放寬靜穩(wěn)定度飛機(jī)時間延遲穩(wěn)定邊界

陳曉明，孫紹山，陶呈綱，唐勇

1. 北京航空航天大學(xué) 航空科學(xué)與工程學(xué)院，北京 100083

2. 中國航空工業(yè)成都飛機(jī)設(shè)計研究所 殲擊機(jī)綜合仿真航空科技重點實驗室，成都 610091

放寬靜穩(wěn)定度設(shè)計是通過配置重心與焦點的相對位置以降低配平阻力和改善飛機(jī)機(jī)動性能的一種主動控制技術(shù)[1]?，F(xiàn)代戰(zhàn)機(jī)采用放寬靜穩(wěn)定度設(shè)計方案能夠提高其最大可用過載、大迎角機(jī)動性及過失速機(jī)動能力等關(guān)鍵性能[2]。

飛機(jī)設(shè)計初步階段的操穩(wěn)評估是影響整個布局方案與飛行控制安全的關(guān)鍵環(huán)節(jié)[3]，其傳統(tǒng)作法主要是依據(jù)基于飛機(jī)本體動力學(xué)方程的靜態(tài)評估準(zhǔn)則(包括靜穩(wěn)定導(dǎo)數(shù)Cmα、倍幅時間T2、最大低頭力矩等)進(jìn)行逐項考察[4]。但在工程實踐中，一方面這些準(zhǔn)則的邊界往往來自于經(jīng)驗，易致使偏于保守的評估結(jié)果；另一方面，對于即便滿足靜態(tài)準(zhǔn)則的布局設(shè)計，在依據(jù)飛行品質(zhì)的要求設(shè)計控制增穩(wěn)系統(tǒng)后，仍可能出現(xiàn)因電傳飛控系統(tǒng)整體時延帶來的復(fù)雜動力學(xué)特性[5](如分支與極限環(huán)等)所導(dǎo)致的控制震蕩乃至發(fā)散不可控的情況。因此，一方面，在給定戰(zhàn)機(jī)布局條件下，對其閉環(huán)控制最大允許時間延遲邊界的確定，將有助于指導(dǎo)電傳飛控系統(tǒng)的后續(xù)詳細(xì)設(shè)計；而另一方面，隨著電傳飛控技術(shù)的持續(xù)發(fā)展，其固有時間延遲也在逐步減小，這對設(shè)計更為先進(jìn)、本體更為靜不穩(wěn)定的飛機(jī)布局是有利的，在給定飛控系統(tǒng)最小可達(dá)時延能力時，確定其所能支撐的最大靜不穩(wěn)定布局邊界，亦將有助于初步設(shè)計階段布局方案的高效迭代。

針對戰(zhàn)機(jī)縱向靜穩(wěn)定度所對應(yīng)飛控系統(tǒng)時間延遲允許邊界的確定問題，以縱向短周期方程為例，首先分析了靜穩(wěn)定度與短周期方程中各參數(shù)的關(guān)系，隨后基于飛行品質(zhì)要求設(shè)計縱向增穩(wěn)控制律，同時引入等效輸入時間延遲建立縱向閉環(huán)特征方程，利用根軌跡趨勢理論并結(jié)合數(shù)值計算方法求解了不同靜穩(wěn)定度下系統(tǒng)的時間延遲穩(wěn)定邊界，最后分析了短周期方程中的動導(dǎo)不確定性及舵效不確定性對該邊界的影響。該時間延遲邊界求解方法，同樣適用于對戰(zhàn)機(jī)橫航向的最大允許時間延遲的確定，這對于在初步設(shè)計階段的飛機(jī)布局設(shè)計和飛控系統(tǒng)時間延遲指標(biāo)確定，具有一定的工程指導(dǎo)意義。

