1 廣義M集上1_1參數(shù)區(qū)域

觀察圖5廣義M集中最大的吸引參數(shù)區(qū)域是1_1參數(shù)區(qū)域,在這個參數(shù)區(qū)域中任選一組參數(shù)(λ,ω)再結(jié)合固定參數(shù){α=-0.57087,β=1.30842,γ=-0.86886}就構(gòu)造出了一個如式(4)所述的動力平面上迭代映射,當(dāng)選取2個以上這樣的參數(shù)構(gòu)造迭代映射并將這樣的一組迭代映射定義為一個NIFS時,隨機迭代的結(jié)果只是出現(xiàn)了動力平面上的原點,沒有分形出現(xiàn).圖6表明:在1_1參數(shù)區(qū)域任選一個參數(shù)(λ,ω)=(0.905,0.286),相應(yīng)的迭代映射在動力平面上的基本搜索區(qū)域里有5個局部極值點,這5個局部極值點的軌道都被吸引到了原點,因此,這個迭代映射在充滿Julia集里面只有(0,0)點這一條吸引周期軌道.由式(4)可知,(0,0)點是所有1_1周期參數(shù)區(qū)域下的迭代映射的吸引不動點,因此,采用2組以上的參數(shù)(λ,ω)構(gòu)造的迭代映射所定義的NIFS,當(dāng)從其中的任意一個迭代映射的吸引不動點(0,0)(分形上的點)開始NIFS的隨機迭代時,得到的下一個點永遠(yuǎn)是(0,0)點.結(jié)果表明這個參數(shù)區(qū)域中的參數(shù)不能用于構(gòu)造有效的NIFS.

圖6 1_1參數(shù)區(qū)域的充滿Julia集及5個局部極值點軌道

4.1.2 具有1條高吸引周期軌道的參數(shù)區(qū)域

與圖5中黑色參數(shù)區(qū)域相應(yīng)的迭代映射在動力平面上有1條吸引周期軌道，這個參數(shù)區(qū)域表達(dá)為“1_number2”形式.在這些參數(shù)區(qū)域中選取2個以上靠得較近的參數(shù)就可以構(gòu)造如式(5)所示的迭代函數(shù)系NIFS.在NIFS中,任選一個迭代映射的吸引周期軌道上的任意1個吸引周期點作為初始迭代點,通過隨機挑選NIFS中的1個迭代映射,計算初始迭代點的迭代軌道上的新點；反復(fù)隨機挑選NIFS中的1個迭代映射,計算出迭代軌道上的下一個點,得到平面上的完整分形.

圖7是采用圖5中1_8參數(shù)區(qū)域中的3個相鄰參數(shù)(見表2)構(gòu)造的NIFS在動力平面的公共吸引域中的分形,3個迭代映射的充滿Julia集分別用不同灰度的顏色表示,圖7(a)中的中心區(qū)域是這3個迭代映射的公共吸引域,公共吸引域上顯示了這3個迭代映射各自的1條8吸引周期軌道,圖7(a)中的3個迭代映射的軌道點之間的黑色集合是用本節(jié)方法得到的2套4旋轉(zhuǎn)對稱分布的分形,圖7(b)是圖7(a)中位于第1象限附近的方框中的2個局部分形的放大圖,圖7(c)和圖7(d)是圖7(b)的進(jìn)一步放大圖.圖7說明參數(shù)選得靠近,其相應(yīng)的充滿Julia集的公共吸引域X幾乎是每個迭代映射的充滿Julia集Xi,由于各條軌道靠得很近,使得軌道點之間產(chǎn)生的分形集合非常小,局部放大后可見清晰的分形,注意到在公共吸引域中的完整分形是Z4對稱分布的.

4.2 具有多條原點在吸引周期軌道連線內(nèi)部的吸引參數(shù)區(qū)域

在圖5所示的廣義M集中,除了白色逃逸參數(shù)區(qū)域、深灰色混沌參數(shù)區(qū)域和淺灰色混合參數(shù)區(qū)域外,其余更多的不同灰度顏色代表的是吸引參數(shù)區(qū)域.除去黑色的吸引參數(shù)區(qū)域,其他區(qū)域代表的是一個迭代映射在動力平面上具有多條吸引周期軌道的參數(shù)區(qū)域,這樣的參數(shù)區(qū)域分成2大類:具有多條原點(0,0)在吸引周期軌道連線內(nèi)部的吸引參數(shù)區(qū)域和多條軌道圍繞原點Z4旋轉(zhuǎn)對稱分布的參數(shù)區(qū)域.

