地震作用下邊坡隨機(jī)動(dòng)力分析方法的若干進(jìn)展*

趙留園 黃 雨②

(①同濟(jì)大學(xué)土木工程學(xué)院地下建筑與工程系，上海 200092，中國(guó)) (②同濟(jì)大學(xué)巖土及地下工程教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200092，中國(guó))

0 引 言

邊坡，包括天然斜坡和人工邊坡，是地球表面具有側(cè)向臨空面的一類地質(zhì)體(張咸恭，2000)，分布極其廣泛。隨著我國(guó)國(guó)民經(jīng)濟(jì)的持續(xù)發(fā)展和一帶一路戰(zhàn)略的實(shí)施，眾多大型基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)(如西南地區(qū)水電開發(fā)、川藏鐵路)都面臨著邊坡工程問(wèn)題(伍法權(quán)等，2016，2017)，因此開展邊坡災(zāi)害分析具有重要的現(xiàn)實(shí)意義(唐輝明等，2018)。同時(shí)，我國(guó)是地震多發(fā)國(guó)家，開展邊坡抗震設(shè)計(jì)研究也很有必要，科學(xué)地進(jìn)行邊坡加固可以避免和減輕災(zāi)害造成的損失。然而，即使經(jīng)過(guò)了工程設(shè)計(jì)，實(shí)際地震中仍不免出現(xiàn)邊坡破壞的案例，如在Chi-Chi地震和汶川地震中都發(fā)現(xiàn)了支護(hù)邊坡的破壞現(xiàn)象(Ling et al.，2001；莊建琦等，2010)，相關(guān)震害機(jī)理仍需進(jìn)一步研究。因此，地震地質(zhì)災(zāi)害研究是工程地質(zhì)領(lǐng)域的重要研究課題(祁生文等，2007；崔鵬等，2008；崔鵬，2014)。

近年來(lái)，我國(guó)學(xué)者對(duì)地震地質(zhì)災(zāi)害成因機(jī)理及其防治開展了一系列卓有成效的研究(黃潤(rùn)秋等2008；黃潤(rùn)秋，2009；彭建兵等，2009；殷躍平，2009；Yin et al.，2009；鄭穎人等，2009，2010)。相關(guān)研究主要包括：(1)地震滑坡的調(diào)查和分類(黃潤(rùn)秋，2009；殷躍平，2009)；(2)地震地質(zhì)災(zāi)害成因機(jī)理分析(鄭穎人等，2009，2010；言志信等，2010；裴向軍等，2011；汪發(fā)武，2019)；(3)利用模型試驗(yàn)對(duì)地震地質(zhì)災(zāi)害的研究(許強(qiáng)等，2010；Liu et al.，2013；李祥龍等，2014；張曉超等，2018)；(4)災(zāi)害的演化評(píng)估及防治(楊志法等，2005；李天斌等，2015；鄧濤等，2019；蘭恒星等，2013，2019)；(5)先進(jìn)監(jiān)測(cè)手段在地質(zhì)災(zāi)害方面的應(yīng)用等(施斌，2017；許沖等，2019)。上述研究包括了災(zāi)害調(diào)查、機(jī)理分析、模型試驗(yàn)、演化評(píng)估、長(zhǎng)期監(jiān)測(cè)等方面，引領(lǐng)并促進(jìn)了我國(guó)地震地質(zhì)災(zāi)害防災(zāi)減災(zāi)領(lǐng)域的發(fā)展。

邊坡動(dòng)力反應(yīng)分析是地震地質(zhì)災(zāi)害研究的重要內(nèi)容之一，目前邊坡動(dòng)力分析方法主要有：(1)擬靜力法，該方法基于極限平衡理論，將地震荷載簡(jiǎn)化為等效慣性體力作用在坡體上，進(jìn)而進(jìn)行極限平衡分析，是目前工程設(shè)計(jì)中普遍采用的方法；(2)Newmark法，該方法是一種基于地震永久位移的邊坡穩(wěn)定性分析方法，該方法將地震作用下超過(guò)臨界加速度的時(shí)程進(jìn)行積分得到累計(jì)永久位移，進(jìn)而進(jìn)行地震安全性評(píng)價(jià)(Newmark，1965)，是一種較為簡(jiǎn)單可行的地震分析方法?；谠摲椒ǖ囊幌盗懈倪M(jìn)算法目前仍有較多的研究(Wartman et al.，2003；Bray et al.，2007；Macedo et al.，2018)；(3)基于數(shù)值軟件的動(dòng)力分析。例如，利用ABAQUS、FLAC3D等軟件進(jìn)行基于有限元法、有限差分法的動(dòng)力時(shí)程分析，可研究邊坡的動(dòng)力響應(yīng)及破壞機(jī)理(祁生文等，2007；Yin et al.，2015；Liu et al.，2016)。此外，也可以采用離散單元法、光滑粒子流體動(dòng)力學(xué)、數(shù)值流形方法等研究地震作用下邊坡失穩(wěn)后的啟動(dòng)、運(yùn)動(dòng)及堆積過(guò)程(Tang et al.，2009；Zhang et al.，2013，2015，Huang et al.，2012，2014；Bao et al.，2018；朱晨光等，2019)；(4)基于物理模型試驗(yàn)的邊坡動(dòng)力分析，主要包括振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)、離心機(jī)振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)等。例如，利用振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)開展邊坡動(dòng)力分析，可較好再現(xiàn)地震作用下邊坡的沿高程放大效應(yīng)、特定頻譜的共振效應(yīng)等(Huang et al.，2013；Liu et al.，2013；Fan et al.，2016；錢海濤等，2018；詹志發(fā)等，2019)。

