二值噪聲激勵下耦合欠阻尼雙穩(wěn)系統(tǒng)的隨機共振*

楊亭亭 張慧清

（西北工業(yè)大學理學院，西安 710072）

二值噪聲激勵下耦合欠阻尼雙穩(wěn)系統(tǒng)的隨機共振*

楊亭亭 張慧清

（西北工業(yè)大學理學院，西安 710072）

研究了二值噪聲激勵下耦合欠阻尼雙穩(wěn)系統(tǒng)的隨機共振問題.首先，數(shù)值模擬二值噪聲，研究了噪聲參數(shù)對二值噪聲輸出的影響；其次，分析了噪聲參數(shù)對系統(tǒng)輸出的影響，發(fā)現(xiàn)隨著噪聲強度的增大，粒子可以在兩個勢阱之間進行跳躍，而且跳躍的頻率隨著噪聲強度的增大而增大；最后，描述了噪聲對系統(tǒng)輸出功率譜以及信噪比的影響.結(jié)果發(fā)現(xiàn)在一定噪聲強度下，功率譜的輸出有峰的結(jié)構(gòu)，并且峰值在關(guān)鍵的噪聲處達到最大.特別地，對于不同的參數(shù)，信噪比的變化呈現(xiàn)非單調(diào)性，從而可以找到使信噪比峰值最大的最優(yōu)參數(shù).

二值噪聲，耦合欠阻尼系統(tǒng)，隨機共振，功率譜，信噪比

引言

在通訊、測量等過程中，噪聲常常會干擾到信號的傳送功能、降低信噪比，因此考察噪聲對動力系統(tǒng)的影響引起了人們的廣泛關(guān)注.隨機共振現(xiàn)象就是人們認識噪聲和利用噪聲的典型實例［1］.隨機共振作為非線性科學的分支之一，一直備受關(guān)注.近年來，它在理論上和實驗上也都取得了巨大的進展［2-4］.

在以往的研究中，大多數(shù)學者都假定外界噪聲是高斯的情形，然而這只是理想的噪聲，我們在現(xiàn)實中會遇到很多非高斯噪聲.

二值噪聲即隨機電報噪聲是一類典型的非高斯噪聲，是指等待時間服從指數(shù)分布的兩態(tài)過程［5］.一方面二值噪聲是真實噪聲的典型模型，它以電阻、電導、電壓或電流的形式表現(xiàn)出來，廣泛存在于金屬、雙極型晶體管、超導薄膜、隧道結(jié)等器件和材料中.另一噪聲是色噪聲，具有簡單的統(tǒng)計特性，在不同極限條件下二值噪聲可退化為高斯白噪聲或散粒白噪聲［6］，故研究二值噪聲對動力學系統(tǒng)行為的影響具有實際應用價值.二值噪聲誘導的隨機共振現(xiàn)象已經(jīng)引起了一些學者的關(guān)注.例如，文獻［7］研究了非對稱二值噪聲激勵下一些線性系統(tǒng)的隨機共振現(xiàn)象；文獻［8］研究了二值噪聲激勵下具有信號調(diào)制的一階線性系統(tǒng)的隨機共振現(xiàn)象.

隨機共振在各個學科領域有著廣泛的應用，其中研究較多的典型系統(tǒng)有：雙穩(wěn)系統(tǒng)、分形振子系統(tǒng)、過阻尼系統(tǒng)以及欠阻尼系統(tǒng)等，但是對于耦合系統(tǒng)的隨機共振研究不是很多.本文利用數(shù)值模擬的方法研究二值噪聲激勵下耦合欠阻尼雙穩(wěn)系統(tǒng)的隨機共振現(xiàn)象.

1 系統(tǒng)模型

考慮二階耦合欠阻尼雙穩(wěn)系統(tǒng)，它由下面的隨機微分方程來描述［9］：

其中i=1，2，r為阻尼系數(shù)，k為耦合強度.Vi（x）代表勢函數(shù)，定義為：

v是轉(zhuǎn)移速率，τ=1/v代表相關(guān)時間，噪聲強度定義為：

圖1 不用參數(shù)下的勢函數(shù)Fig.1 The potential function with different parameters

圖2 不同周期信號下系統(tǒng)的輸出Fig.2 Outputx-tcurves for various values of amplitude

當a→∞，τ→0，a2τ=D<∞時，二值噪聲退化為高斯白噪聲.我們采用文獻［10］給出的二值噪聲的數(shù)值模擬方法，圖3是不同噪聲強度下二值噪聲的狀態(tài)圖.由圖3可知隨著噪聲強度的不斷增大，二值噪聲在每個狀態(tài)的平均停滯時間變長.

圖3 二值噪聲狀態(tài)圖Fig.3 The state of dichotomous noise

2 二值噪聲激勵下的隨機共振現(xiàn)象

為了研究隨機共振現(xiàn)象，我們首先觀察噪聲對系統(tǒng)響應的影響，進而對系統(tǒng)的輸出做功率譜和信噪比進行分析.