在具有多條原點在吸引周期軌道連線內(nèi)部的吸引參數(shù)區(qū)域中有2條周期軌道參數(shù)區(qū)域和4條周期軌道參數(shù)區(qū)域,如圖中的2_4、4_4、2_6、4_6、2_8、2_16……這樣的參數(shù)區(qū)域,由于相應(yīng)參數(shù)下的1個迭代映射有2條或4條高吸引周期軌道,用這樣的參數(shù)構(gòu)造的NIFS并構(gòu)造分形時,每個迭代映射的各條吸引周期軌道需要等概率地被選取,可以通過1個映射的多條軌道之間的幾何對應(yīng)關(guān)系來實現(xiàn).由于迭代映射式(4)在動力平面上的圖形具有Z4旋轉(zhuǎn)對稱特性,每個迭代映射的所有軌道上的所有周期點在動力平面上的分布也是Z4旋轉(zhuǎn)對稱分布的,因此,具有2條周期軌道的迭代映射,其2條周期軌道之間就具有90°旋轉(zhuǎn)對稱關(guān)系；而具有4條周期軌道的迭代映射,它的1條周期軌道通過旋轉(zhuǎn)90°、180°和270°就可以與它的另外3條軌道重合.對于由具有2條周期軌道的迭代映射構(gòu)造的NIFS,為了使具有這樣動力學(xué)特性的迭代映射構(gòu)造的NIFS式(5)能夠生成具有Z4對稱特性的分形,本文提出的方法是:選取任意一個迭代映射的任意一條軌道上的任意一個周期點作為初始迭代點,并隨機將其進(jìn)行0°或90°旋轉(zhuǎn)；通過隨機選取NIFS內(nèi)的一個迭代映射計算出這個點的一個新點,對這個新點再次進(jìn)行隨機的0°或90°旋轉(zhuǎn),并通過隨機選取NIFS內(nèi)的一個迭代映射計算出這個點的下一個點,直至迭代到指定的迭代次數(shù),得到NIFS在動力平面上的分形.當(dāng)進(jìn)行局部放大后,即可以得到清晰的局部分形.對于由具有4條周期軌道的迭代映射構(gòu)造的NIFS,為了使具有這樣動力學(xué)特性的迭代映射構(gòu)造的NIFS式(5)能夠生成具有Z4對稱特性的分形,本文提出的方法是:每次采用一個隨機選取的迭代映射計算下一個點之前,對當(dāng)前點進(jìn)行隨機的0°、90°、180°或270°旋轉(zhuǎn),以保證4條周期軌道被等概率地用到,其他迭代過程同具有2條周期軌道的NIFS一樣進(jìn)行.

圖8是采用圖5中2_8參數(shù)區(qū)域中的2個相鄰參數(shù)(見表2)構(gòu)造的NIFS在動力平面公共吸引域中的分形,2個迭代映射的充滿Julia集分別用不同灰度顏色表示,圖8(a)和圖8(b)分別是迭代映射fc1與迭代映射fc2的充滿Julia 集和其上的兩條8吸引周期軌道；圖8(c)中的淺灰色是這2個迭代映射的公共吸引域,其上顯示了這2個迭代映射各自的2條8吸引周期軌道以及相應(yīng)的分形,圖8(d)放大顯示了圖8(c)框中Z4旋轉(zhuǎn)對稱分布的局部分形圖；圖8(e)-圖8(h)進(jìn)一步放大了圖8(d).