1 戰(zhàn)斗機(jī)電傳飛控系統(tǒng)的時間延遲

戰(zhàn)斗機(jī)電傳飛控系統(tǒng)的主要構(gòu)成如圖1所示，本節(jié)將描述在工程實踐中各子環(huán)節(jié)具有的時延情況。

1) 傳感器。用于飛行控制系統(tǒng)的信號主要包括大氣數(shù)據(jù)(氣流角、動靜壓等)、慣性運動數(shù)據(jù)(三軸速率、三軸過載等)，當(dāng)前所采用的嵌入式大氣數(shù)據(jù)傳感系統(tǒng)[6]和光學(xué)陀螺慣導(dǎo)方案，相比于原機(jī)械風(fēng)標(biāo)和機(jī)械陀螺，信號采集的穩(wěn)定性和準(zhǔn)確性都大幅提升，帶來的信號測量時延極小，一般不超過2個測量周期。

2) 作動器。目前作動器的驅(qū)動方式較多，包括傳統(tǒng)的液壓、電動以及日漸成熟的電動靜液作動器(Electro-Hydrostatic Actuator, EHA)[7]等，從目前的工程實踐來看，這一環(huán)節(jié)的時間延遲是顯著的，一般來說在50～100 ms量級。

3) 總線傳輸。飛控系統(tǒng)總線傳輸?shù)臅r間延遲與飛行控制周期相關(guān)。參照MIL-STD-1553標(biāo)準(zhǔn)[8]，以15 ms周期為例，其對應(yīng)的時延最大約22.5 ms，隨著未來飛控系統(tǒng)總線傳輸技術(shù)向光傳方案方向的發(fā)展[9]，這部分時延將進(jìn)一步降低。

4) 飛行員操縱時延。飛行員從接收到狀態(tài)信息反饋到做出操縱的時間延遲主要來自飛行員的反應(yīng)時間，一般在200 ms左右[10]，加之飛行員指令輸入單元(Pilot Input Unit, PIU)的40 ms左右時延，總時延約在240 ms量級。盡管飛行員操縱時延較大，但其輸入是控制增穩(wěn)系統(tǒng)(Control Augmentation System, CAS)的外部執(zhí)行指令，因此在考慮CAS穩(wěn)定性的時候，并不將該時延納入系統(tǒng)時延。這一部分操縱時延主要涉及的問題是飛行員誘發(fā)震蕩(Pilot Induced Oscillations, PIO)[11]現(xiàn)象。

圖1 飛行控制系統(tǒng)的主要構(gòu)成

總體來說，主要考慮飛控系統(tǒng)中傳感器、作動器及總線傳輸中存在的時間延遲，當(dāng)前飛控系統(tǒng)總體時延大約在120 ms，將統(tǒng)一考慮為等效輸入時延來探討對閉環(huán)系統(tǒng)的影響。

2 靜穩(wěn)定度與短周期方程關(guān)系

以縱向短周期模態(tài)為例，分析靜穩(wěn)定度與短周期方程參數(shù)間的關(guān)系。靜穩(wěn)定度定義為

Kn=hn-h

(1)

式中：hn為中性點位置；h為重心位置。在低中速飛行的常規(guī)迎角區(qū)域，hn基本不變[12]。式(1)表明，靜穩(wěn)定度與重心位置基本線性相關(guān)，在飛機(jī)構(gòu)型不變的情況下，通過配置重心位置即可實現(xiàn)對其靜穩(wěn)定度的設(shè)計?？v向靜穩(wěn)定系數(shù)為

Cmα=CLα(h-hn)=-CLαKn

(2)

式中：CLα為升力迎角系數(shù)。縱向短周期方程可以表達(dá)為[13]

(3)

式中:各參數(shù)具體表達(dá)式為

(4)

以上各項系數(shù)中，配平阻力系數(shù)隨著靜穩(wěn)定度的放寬而減?。欢婷娓┭隽叵禂?shù)因靜穩(wěn)定度放寬時導(dǎo)致舵面力臂縮短而減?。黄溆鄥?shù)隨靜穩(wěn)定度放寬時無明顯變化。至此，分析了短周期方程中各參數(shù)隨靜穩(wěn)定度Kn的變化關(guān)系。

