一類變系數(shù)Camassa-Holm方程的精確尖波解

張萬芹,陸博,馬騰飛

（河南科技學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,河南新鄉(xiāng)453003）

非線性問題是近代學(xué)術(shù)發(fā)展中比較前沿的課題.在科學(xué)技術(shù)的發(fā)展過程中人們發(fā)現(xiàn),自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域中非線性問題的作用越來越突出.在各類學(xué)科中都普遍存在非線性問題,而且這些問題大都可以被非線性常微分方程或非線性偏微分方程進(jìn)行恰當(dāng)?shù)拿枋?因此,很多科技工作者都投身于研究如何求解這些非線性方程,以便在科研過程中利用適合的方法得到需要的結(jié)果,這些成果不僅完善了本學(xué)科的研究,還可以促進(jìn)相應(yīng)學(xué)科的進(jìn)步和發(fā)展[1].

近年來,在非線性動(dòng)力學(xué)與控制學(xué)的研究中,比較熱點(diǎn)的課題是對(duì)非線性偏微分方程行波解的研究[2-12].求非線性方程中的精確解,尤其是方程的孤立波解,是面對(duì)高階非線性偏微分時(shí)的必要問題,于是很多新的方法被發(fā)現(xiàn)以用來獲得各類系統(tǒng)的孤立波解,如：齊次平衡法、Bcklund變換法、雙曲函數(shù)法等[4-6].

1993年,Camassa和Holm用物理方法推導(dǎo)出了標(biāo)準(zhǔn)的Camassa-Holm方程（簡(jiǎn)稱為C-H方程）,并且推導(dǎo)出了淺水波波動(dòng)方程的孤立波解.這種孤立波解的波峰并不是光滑的,也就是在波峰出現(xiàn)了尖點(diǎn),因此被稱為孤立尖解[13].自從這種具有連續(xù)但不光滑的孤立解被Camassa和Holm找到后,受到了眾多學(xué)者的關(guān)注與研究[10-12].由于C-H方程保留的運(yùn)動(dòng)信息比Benjamin Bona Mahonyequation方程和Korteweg-de Vries方程中保留的更多,因此對(duì)C-H方程進(jìn)行深入研究很有必要.

1 變系數(shù)Camassa-Holm方程的精確解

在獲得變系數(shù)C-H方程精確解的時(shí)候,可以借助第一種橢圓方程,來求方程的精確解,并用橢圓函數(shù)來表達(dá)方程的周期尖波解.

考慮變系數(shù)廣義Camassa-Holm方程

式（1）中：k,c和a是給定的常數(shù).

首先引入變換

式（2）中的b為待定常數(shù),把式（2）代入（1）中可得

然后對(duì)方程（3）兩邊進(jìn)行一次積分

再積分可得

式（5）中：l,m,n,q,z為待定常數(shù),將方程（5）代入到方程（4）得到

整理可得

將變換方程（7）代入方程（6）整理后,令各項(xiàng)系數(shù)為0,得到

此時(shí)取b為方程

的實(shí)根,并且將式（7）式（8）代入到（5）得到

所以可以看出,只要把方程（10）的解求出來,就可以通過方程（7）、（3）來得到方程（1）的解.

2 橢圓函數(shù)表達(dá)的精確解

上面所得的方程（10）是第一種橢圓方程,現(xiàn)分兩種情況進(jìn)行討論.

情況1

在式（11）中

而（12）式可化為

在（15）式中

3 小結(jié)

本文主要進(jìn)行了兩類非線性方程精確解的研究.廣義Camassa-Holm方程是常見的非線性方程,本文利用構(gòu)造輔助微分方程結(jié)合廣義Camassa-Holm方程計(jì)算出精確解,然后聯(lián)系第一種橢圓方程的性質(zhì)和條件對(duì)精確解給出表達(dá)式.方法解決了變系數(shù)Camassa-Holm方程求解問題,推廣了文獻(xiàn)[10-12]的結(jié)果.