在迭代映射具有多條原點在吸引周期軌道連線內(nèi)部的吸引參數(shù)區(qū)域中還有軌道條數(shù)為奇數(shù)的參數(shù)區(qū)域,如圖5中所示的3_8、3:(1_1,2_2)、5:(1_1,4_2)、3:(1_4,2_20)、5:(1_4,4_8)等吸引參數(shù)區(qū)域.由于迭代映射式(4)的Z4對稱性,這些參數(shù)區(qū)域?qū)?yīng)的迭代映射在動力平面上可能有多條相同的軌道周期值(3_8)(其中的2條8周期軌道之間具有90°旋轉(zhuǎn)對稱),也可能有不同的軌道周期值3:(1_1,2_2)或3:(1_4,2_20).當(dāng)用選取2個以上參數(shù)的迭代映射構(gòu)造一個NIFS時,NIFS的分形可以用NIFS中的1個迭代映射的2_number2或4_number2的1條軌道上的1個周期點作為初始迭代點進(jìn)行隨機迭代,并對其每一步得到的新點進(jìn)行隨機的(0°或90°)或(0°、90°、180°或270°)旋轉(zhuǎn),對其進(jìn)行NIFS中的迭代映射的隨機迭代,構(gòu)造出相關(guān)的分形；用另一條與其他軌道不具有旋轉(zhuǎn)對稱關(guān)系的周期軌道上的周期點作為一個初始點,對NIFS實施4.1.2所述的單條吸引周期軌道的迭代映射之間的隨機迭代方法,生成分形.因此,用這種具有奇數(shù)條軌道的迭代映射構(gòu)造NIFS時,1個NIFS可以生成2個分形,需要用不同的周期軌道上的初始點分別迭代得到.圖9是采用圖5中3:(1_4,2_20)參數(shù)區(qū)域中的2個相鄰參數(shù)(見表2)構(gòu)造的NIFS在動力平面上公共吸引域中的分形.2個迭代映射的充滿Julia集分別用不同灰度顏色表示,在公共吸引域中分別表示了2個迭代映射的1條4周期軌道和2條20周期軌道.圖9(a)中給出了在公共吸引域上用每個迭代映射的2條20周期軌道生成的分形；圖9(b)是在公共吸引域上用每個迭代映射的1條4周期軌道生成的分形；圖9(c)和圖9(d)分別是其相應(yīng)的分形放大圖.

圖8 來自2_8參數(shù)區(qū)域的2個迭代映射的分形

圖9 來自3:(1_4,2_20)參數(shù)區(qū)域的2個迭代映射的分形

當(dāng)選用2個以上來自3:(1_1,2_2)或5:(1_1,4_2)吸引參數(shù)區(qū)域的參數(shù)構(gòu)造NIFS時,由于4.1.1節(jié)所述的原因,這樣的NIFS只能生成由每個迭代映射的2條2周期軌或4條2周期軌隨機迭代的分形.圖10是用圖5中3:(1_1,2_2)吸引參數(shù)區(qū)域的參數(shù)c2與附近的另一個參數(shù)(見表2)構(gòu)成的迭代函數(shù)系(5)在2個充滿Julia集的公共吸引域上生成的分形及放大圖.

4.3 具有Z4旋轉(zhuǎn)對稱軌道的參數(shù)區(qū)域

如果稱圖5中的廣義M集是一條“魚”,則在魚尾處的參數(shù)區(qū)域的參數(shù)可以構(gòu)造出在動力平面上具有關(guān)于原點的Z4旋轉(zhuǎn)對稱分布的4條軌道的迭代映射.與前述的其他可以構(gòu)造具有4條軌道的迭代映射的參數(shù)區(qū)域不同,這個參數(shù)區(qū)域的相應(yīng)迭代映射在動力平面上的每條軌道連線的內(nèi)部區(qū)域不包含原點.“魚尾”參數(shù)區(qū)域下的迭代映射的軌道周期值從1變化到2,即有4_1和4_2參數(shù)區(qū)域；在參數(shù)λ軸附近的“小魚”內(nèi),有4_2、4_4和4_8參數(shù)區(qū)域.在這些參數(shù)區(qū)域里選用2個以上的參數(shù)構(gòu)造出的NIFS,其分形的構(gòu)造方法與前述4_4、4_6等吸引參數(shù)區(qū)域的NIFS的分形構(gòu)造方法一樣:選用NIFS中任意一個迭代映射中的一條周期軌道上的一個周期點作為初始迭代點,對其進(jìn)行隨機的(0°、90°、180°或270°)旋轉(zhuǎn),隨機選用NIFS中的一個迭代映射,計算出初始迭代點的下一個新點,并重復(fù)前述迭代過程,直至迭代到指定的迭代次數(shù),得到NIFS的公共吸引域上的分形.

圖10 來自3:(1_1,2_2)參數(shù)區(qū)域2個迭代映射的分形

圖11是采用圖5中“魚尾”處的4_1參數(shù)區(qū)域中的3個相鄰參數(shù)(見表2)構(gòu)造的NIFS在動力平面上公共吸引域中的分形,3個迭代映射的充滿Julia集分別用3個不同灰度顏色表示,圖11(a)中的淺灰色是這3個迭代映射的公共吸引域,公共吸引域上顯示了這3個迭代映射各自在4旋轉(zhuǎn)對稱分布的分形上的4個1周期不動點,圖11(b)是位于第1象限的局部分形的放大圖.