圖 1 邊坡隨機(jī)動(dòng)力分析流程Fig. 1 Processes of slope stochastic dynamic analysis

另一方面，邊坡工程還涉及不確定性問(wèn)題，如地震動(dòng)的隨機(jī)性(Bray et al.，2007；Jha et al.，2009)，巖土參數(shù)空間變異性等(李典慶等，2009，2012；劉鑫等，2019)，相關(guān)的邊坡可靠度問(wèn)題也是研究的熱點(diǎn)之一(Shinoda et al.，2006；劉曉等，2013；Johari et al.，2015；Xiao et al.，2016；Mahdiyar et al.，2017)。然而，相對(duì)于確定性分析，目前對(duì)地震作用下邊坡工程的隨機(jī)分析方法研究較少，在工程設(shè)計(jì)中也有待進(jìn)一步研究。例如，《建筑邊坡工程技術(shù)規(guī)范》、《水利水電工程邊坡設(shè)計(jì)規(guī)范》在邊坡動(dòng)力穩(wěn)定性分析時(shí)推薦采用擬靜力法，對(duì)動(dòng)力時(shí)程分析、可靠度理論等較為先進(jìn)的設(shè)計(jì)理念雖然進(jìn)行了介紹說(shuō)明，但如何更全面地考慮動(dòng)力分析中的隨機(jī)因素仍處于探索階段，相關(guān)隨機(jī)動(dòng)力分析及設(shè)計(jì)方法亟待進(jìn)一步研究。有鑒于此，本文對(duì)地震作用下邊坡隨機(jī)動(dòng)力分析方法進(jìn)行了綜述。

1 邊坡隨機(jī)動(dòng)力分析理論框架

1.1 邊坡隨機(jī)動(dòng)力分析流程

含隨機(jī)因素的邊坡動(dòng)力問(wèn)題均需開展隨機(jī)分析，對(duì)于邊坡隨機(jī)動(dòng)力分析而言，本文認(rèn)為其分析流程主要包含3點(diǎn)，如圖 1所示：

(1)確定隨機(jī)因素來(lái)源，建立隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)或得到其統(tǒng)計(jì)信息。在此基礎(chǔ)上，對(duì)隨機(jī)變量進(jìn)行隨機(jī)模擬，得到大量隨機(jī)樣本并確定每個(gè)樣本的賦得概率。

(2)將所得隨機(jī)樣本批量導(dǎo)入所建立的邊坡動(dòng)力分析模型，采用確定性分析方法，求解動(dòng)力作用下該樣本的動(dòng)力穩(wěn)定性或變形情況。

(3)完成所有離散樣本的動(dòng)力求解后，采用相應(yīng)的概率學(xué)方法求解物理量的概率密度函數(shù)，如可使用概率密度演化方法(PDEM)進(jìn)行求解。

需要指出，目前邊坡隨機(jī)動(dòng)力分析中主要考慮的隨機(jī)因素為巖土參數(shù)變異性，且多采用蒙特卡洛隨機(jī)模擬方法(MCS)進(jìn)行計(jì)算。然而蒙特卡洛方法達(dá)到一定的精度需要的樣本數(shù)較多，多用于靜力分析(Griffiths et al.，2009；Zhang et al.，2010；Jiang et al.，2014，2017；Juang et al.，2015)，為了提高這一效率，很多學(xué)者研究了不同的方法，如縮減子集法等(Jiang et al.，2014，2017；Li et al.，2017)。然而，即使采用了各種優(yōu)化，基于蒙特卡洛方法的動(dòng)力時(shí)程分析計(jì)算量仍十分巨大(Xiao et al.，2016)。