以F-16飛機(jī)為對象[14]，通過迎角α、油門位置cτ及升降舵偏度δe對飛機(jī)進(jìn)行配平，在狀態(tài)點H=100 m,Ma=0.46處，得到飛機(jī)配平迎角及油門位置隨靜穩(wěn)定度變化曲線如圖2所示。可以看出，隨著靜穩(wěn)定度的放寬，飛機(jī)所需的配平迎角將減小，配平阻力將減小，相應(yīng)的油門位置cτ將減小。

短周期方程A、B矩陣中各參數(shù)隨靜穩(wěn)定度變化曲線如圖3所示，A11代表A矩陣中第一行第一列元素，其他類似?？梢钥吹剑S著靜穩(wěn)定度的放寬，A21項將產(chǎn)生較大的變化，該變化主要來自于Cmα隨靜穩(wěn)定度的變化；控制矩陣B中的B21項也有明顯變化，該變化主要來自于重心后移導(dǎo)致的舵面力臂減小從而引起舵面俯仰力矩系數(shù)Cmδe的降低。A、B陣中其他參數(shù)隨靜穩(wěn)定度的變化不明顯。

圖2 配平迎角及油門位置隨靜穩(wěn)定度變化曲線

圖3 短周期方程系數(shù)隨靜穩(wěn)定度變化曲線

短周期方程開環(huán)根軌跡隨靜穩(wěn)定度的變化曲線如圖4所示?？梢钥闯?，隨著靜穩(wěn)定度的放寬，飛機(jī)在該處的開環(huán)根軌跡朝著右半平面的方向移動，其自然模態(tài)的頻率和阻尼比逐步降低，即飛機(jī)的穩(wěn)定性逐步降低。

圖4 開環(huán)根軌跡隨靜穩(wěn)定度變化曲線

以上研究分析了縱向短周期方程的開環(huán)特性隨靜穩(wěn)定度的變化關(guān)系。為研究閉環(huán)系統(tǒng)的延遲穩(wěn)定邊界問題，依據(jù)飛行品質(zhì)的要求，采用極點配置方法設(shè)計增穩(wěn)反饋控制律[15]，控制律設(shè)計為u=Kx，則得到其閉環(huán)系統(tǒng)方程為

(5)

第1節(jié)中指出，現(xiàn)有飛控系統(tǒng)架構(gòu)下，閉環(huán)系統(tǒng)的延遲主要考慮為等效輸入延遲，引入輸入時延τ后對式(5)作Laplace變換，閉環(huán)控制系統(tǒng)變?yōu)?/p>

sx=Ax+BKxexp(-τs)

(6)

det(sI-A-BKexp(-τs))=0

(7)

3 時間延遲穩(wěn)定邊界

針對式(7)所代表的特征方程，研究的思路為：通過求解出其特征根穿越虛軸時對應(yīng)的時間延遲和穿越虛軸的方向，來研究閉環(huán)特征方程隨時間延遲變化所引起的穩(wěn)定性變化趨勢。代入短周期方程式(3)展開后可以得到特征方程為

s2-tr(A)s-tr(BK)sexp(-τs)+

ηexp(-τs)+det(A)=0

(8)

式中：tr(·)代表矩陣的跡；det(A)為A的行列式；η=A11BK22+A22BK11-A12BK21-A21BK12。將閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程重新表達(dá)為

(9)

做完放療，醫(yī)生確定可以正常去上班，可單位的領(lǐng)導(dǎo)卻讓他在家多休息一段時間。因為周啟明所在辦公室里有個孕婦，擔(dān)心周啟明身上的輻射。

(10)

其中，

(11)

相應(yīng)地，可以得到

(12)

將式(9)乘以(1+jTck)n，并代入式(12)可得

h(s,Tck)=(1+jTck)nCE(s,τck)=

(13)

由于虛軸上，Pl(sγ)僅與穿越頻率ωck相關(guān)，則式(13)的解僅與ωck、Tck相關(guān)，按照虛部和實部分別整理，得到

h(s,Tck)|s=jωck=hR(ωck,Tck)+jhI(ωck,Tck)