圖11 來自4_1參數(shù)區(qū)域的3個迭代映射的分形

觀察圖5(b),在“魚尾”的右上方有8:(4_1,4_3)和8:(4_1,4_6)參數(shù)區(qū)域.用這樣參數(shù)區(qū)域的參數(shù)構(gòu)造出的1個迭代映射,在動力平面上有兩套Z4旋轉(zhuǎn)對稱分布的吸引周期軌道,因此,在這個參數(shù)區(qū)域中選取2個以上的參數(shù)構(gòu)造NIFS時,這個NIFS對應(yīng)著2個分形.分形的構(gòu)造方法是選用NIFS中一組Z4旋轉(zhuǎn)對稱分布軌道的任意一個迭代映射中的一條周期軌道上的一個周期點作為初始迭代點,對其進(jìn)行隨機的(0°、90°、180°或270°)旋轉(zhuǎn),隨機選用NIFS中的一個迭代映射,計算出初始迭代點的下一個迭代點,并重復(fù)前述迭代過程,直至迭代到指定的迭代次數(shù),得到NIFS的公共吸引域上的一組Z4旋轉(zhuǎn)對稱軌道下的1個分形；通過選用NIFS中另一組Z4旋轉(zhuǎn)對稱軌道的任意一個迭代映射中的一條周期軌道上的一個周期點作為初始迭代點,重復(fù)前述過程,得到NIFS的另一個分形.

圖12是用圖5(b)中8:(4_1,4_3)參數(shù)區(qū)域的2個相鄰參數(shù)(見表2)構(gòu)成的NIFS在2個充滿Julia集的公共吸引域上分別用2個映射的4個旋轉(zhuǎn)對稱分布的1周期不動點軌道(圖12(a))和4個旋轉(zhuǎn)對稱分布的3周期軌道(圖12(b))生成的2個分形及放大圖.

在λ軸附近的“小魚”吸引參數(shù)區(qū)域中嵌套著3塊8_2參數(shù)區(qū)域,在這些區(qū)域中每一個參數(shù)都對應(yīng)著一個具有8條2周期軌道的迭代映射,這8條軌道組成了2套Z4旋轉(zhuǎn)分布的2周期軌道,參數(shù)區(qū)域中采用2個以上的參數(shù)構(gòu)造的NIFS,可以用構(gòu)造圖12的方法得到2個分形.值得注意的是:如果在λ軸上選取2個以上的參數(shù)可以構(gòu)造出由以D4對稱方式分布在動力平面上的8條2周期軌道的迭代映射構(gòu)成的

圖12 來自8:(4_1,4_3)參數(shù)區(qū)域的2個迭代映射的分形

圖13 來自λ軸上8_2參數(shù)區(qū)域的2個迭代映射的分形

NIFS.此時,從NIFS的任意一個迭代映射的8條軌道的任意一個周期點作初始迭代點,并將點進(jìn)行{I、R90、R180、R270、F、R90°F、R180°F或R270°F}的D4對稱點的隨機選取,隨機選用NIFS中的一個迭代映射,計算出該點的下一個迭代點,并重復(fù)前述迭代過程,直至迭代到指定的迭代次數(shù),將得到NIFS的公共吸引域上一個具有D4對稱的分形,其中I是2維單位矩陣、R90是圍繞原點的90°旋轉(zhuǎn)矩陣、F是關(guān)于X軸的反射矩陣.圖13是在λ軸上選取2個參數(shù)(見表2)所構(gòu)造的NIFS在其公共吸引域上2套8條2周期軌道和相應(yīng)的分形(圖13(a))及其第一象限的分形放大圖(圖13(b)).

表2 構(gòu)造圖7-圖13的參數(shù)

Table 2 Construct the parameters of fig.7 to fig.13

圖號參數(shù)ci=(λi,ωi)7c1=(0.944,0.822),c2=(0.947,0.809),c3=(0.957,0.800)8c1=(1.008,0.908),c2=(1.032,0.913)9c1=(0.338,1.514),c2=(0.337,1.506)10c1=(-0.670,0.523),c2=(-0.669,0.482)11c1=(1.437,0.493),c2=(1.422,0.539),c3=(1.422,0.593)12c1=(1.475,0.629),c2=(1.478,0.630)13c1=(1.480,0.000),c2=(1.494,0.000)

5 結(jié)束語