1.2 基于概率密度演化的邊坡隨機(jī)動(dòng)力分析框架

隨機(jī)分析的關(guān)鍵在于計(jì)算概率密度函數(shù)(PDF)。然而，目前除了對(duì)于較少自由度體系的Hamiton系統(tǒng)可以獲得解析解外(朱位秋，2003)，一般非線性系統(tǒng)的動(dòng)力問(wèn)題的求解仍然困難重重(李杰等，2010)。

近年來(lái)，李杰等(2010，2017)發(fā)展的概率密度演化理論為非線性隨機(jī)動(dòng)力分析提供了一整套完整的方法體系，具有較高的計(jì)算效率和計(jì)算精度，可以較好地在邊坡隨機(jī)動(dòng)力分析中進(jìn)行應(yīng)用。這是由于該方法具有較好的選點(diǎn)策略以及對(duì)概率密度函數(shù)隨時(shí)間變化信息的精確求解。前者是指對(duì)概率空間的初始離散以及賦予相應(yīng)的概率，后者是通過(guò)求解廣義概率密度演化方程得到概率密度函數(shù)。對(duì)于一般的隨機(jī)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，若僅考慮隨機(jī)因素來(lái)源為外荷載時(shí)，其系統(tǒng)方程可表示為式(1)：

(1)

求解隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)方程(1)即可解得所需物理量的概率密度函數(shù)。顯然，定常系統(tǒng)方程(1)的解答存在、唯一且連續(xù)依賴于基本隨機(jī)變量Θ(李杰等，2010，2017)，將其記為：

X(t)=H(Θ，t)

(2)

解答的速度過(guò)程則表示為式(3)：

(3)

在工程實(shí)踐中，任意系統(tǒng)物理量如加速度、速度、位移、節(jié)點(diǎn)應(yīng)力-應(yīng)變、控制界面內(nèi)力、安全系數(shù)等均可表示成速度和位移的函數(shù)。

在此過(guò)程中沒有新的概率元素進(jìn)入也沒有舊的概率元素消失，故兩個(gè)隨機(jī)事件是一個(gè)等價(jià)隨機(jī)事件，因而其概率必然相等，即有：

(4)

對(duì)于基于概率守恒式(4)，進(jìn)一步推導(dǎo)可得式(5)(李杰等，2010，2017)：

(5)

式中：Xj(θ，t)為{Θ=θ}時(shí)方程的速度解答，在本質(zhì)上反映了系統(tǒng)演化過(guò)程中物理狀態(tài)的即時(shí)變化。上述方程可針對(duì)任意隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)，例如本研究所開展邊坡隨機(jī)動(dòng)力分析。

通過(guò)生成適用于邊坡場(chǎng)地的地震動(dòng)樣本并結(jié)合概率密度演化理論開展研究，本課題組初步探索了一些邊坡隨機(jī)動(dòng)力分析方法(考慮隨機(jī)因素為地震動(dòng))。相關(guān)研究以數(shù)值分析為主(Huang et al.，2015，2017a，2017b，2018a，2018b，2018c；Zhao et al.，2020)，計(jì)算步驟結(jié)合圖 1簡(jiǎn)單總結(jié)如下：

(1)對(duì)概率空間進(jìn)行離散剖分，獲得nsel個(gè)離散隨機(jī)變量和對(duì)應(yīng)的賦得概率，同時(shí)生成隨機(jī)地震動(dòng)樣本。

(2)將生成的地震動(dòng)樣本批量導(dǎo)入數(shù)值計(jì)算模型，開展確定性分析。

(3)提取邊坡動(dòng)力作用下感興趣的物理量，如安全系數(shù)、滑動(dòng)時(shí)刻等。利用PDEM求解概率密度函數(shù)、概率演化曲面等信息(Li et al.，2007，2008，2009)。最后基于邊坡動(dòng)力作用下的各種物理量的累計(jì)分布函數(shù)得到動(dòng)力可靠度等。

2 地震動(dòng)的不確定性

前已述及，邊坡隨機(jī)動(dòng)力分析中隨機(jī)因素主要來(lái)源于巖土參數(shù)的不確定和地震動(dòng)的不確定。在巖土工程中前者的研究較多，具體可見隨機(jī)場(chǎng)理論等研究(Vanmarcke，1983；Griffiths et al.，2009；李典慶等，2009，2012；Jiang et al.，2014，2017)。本節(jié)重點(diǎn)介紹邊坡隨機(jī)動(dòng)力分析時(shí)所涉及的地震動(dòng)隨機(jī)過(guò)程相關(guān)理論。