(14)

當(dāng)式(14)為零成立時，其虛部和實部均為零，即

(15)

根據(jù)文獻(xiàn)[18]，式(15)成立的必要條件為其對應(yīng)的sylvester矩陣的行列式為零，即式(20)成立。當(dāng)式(20)成立時，以下條件中至少有一項成立：① 存在相應(yīng)的(ωck,Tck)，使得式(15)成立；②hR、hI的最高次系數(shù)an(ω)=bn(ω)=0；③hR的系數(shù)ai(ωck)=0；④hI的系數(shù)bi(ωck)=0。

若式(20)無解，則說明在所有的時間延遲條件下，時延閉環(huán)系統(tǒng)均不存在穩(wěn)定性的變化，即保持穩(wěn)定或不穩(wěn)定的狀態(tài)。若式(20)存在解，通過排除與檢查條件②③④則可以在條件①成立的前提下，求出所有的ωck及與其相對應(yīng)的Tck的值，且ωck與Tck為一一對應(yīng)關(guān)系，對應(yīng)的時間延遲量通過式(11)給出。

至此，得到所有虛軸穿越處的頻率ωck及其對應(yīng)的Tck，但此處對應(yīng)的時間延遲τck為周期解，即其個數(shù)為無限個。判斷τck對應(yīng)的虛軸穿越引起的系統(tǒng)穩(wěn)定性變化，將是求取時延穩(wěn)定邊界需要解決的問題。

方程特征根在虛軸穿越處對時延τ的導(dǎo)數(shù)定義為

(16)

根據(jù)隱函數(shù)的求導(dǎo)原則，并結(jié)合特征方程式(9)可以得到

(17)

對穩(wěn)定性的分析，關(guān)心的是根軌跡穿越是從C+→C-，即從右半平面到左半平面的穩(wěn)定穿越；或從C-→C+的不穩(wěn)定穿越。因此研究τck變化時，方程特征根s的實部的變化趨勢，定義根軌跡趨勢(Root Tendency, RT)為[19]

(18)

結(jié)合式(17)得到

(19)

(20)

結(jié)合式(12)及在穿越處特征根為純虛數(shù)的特點，可看出根軌跡趨勢的正負(fù)與時延τck無關(guān)，即在穿越點處的RT僅與ωck相關(guān)[19]。穿越處對應(yīng)的時延τck可通過式(11)給出，通過分析在每個時延區(qū)間對應(yīng)的不穩(wěn)定根個數(shù)即可給出閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定時延區(qū)間，具體細(xì)節(jié)將在第4節(jié)的算例中給出。值得一提的是，隨著時延的增加，特征方程式(9)的根個數(shù)將增多，其動態(tài)特性將變得更加復(fù)雜，這點將在后面的根軌跡圖中得到展現(xiàn)。

4 時間延遲穩(wěn)定邊界算例與應(yīng)用

現(xiàn)以F-16飛機(jī)的短周期方程為例，在不同靜穩(wěn)定度情況下，求解其時間延遲穩(wěn)定邊界，求得的關(guān)系也可以用于在飛控系統(tǒng)時間延遲已知的條件下，確定可放寬靜穩(wěn)定度的邊界。

4.1 靜穩(wěn)定度與時延邊界的關(guān)系

以前文提到的F-16在馬赫數(shù)Ma=0.46、高度H=100 m、配平迎角α0=2.08°處的狀態(tài)為例，其基本的重心位置為重心在焦點前方0.05c位置，即靜穩(wěn)定度為Kn=0.05，對應(yīng)的短周期矩陣為

(21)

(22)

相應(yīng)的式(14)展開為

h(s,Tck)=CE(s,τck)(1+jTck)=

[tr(A)ωck-tr(BK)ωck]·T+

[-tr(A)ωck-tr(BK)ωck]

(23)

其對應(yīng)的sylvester矩陣為

RT(hR,hI)=

(24)