2.1 系統(tǒng)位移響應

圖4模擬出了在a=1，k=0，A=0.15，r=0.75系統(tǒng)參數(shù)下不同噪聲強度下系統(tǒng)的位移響應.從圖4（a）中可以看出，當噪聲強度較小時，粒子只呆在右勢阱中，沒有跳躍現(xiàn)象.從圖4（b）～（d）可以看出隨噪聲強度的增大，粒子的跳躍現(xiàn)象開始出現(xiàn)，且跳躍的頻率隨之增加.值得注意的是，在適當?shù)脑肼晱姸认铝Ｗ拥奶S具有周期性，這時信號對系統(tǒng)進行了有效的調(diào)制.

2.2 功率譜

噪聲中弱信號的頻率有時是未知的，通過系統(tǒng)輸出的功率譜可以檢測出信號頻率.在本文中我們采用經(jīng)典譜估計的方法來研究功率譜，以離散傅立葉變換的幅度平方作為信號功率譜的度量.

圖4 不同噪聲強度下的系統(tǒng)輸出Fig.4 The output streams for different noise intensities

圖5為a=1，k=0，A=0.15，r=0.75的條件下，不同噪聲強度下系統(tǒng)輸出的頻譜圖.研究發(fā)現(xiàn)在特定噪聲強度下，系統(tǒng)功率譜輸出有峰值，并且峰值在輸入信號頻率的附近出現(xiàn).進一步地我們觀察到，隨著噪聲強度的增大，系統(tǒng)輸出功率譜的峰值隨著噪聲強度的增大先增大后減少，呈現(xiàn)非單調(diào)的依賴關(guān)系.從而可知，噪聲能誘導隨機共振現(xiàn)象.

2.3 信噪比

下面采用信噪比（SNR）作為量化指標來研究系統(tǒng)的隨機共振現(xiàn)象.我們采用文獻［11］提出的信噪比的數(shù)值模擬方法.本文采用的信噪比定義為輸出信號的功率譜與噪聲功率譜的比值：

圖5 系統(tǒng)x的輸出功率譜Fig.5 The power spectrum of x

圖6給出了信噪比曲線作為噪聲強度的函數(shù)隨阻尼系數(shù)的變化.對于固定的阻尼系數(shù)，信噪比隨著噪聲強度的增大先減小后增大再減小，信噪比在某噪聲強度處出現(xiàn)局部極大值，這說明系統(tǒng)會出現(xiàn)隨機共振現(xiàn)象.同時隨著阻尼系數(shù)的增大，信噪比曲線的峰值逐漸右移，且該峰值先增大后減小，因此我們可以找到使系統(tǒng)發(fā)生隨機共振的最佳阻尼系數(shù).

圖6 不同阻尼系數(shù)下的信噪比函數(shù)Fig.6 The SNR functionswith different damping parameter

圖7給出了不同耦合強度下信噪比曲線的圖像，在特定耦合強度下，我們展示了在強阻尼系數(shù)r =0.75（實線）和弱阻尼系數(shù)r=0.05（虛線）下系統(tǒng)x（紅線）和系統(tǒng)y（藍線）的信噪比曲線.從圖中可以觀察到，當耦合強度為0時，相對于系統(tǒng)x，系統(tǒng)y的信噪比曲線向左移且峰值較大.在強阻尼系數(shù)下，對于任意的耦合強度系統(tǒng)都有隨機共振的產(chǎn)生，而對于弱阻尼系數(shù)，改變耦合強度系統(tǒng)不能產(chǎn)生隨機共振.值得注意的是，隨著耦合強度的增加，兩個系統(tǒng)的信噪比曲線逐步趨于一致.在圖8中我們進一步探索了耦合強度對系統(tǒng)信噪比輸出的影響.可以觀察到，隨著耦合強度的增大，信噪比峰值先增大后減少，且向右移動.由此可知我們可以找到增強隨即共振的最優(yōu)耦合強度.圖9中的結(jié)果，展示了信號幅值A對信噪比的影響.隨著信號幅值的增大，信噪比峰值增大，由此可知較大的信號幅值更有利于隨機共振的產(chǎn)生.

圖7 不同耦合強度下的信噪比函數(shù)Fig.7 The SNR functionswith differentcouple strength

圖8 不同耦合強度下的信噪比函數(shù)Fig.8 The SNR functionswith different couple strength

圖9 不同信號幅值下的信噪比函數(shù)Fig.9 The SNR functions with different signal amplitude

圖10分析了噪聲幅值a對系統(tǒng)輸出信噪比的影響.可以看出當噪聲幅值過小或者過大時，隨機共振現(xiàn)象都不能發(fā)生.當a取適當?shù)闹禃r，信噪比峰值隨著a的增大呈現(xiàn)出非單調(diào)依賴關(guān)系.隨著a的增大，信噪比峰值先增大再減小且逐漸左移.同時可以觀察到，當a值增大到一定程度時，二值噪聲的信噪比曲線和高斯白噪聲的基本一致，這是由于當二值噪聲的幅值越來越大時，隨著相關(guān)時間的減小，二值噪聲可以退化為高斯白噪聲.