2.1 典型案例

可通過(guò)分析同一地震臺(tái)站的兩次不同地震記錄來(lái)說(shuō)明工程場(chǎng)地所遭受的地震動(dòng)存在很大的不確定性，本文所選用的地震數(shù)據(jù)源自美國(guó)太平洋地震工程研究中心(PEER)強(qiáng)震資料數(shù)據(jù)庫(kù)(https：∥ngawest2.berkeley.edu)。

所選取的地震臺(tái)站及方向分別是：Parkfield-Cholame 1E、90°；經(jīng)緯度：35.743°N，120.277°W。兩次地震事件分別是：地震事件1名稱“Coalinga-01”，MW=6.36，時(shí)間：1983年5月2日；地震事件2名稱“Parkfield-02_ CA”，MW=6，時(shí)間：2004年9月28日。

圖 2顯示了所選擇臺(tái)站在兩次震級(jí)相近的地震事件中東西向(90°)分量所記錄的地震動(dòng)時(shí)程(圖 2a)以及對(duì)應(yīng)的頻譜(圖 2b)，從圖中可知即使同一場(chǎng)地，遭受兩次震級(jí)接近的地震，其地震動(dòng)三要素(強(qiáng)度、持時(shí)、頻譜)完全不同。因此邊坡工程抗震設(shè)計(jì)也應(yīng)考慮地震動(dòng)的不確定性。

圖 2 地震動(dòng)不確定性的典型案例(數(shù)據(jù)源自https：∥ngawest2.berkeley.edu)Fig. 2 Typical case of ground motion uncertainty(Data source https：∥ngawest2.berkeley.edu)

2.2 隨機(jī)地震動(dòng)模型

邊坡工程抗震設(shè)計(jì)的第1步是確定地震動(dòng)，合理的地震動(dòng)輸入是保證設(shè)計(jì)結(jié)果正確的必要條件(李英民等，2011)。沒有合理的設(shè)計(jì)地震動(dòng)模型，邊坡工程的抗震只能停留在震害調(diào)查以及利用強(qiáng)震資料進(jìn)行試驗(yàn)或數(shù)值分析的階段。

自1947年Housner首次提出用隨機(jī)過(guò)程模擬地震地面運(yùn)動(dòng)以來(lái)(Housner，1947)，隨機(jī)地震動(dòng)模型及其工程應(yīng)用得到了深入的研究。在地震工程領(lǐng)域，目前較常見的地震動(dòng)模型有基于震源的地震動(dòng)模型(地震學(xué)方法)和基于場(chǎng)地特征的地震動(dòng)模型(工程學(xué)方法)，其中工程抗震研究以工程學(xué)方法為主(張翠然等，2008；Rezaeian et al.，2010)，也是本文所采用的方法，下面重點(diǎn)介紹工程學(xué)方法。

工程界進(jìn)行抗震設(shè)計(jì)時(shí)，起初只考慮最為直觀的地震動(dòng)幅值，之后開始關(guān)注頻譜特性。目前，隨著強(qiáng)震記錄積累和相關(guān)學(xué)科的發(fā)展，隨機(jī)振動(dòng)理論已成為分析地震動(dòng)的必要手段，地震動(dòng)本身在時(shí)域和頻域的非平穩(wěn)性也得到廣泛認(rèn)可。因此，工程學(xué)方法研究隨機(jī)地震動(dòng)主要經(jīng)歷了平穩(wěn)模型、強(qiáng)度非平穩(wěn)模型、強(qiáng)度-頻率非平穩(wěn)模型3個(gè)研究階段。其中功率譜是上述所有模型的基礎(chǔ)，比較經(jīng)典的功率譜有金井清譜(Tajimi，1960；Kanai，1961)、Clough-Penzien(C-P)譜(Clough et al.，1975)、胡聿賢-周錫元譜(胡聿賢，2006)等。

地震動(dòng)不僅其強(qiáng)度有一個(gè)逐漸上升和衰減的過(guò)程(強(qiáng)度非平穩(wěn))，其頻率也具有典型的非平穩(wěn)特性。也就是說(shuō)，地震動(dòng)頻譜中各個(gè)頻率分量不是同時(shí)達(dá)到最大幅值的，因此在不同時(shí)間地震動(dòng)的卓越頻率不同。