由式(24)可以得到

說明該閉環(huán)系統(tǒng)僅存在一個穿越頻率，即只存在一個根軌跡趨勢值。

相應(yīng)的延遲為

τc1=0.280 3+0.398 1pπp=0,1,…,∞

相應(yīng)的根軌跡趨勢用到的參數(shù)為

(25)

在該處根軌跡趨勢為RT=+1，表明該穿越頻率ωc1對應(yīng)的穿越為從C-→C+的不穩(wěn)定穿越，根據(jù)時延區(qū)間與根軌跡趨勢關(guān)系得到的分段時間延遲區(qū)間的穩(wěn)定性情況如表1所示，從表中可以看出，僅在τ∈[0,0.280 3]s區(qū)間內(nèi)，該閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，即該靜穩(wěn)定度條件下，其閉環(huán)時間延遲穩(wěn)定邊界為τ=0.280 3s。

表1 分段時延區(qū)間穩(wěn)定性

改變飛機(jī)的靜穩(wěn)定度，按照此方法可以求出Kn在一定范圍內(nèi)變化時所對應(yīng)的時間延遲邊界，如圖5所示。圖中標(biāo)注了兩條邊界，左邊一條為Kn=0時對應(yīng)的時間延遲邊界值，針對算例中的飛機(jī)，其值τ=0.260 3s，該值為保證飛機(jī)可控時，放寬飛機(jī)到靜不穩(wěn)定條件下，飛控系統(tǒng)可接受的最大時間延遲。值得一提的是，在電傳飛控增穩(wěn)系統(tǒng)出現(xiàn)之前，考慮到飛行員的操縱負(fù)擔(dān)與數(shù)百毫秒量級的操縱延遲，當(dāng)時戰(zhàn)斗機(jī)是不允許出現(xiàn)靜不穩(wěn)定布局的，該計算結(jié)果也對該現(xiàn)象提供了佐證。第二條邊界對應(yīng)為當(dāng)前的飛控系統(tǒng)的120 ms延遲，通過該值，可以確定該飛機(jī)在此狀態(tài)點處，目前可放寬的最大靜不穩(wěn)定度大約在25%。

圖5 時間延遲邊界隨靜穩(wěn)定度變化曲線

為了從根軌跡上直觀展示特征式(8)在該狀態(tài)點時，其特征根隨時間延遲的變化趨勢，并驗證上述方法計算結(jié)果的正確性。這里使用柯西多項式匹配尋根(Quasi-Polynomial mapping based Rootfinder, QPmR)函數(shù)求解特征多項式(9)在該狀態(tài)點處，不同時間延遲分別對應(yīng)的多項式特征根。該函數(shù)通過在指定區(qū)間搜索迭代以給出式(9) 的數(shù)值結(jié)果，具體細(xì)節(jié)見文獻(xiàn)[20-21]。需要指出的是，不同于以QPmR為代表的解空間遍歷檢索的數(shù)值計算方法，文中的求解方法是基于理論方法結(jié)合數(shù)值計算給出的精確結(jié)果，結(jié)果更可靠且需要的數(shù)值計算量很小。

該狀態(tài)點上根軌跡隨時延的變化曲線如圖6 所示，圖中將實軸和虛軸進(jìn)行了壓縮以便于觀察。可以看到，隨著延遲量的增加，特征方程的根將增多，從-3±3i出發(fā)的特征值首先穿越了虛軸，其穿越時對應(yīng)的時間延遲與表1中所求的結(jié)果一致。

圖6 根軌跡隨時間延遲變化曲線

4.2 時延邊界對舵效的敏感性

考慮4.1節(jié)中的狀態(tài)點和相應(yīng)的增益，現(xiàn)在將舵效進(jìn)行±30%的拉偏，分析舵效的變化對時延邊界的影響，得到結(jié)果如圖7所示。