圖10 不同噪聲幅值下的信噪比函數(shù)（gwn代表高斯白噪聲）Fig.10 The SNR functionswith different noise amplitude

3 結(jié)論

本文研究了當系統(tǒng)受二值噪聲作用時，耦合欠阻尼雙穩(wěn)系統(tǒng)的隨機共振現(xiàn)象，分析了噪聲參數(shù)以及系統(tǒng)參數(shù)對系統(tǒng)輸出功率譜和信噪比的影響.結(jié)果表明：

1）系統(tǒng)輸出功率譜峰值隨輸入噪聲強度呈現(xiàn)非單調(diào)依賴關(guān)系.

2）當取定系統(tǒng)其它參數(shù)時，系統(tǒng)輸出信噪比隨噪聲強度的增大先減小后增大再減小，進而可以找到增強信噪比的噪聲強度.

3）可以找到最優(yōu)的耦合強度和阻尼系數(shù)使信噪比的峰值達到最大.

4）較大的輸入信號幅值能提高系統(tǒng)的輸出信噪比.

1 Benzi R，Sutera A，Vulpiani A.The mechanism of stochastic resonance.Journal of Physics A：Mathematical and General，1981，14（11）：L453

2 Fauve S，Heslot F.Stochastic resonance in a bistable system.Physics Letters A，1983，97（1）：5～7

3 Gammaitoni L，H?nggi P，Jung P，et al.Stochastic resonance.Reviews ofmodern physics，1998，70（1）：223

4 焦賢發(fā)，王俊琦，王如彬.突觸噪聲作用下的IF閾值神經(jīng)元模型的隨機共振.動力學與控制學報，2010，8（3）：273～276（Jiao X F，Wang JQ，Wang R B.Stochastic resonance of an integrate-and-fire neuronmodelwith threshold driven by synaptic noise.Journalof Dynamicsand Control，2010，8（3）：273～276（in Chinese））

5 Gardiner C W.Handbook of stochastic methods.Berlin：Springer，1985

6 Broeck C V.On the relation between white shot noise，Gaussian white noise，and the dichotomic Markov process. Journal of Statistical Physics，1983，31（3）：467～483

7 Li J H.Phenomenon of stochastic resonance caused by multipicative asymmetric dichotomous noise.Physical Review E，2006，74（5）：051115-1～051115-9

8 Jin Y F，Xu W，Xu M，etal.Stochastic resonance in linear system due to dichotomous noisemodulated by bias signal.Journal of Physics A：Mathematical and General，2005，38（17）：3733～3742

9 Kenfack A，Singh K P.Stochastic resonance in coupled underdamped bistable systems.Physical Review E.，2010，82（4）：046224

10 L′Heureux I，Kapral R.Direct simulation of dichotomous noise-induced transitions in a bistable system.The Journal of Chemical Physics，1989，90：2453～2459

11 Mitaim S，Kosko B.Adaptive stochastic resonance.Proceedings of the IEEE，1998，86（11）：2152～2183

STOCHASTIC RESONANCE IN COUPLED UNDERDAMPED BISTABLE SYSTEMS DRIVEN BY SYMMETRIC DICHOTOMOUSNOISES*

Yang Tingting Zhang Huiqing

（Northwestern Polytechnical University，Xi′an 710072，China）

The stochastic resonance（SR）in coupled underdamped bistable systems induced by dichotomous noises is studied in this paper.Firstly，the effect of noise parameter on the system output is analyzed.For large noise intensity，the hopping of the particles between two potential wells is observed.In addition，with the increasing noise intensity，the switching between the two wells is found to increase.Finally，the effect of noise on the output power spectrum and spectral power of the system are characterized.It is found that the power spectrum of the system at some noise intensity has a sharp peak，and the peak value ismaximized at a critical value of noise intensity.In particular，for different parameters，a non-monotonic behavior of signal-noise-ratio（SNR）is shown.And the optimum system parameter is found where the SNR peak value reaches amaximum.

dichotomous noise，coupled underdamped bistable systems，stochastic resonance，spectral power，signal-noise-ratio

16 January 2015，revised 26 February 2015.

E-mail：ytt107106@163.com

10.6052/1672-6553-2015-023

*The project supported by the National Natural Science Foundation of China（11102157）.

2015-01-16收到第1稿，2015-02-26收到修改稿.

*國家自然科學基金資助項目（11102157）

E-mail：ytt107106@163.com