課題組所采用的隨機(jī)地震動(dòng)模型是一種強(qiáng)度-頻率非平穩(wěn)模型，且模型參數(shù)選取考慮了邊坡工程場(chǎng)地特性(Huang et al.，2015，2017a，2018c)。上述模型考慮了地震動(dòng)的非平穩(wěn)特性，所選用的場(chǎng)地參數(shù)、模型參數(shù)等都是時(shí)變的，是一種較為先進(jìn)的地震動(dòng)模型。較早的研究有Priestley(1965，1967)提出的演化功率譜模型。此后，大量的強(qiáng)度-頻率非平穩(wěn)模型都是基于這一工作開展的，本文所采用的隨機(jī)地震動(dòng)模型就是基于修正C-P譜的一種演化功率譜模型(Cacciola et al.，2011；劉章軍等，2014，2015)，其中C-P功率譜為式(6)，修正后的演化功率譜為式(7)。

(6)

(7)

式中：ωg(t)和ξg(t)分別為邊坡場(chǎng)地的卓越圓頻率和阻尼比隨時(shí)間變化的函數(shù)，詳見式(9)；ωf(t)和ξf(t)分別為考慮過(guò)濾特性的頻率時(shí)變參數(shù)和阻尼時(shí)變參數(shù)，對(duì)于一般的地震動(dòng)，可令ξf(t)=ξg(t)(Huang et al.，2017a)；S0(t)稱為譜強(qiáng)度因子，相關(guān)表達(dá)式可以寫為式(8)；時(shí)間調(diào)制函數(shù)可采用指數(shù)形式，見式(11)(歐進(jìn)萍等，1998)。

(8)

(9)

(10)

(11)

這樣，地震動(dòng)的全非平穩(wěn)廣義功率譜模型便被10個(gè)參數(shù)完全確定。基于上述修正的演化功率譜模型，結(jié)合相關(guān)譜表式-隨機(jī)函數(shù)思想，可以生成大量地震動(dòng)樣本，且這些樣本具有各自的賦得概率，便于在概率框架下進(jìn)行邊坡隨機(jī)動(dòng)力分析。相關(guān)內(nèi)容可見文獻(xiàn)(Huang et al.，2015，2017a，2018c)。

3 邊坡隨機(jī)動(dòng)力分析內(nèi)容

邊坡隨機(jī)動(dòng)力分析的主要內(nèi)容有：隨機(jī)動(dòng)力響應(yīng)、動(dòng)力可靠度、地震易損性、動(dòng)力失穩(wěn)及風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估、抗震性能優(yōu)化設(shè)計(jì)等。

3.1 邊坡隨機(jī)動(dòng)力響應(yīng)

邊坡隨機(jī)動(dòng)力響應(yīng)主要關(guān)注動(dòng)力分析時(shí)隨機(jī)因素的存在對(duì)坡體動(dòng)力響應(yīng)的影響，一般需進(jìn)行動(dòng)力時(shí)程分析，通過(guò)計(jì)算得到坡體加速度、位移響應(yīng)的概率密度函數(shù)(Lizarraga et al.，2014)。例如，在研究隨機(jī)地震作用時(shí)將所生成的地震動(dòng)樣本輸入邊坡模型，通過(guò)觀測(cè)坡體不同位置的加速度響應(yīng)來(lái)研究隨機(jī)輸入時(shí)坡體的動(dòng)力響應(yīng)。

本課題組近期開展了基于大型振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)的邊坡隨機(jī)動(dòng)力響應(yīng)分析。試驗(yàn)過(guò)程中共輸入了144條人工地震動(dòng)，均為水平單向輸入。所使用的地震動(dòng)在模型底部測(cè)得峰值加速度(PGA)均值0.3 g，變異系數(shù)約0.1。經(jīng)坡體沿高程放大作用，測(cè)得加速度響應(yīng)沿高程逐漸放大，在坡頂測(cè)得的PGA均值約0.78 g，變異系數(shù)約0.22，可知坡體上部動(dòng)力響應(yīng)表現(xiàn)為更強(qiáng)烈的不確定性。

3.2 邊坡動(dòng)力可靠度

可靠度是邊坡不確定性分析的重要結(jié)論，邊坡動(dòng)力可靠度分析指標(biāo)有安全系數(shù)、坡頂永久位移等?？捎糜谟?jì)算動(dòng)力可靠度的方法有：

3.2.1 基于安全系數(shù)的動(dòng)力可靠度

基于安全系數(shù)的動(dòng)力可靠度研究多采用擬靜力法進(jìn)行動(dòng)力分析，該方法首先需求得考慮隨機(jī)因素時(shí)各計(jì)算樣本的動(dòng)力安全系數(shù)，然后計(jì)算安全系數(shù)的概率密度函數(shù)和累計(jì)分布函數(shù)(Peng et al.，2006；Xiao et al.，2016)。若采用完全的動(dòng)力時(shí)程分析，還可得到安全系數(shù)時(shí)程曲線，然后提取最小的安全系數(shù)，并結(jié)合每個(gè)地震樣本的賦得概率構(gòu)造虛擬隨機(jī)過(guò)程，求解得到最小安全系數(shù)的概率密度函數(shù)；最后根據(jù)工程經(jīng)驗(yàn)的安全系數(shù)“閾值”并結(jié)合最小安全系數(shù)的累計(jì)分布函數(shù)(CDF)得到動(dòng)力可靠度(Huang et al.，2017a，2018c)。