圖7 舵效拉偏系數(shù)對時延邊界的影響

舵效偏大時，將導(dǎo)致時延穩(wěn)定邊界減小，且在小范圍內(nèi)，時延邊界與拉偏系數(shù)成準(zhǔn)線性關(guān)系，舵效偏小時，時延邊界將增大，且其關(guān)系呈現(xiàn)出非線性的特征，即偏大的控制量將對時間延遲更為敏感，這對追求性能的戰(zhàn)斗機(jī)控制律而言將更加明顯。數(shù)值上，以原靜穩(wěn)定度為例，30%舵效拉偏將使邊界從0.280 3 s降低到0.231 2 s，變化幅度為-17.5%，-30%舵效拉偏將使邊界提高到0.366 1 s， 變化幅度為30.6%。

4.3 時延邊界對動導(dǎo)數(shù)的敏感性

動導(dǎo)數(shù)主要體現(xiàn)氣動的非定常特性，對飛機(jī)過失速區(qū)的運動特性有顯著影響，其數(shù)值雖然可以基于準(zhǔn)定常的原則對其進(jìn)行估計，但在初步設(shè)計階段，僅通過經(jīng)驗公式或簡單CFD計算等方式無法獲得足夠精度的動導(dǎo)數(shù)數(shù)據(jù)。因此需要研究時延邊界對動導(dǎo)數(shù)的敏感性問題。

由于動導(dǎo)數(shù)本身為小量，在靜穩(wěn)定度足夠的區(qū)域，其對時延邊界的影響幾乎可以忽略，只有在靜穩(wěn)定度本身很小的區(qū)域，其影響才得以體現(xiàn)，數(shù)值上，30%動導(dǎo)拉偏將使邊界從0.280 3 s提高到0.298 2 s， 變化幅度為6.4%，-30%動導(dǎo)數(shù)拉偏將使邊界降低到0.263 8 s，變化幅度為-5.9%。

4.4 不確定性因素的綜合影響

對靜穩(wěn)定度與時延穩(wěn)定邊界的影響，舵效不確定性相對動導(dǎo)數(shù)不確定性更為明顯。在實際設(shè)計中應(yīng)綜合考慮兩者的影響，以前文所述狀態(tài)點為例，考慮兩者綜合影響的結(jié)果如圖9所示。此時，最小時延邊界變?yōu)榱?.181 7 s，變化幅度為-35.2%，因此，綜合不確定性因素分析是有必要的，但可能導(dǎo)致過于保守的結(jié)果，這需要設(shè)計人員的權(quán)衡。

圖8 動導(dǎo)數(shù)拉偏系數(shù)對時延邊界的影響

圖9 舵效及動導(dǎo)不確定性系數(shù)對時延邊界的綜合影響

5 結(jié) 論

1) 分析了目前電傳飛控系統(tǒng)中時間延遲的來源，指出在初步設(shè)計階段進(jìn)行可控性評估時可以主要考慮輸入時間延遲，分析了靜穩(wěn)定度與短周期方程參數(shù)間的關(guān)系。

2) 根據(jù)時延系統(tǒng)根軌跡穿越虛軸時為純虛數(shù)的特點，并結(jié)合根軌跡穿越時其穿越方向僅與穿越頻率相關(guān)而與具體時延無關(guān)的特點，給出了基于短周期方程的閉環(huán)時延系統(tǒng)的穩(wěn)定邊界的精確求解方法。

3) 針對短周期方程參數(shù)中的主要不確定性因素，分析了其對時延邊界的影響，研究表明舵效不確定性是影響時間延遲穩(wěn)定邊界主要因素，但在靜穩(wěn)定度較低甚至靜不穩(wěn)定的情況下，也應(yīng)考慮到動導(dǎo)不確定性對結(jié)果的影響，實際設(shè)計中，應(yīng)綜合兩者的影響進(jìn)行設(shè)計。

4) 解決了在飛機(jī)設(shè)計初步階段，給定靜穩(wěn)定度布局情況下，基于可控性考慮的精確時間延遲穩(wěn)定邊界求解問題，該邊界對飛控系統(tǒng)的設(shè)計具有指導(dǎo)意義；另一方面，該求解方法同時提供了一種在飛控系統(tǒng)時間延遲已知情況下，對靜穩(wěn)定度布局邊界的約束指標(biāo)。