3.2.2 基于坡頂永久位移的動(dòng)力可靠度

基于坡頂永久位移的研究多采用Newmark法進(jìn)行動(dòng)力分析，利用所得到的地震永久位移來(lái)計(jì)算邊坡動(dòng)力可靠度(Shinoda et al.，2006；Strenk et al.，2011；Kim et al.，2013)。此外，也可采用動(dòng)力有限元計(jì)算隨機(jī)地震作用下坡體永久位移分布，例如，對(duì)于某土壩，Huang et al. (2017b)計(jì)算了7度設(shè)防條件下坡頂沉降值分布，若工程閾值取坡頂沉降0.3im，可靠度計(jì)算結(jié)果為0.98，說(shuō)明7度設(shè)防時(shí)該模型可靠度較高。

3.3 邊坡地震易損性分析

邊坡地震易損性分析與動(dòng)力可靠度分析類似，但是需要計(jì)算更多的設(shè)計(jì)地震動(dòng)和性能水準(zhǔn)。一般地，可分別計(jì)算6度(0.05 g)、7度(0.1 g)、8度(0.2 g)、9度(0.4 g)甚至更多批次的地震動(dòng)(Paulsen et al.，2004)，對(duì)于隨機(jī)分析來(lái)說(shuō)，每一個(gè)地震動(dòng)峰值對(duì)應(yīng)一批計(jì)算樣本，不同地震動(dòng)峰值的樣本可通過(guò)簡(jiǎn)單的調(diào)幅處理，也可以重新生成。此外，易損性分析還需要綜合考慮工程重要性等級(jí)、工程運(yùn)營(yíng)性態(tài)等合理的確定不同的性能水準(zhǔn)(Paulsen et al.，2004；Tsompanakis et al.，2010)。

例如，Huang et al. (2018a)分析了隨機(jī)地震作用下某均質(zhì)土坡的易損性，選擇了4個(gè)性能水準(zhǔn)進(jìn)行分析，分別為0.01im、0.02im、0.08im和0.22im，不同水準(zhǔn)等級(jí)的選擇參考了國(guó)際相關(guān)設(shè)計(jì)規(guī)范(Kaynia et al.，2013)。圖 3是地震易損性計(jì)算的相關(guān)曲線，可知工程選擇性能水準(zhǔn)數(shù)值越大，得到的易損性越低，且地震動(dòng)峰值逐漸提高時(shí)易損性也逐漸增大。

圖 3 邊坡不同設(shè)計(jì)水準(zhǔn)下的易損性曲線(Huang et al.，2018a)Fig. 3 Seismic fragility curves for seismic assessment of slope under different threshold level(Huang et al.，2018a)

3.4 邊坡動(dòng)力失穩(wěn)及風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估

地震作用下邊坡動(dòng)力失穩(wěn)及風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估需先計(jì)算坡體沉降值或得到失穩(wěn)滑面的分布。一般地，可在擬靜力分析同時(shí)確定動(dòng)力臨界滑面，也可以通過(guò)追蹤坡體各處塑性應(yīng)變的發(fā)展確定滑面位置(Zhao et al.，2020)。通過(guò)研究發(fā)現(xiàn)動(dòng)力滑面與靜力滑面并不相同(Kim et al.，2013；Huang et al.，2018c)。

例如，Huang et al. (2018c)曾對(duì)一均質(zhì)土坡進(jìn)行隨機(jī)地震動(dòng)輸入，模型邊坡坡高10im，坡角45°，采用二維平面應(yīng)變分析，為方便計(jì)算滑動(dòng)體積，假定模型垂直滑動(dòng)方向?yàn)閱挝缓穸?1im)。圖 4為隨機(jī)地震作用下失穩(wěn)體積的概率演化曲面，可知初始階段地震動(dòng)幅值較低，無(wú)地震樣本導(dǎo)致失穩(wěn)，滑動(dòng)體積為0，當(dāng)2is以后逐漸有樣本導(dǎo)致坡體失穩(wěn)，約5is以后計(jì)算使用的所有地震樣本均導(dǎo)致邊坡失穩(wěn)?？芍?jì)算的邊坡動(dòng)力滑面體積分布在30～80im3之間，均值約50im3。在得到失穩(wěn)體積分布的基礎(chǔ)上，可進(jìn)行滑坡失穩(wěn)風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估。

圖 4 隨機(jī)地震作用下失穩(wěn)體積概率演化曲面(Huang et al.，2018c)Fig. 4 Probability evolution surface of sliding volume under random earthquake(Huang et al.，2018c)

3.5 邊坡抗震性能優(yōu)化設(shè)計(jì)

含隨機(jī)因素的邊坡抗震設(shè)計(jì)也是隨機(jī)動(dòng)力分析需要關(guān)注的內(nèi)容，目前的研究較少。一些研究關(guān)注巖土參數(shù)存在變異性時(shí)支護(hù)結(jié)構(gòu)對(duì)坡體位移的限制作用(Paulsen et al.，2004；Tsompanakis et al.，2010)。Huang et al. (2018b，2020)則對(duì)隨機(jī)地震作用下支擋結(jié)構(gòu)的抗震性能開展了研究，分析了多種支護(hù)體系在隨機(jī)動(dòng)力作用下的抗震性能，初步研究發(fā)現(xiàn)錨拉樁支護(hù)設(shè)計(jì)對(duì)應(yīng)的結(jié)構(gòu)內(nèi)力分布優(yōu)于其他設(shè)計(jì)方法，且地震作用下坡體變形最小。

4 邊坡隨機(jī)動(dòng)力分析方法若干進(jìn)展

針對(duì)不同的隨機(jī)性來(lái)源，并結(jié)合第3節(jié)所述邊坡隨機(jī)動(dòng)力分析內(nèi)容。目前的邊坡隨機(jī)動(dòng)力分析方法主要包括基于巖土參數(shù)不確定的邊坡隨機(jī)動(dòng)力分析和基于地震動(dòng)不確定的邊坡隨機(jī)動(dòng)力分析。

4.1 基于巖土參數(shù)不確定的邊坡隨機(jī)動(dòng)力分析

邊坡隨機(jī)動(dòng)力分析中巖土參數(shù)不確定的研究主要包括巖土參數(shù)變異性和巖土參數(shù)空間變異性。

4.1.1 巖土參數(shù)變異性

巖土參數(shù)變異性的研究較多，主要是因?yàn)橥凉ぴ囼?yàn)及原位測(cè)試獲取的參數(shù)不可避免地存在一定變異性。例如，室內(nèi)土工試驗(yàn)得到的強(qiáng)度參數(shù)，原位測(cè)試中十字板剪切試驗(yàn)、剪切波速得到的巖土參數(shù)，以及支護(hù)結(jié)構(gòu)的參數(shù)等(Al-Homoud et al.，2000，2001；Paulsen et al.，2004；Shinoda et al.，2006；Tsompanakis et al.，2010)。因此，開展邊坡巖土參數(shù)變異性的研究具有重要的工程實(shí)際意義(Wu et al.，2015)。

考慮邊坡巖土參數(shù)變異性時(shí)多采用一次二階矩方法或MCS方法計(jì)算失效概率(王家臣，1996；Peng et al.，2005；Griffiths et al.，2009；Jiang et al.，2017)。若已知參數(shù)的概率密度函數(shù)，可采用MCS方法生成邊坡隨機(jī)分析樣本，進(jìn)而進(jìn)行動(dòng)力分析。一般多采用擬靜力法或Newmark法進(jìn)行動(dòng)力求解。需要指出，這兩種方法對(duì)地震作用的處理過(guò)于簡(jiǎn)單，如擬靜力分析時(shí)可能只進(jìn)行7度或8度地震作用，無(wú)法很好考慮巖土材料的非線性和邊坡對(duì)地震動(dòng)的放大效應(yīng)(Johari et al.，2015)。

4.1.2 巖土參數(shù)空間變異性

在研究巖土參數(shù)變異性的基礎(chǔ)上，考慮邊坡巖土參數(shù)空間變異性的研究目前也較多，但主要集中在靜力問(wèn)題。巖土參數(shù)的空間變異性指巖體參數(shù)與空間位置有關(guān)，目前主要認(rèn)為受其沉積及固結(jié)歷史影響。巖土參數(shù)空間變異性問(wèn)題可以用隨機(jī)場(chǎng)來(lái)描述(Griffiths et al.，2009；Zhang et al.，2010；Jiang et al.，2014，2017；Juang et al.，2015)。隨機(jī)場(chǎng)研究變量設(shè)置關(guān)鍵在于材料的變異系數(shù)、自相關(guān)函數(shù)、相關(guān)距離等，這些參數(shù)對(duì)邊坡可靠度、失穩(wěn)體積影響很大(Low et al.，2007；Qi et al.，2018)。

考慮巖土參數(shù)空間變異性的研究與考慮巖土參數(shù)變異性的研究流程相似，動(dòng)力問(wèn)題也多采用擬靜力法或Newmark法進(jìn)行求解，隨機(jī)問(wèn)題模擬則多采用MCS方法(Strenk et al.，2011；Kim et al.，2013；Lizarraga et al.，2014；Xiao et al.，2016)。

然而，隨機(jī)場(chǎng)模型參數(shù)的選取目前仍缺乏足夠工程勘查資料支撐，所使用的邊坡模型多是在參數(shù)或動(dòng)力問(wèn)題的處理上存在一定的差異。如在研究邊坡隨機(jī)場(chǎng)問(wèn)題時(shí)，Strenk et al. (2011)假定屈服加速度滿足一定的分布，而Xiao et al. (2016)則假定了場(chǎng)地設(shè)計(jì)地震動(dòng)PGA的概率密度函數(shù)(設(shè)計(jì)使用壽命內(nèi))，進(jìn)而計(jì)算了50ia內(nèi)邊坡的失效概率。

目前關(guān)于巖土參數(shù)不確定的邊坡隨機(jī)動(dòng)力分析已經(jīng)逐漸開始考慮更合理的地震動(dòng)輸入(Kim et al.，2013)，例如，有學(xué)者認(rèn)為在研究巖土參數(shù)空間變異性時(shí)應(yīng)采用有限元或有限差分軟件進(jìn)行動(dòng)力時(shí)程分析，但是基于MCS方法的動(dòng)力計(jì)算量過(guò)大，這是研究的難點(diǎn)之一(Xiao et al.，2016)。

4.2 基于地震動(dòng)不確定的邊坡隨機(jī)動(dòng)力分析

邊坡隨機(jī)動(dòng)力分析中地震動(dòng)不確定的研究主要包含地震動(dòng)輸入?yún)?shù)不確定和地震動(dòng)樣本時(shí)程不確定。

4.2.1 地震動(dòng)輸入?yún)?shù)不確定

地震動(dòng)輸入?yún)?shù)不確定是指在擬靜力分析或Newmark分析時(shí)考慮地震作用的不確定性。例如，Al-Homoud et al. (2000，2001)在研究地震動(dòng)的變異性時(shí)假定了震中距、強(qiáng)震持時(shí)、峰值加速度等物理量的分布(如均勻分布，正態(tài)分布)；Tsompanakis et al. (2010)在邊坡動(dòng)力易損性分析時(shí)采用擬靜力法，但是水平地震作用系數(shù)存在一定的變異性；Strenk et al. (2011)則在Newmark法計(jì)算邊坡永久位移時(shí)假定地震屈服加速度存在一定的變異性。

4.2.2 地震動(dòng)樣本時(shí)程不確定

地震動(dòng)樣本時(shí)程不確定是指在動(dòng)力時(shí)程中輸入大量不確定的地震動(dòng)樣本時(shí)稱。可在既有地震數(shù)據(jù)庫(kù)選取合適數(shù)量的實(shí)測(cè)地震動(dòng)(Rathje et al.，2010)，也可利用隨機(jī)振動(dòng)理論生成地震動(dòng)(Kim et al.，2013；Huang et al.，2017a，2017b；Pang et al.，2018a，2018b)。

在動(dòng)力分析中利用隨機(jī)振動(dòng)理論生成地震動(dòng)樣本時(shí)程是目前較為先進(jìn)的研究。早期常假定地震動(dòng)為高斯平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程(劉漢龍，1996；邵龍?zhí)兜龋?999)。目前隨著地震工程學(xué)和隨機(jī)振動(dòng)理論的發(fā)展，邊坡隨機(jī)動(dòng)力分析已可考慮地震動(dòng)的非平穩(wěn)特性，相關(guān)的隨機(jī)振動(dòng)理論如虛擬激勵(lì)法、概率密度演化理論也逐漸在邊坡工程中開展了應(yīng)用(董建華等，2015；Huang et al.，2017a，2017b，2018a，2018b)。例如，有學(xué)者在土石壩、混凝土面板堆石壩等的抗震研究中考慮了地震動(dòng)的隨機(jī)性，通過(guò)動(dòng)力時(shí)程分析發(fā)現(xiàn)地震動(dòng)隨機(jī)性對(duì)坡體動(dòng)力響應(yīng)及可靠度影響很大(Pang et al.，2018a，2018b；Xu et al.，2020)。

本課題組在隨機(jī)地震作用下邊坡動(dòng)力分析方面開展了較為系統(tǒng)的研究。如前所述，邊坡隨機(jī)動(dòng)力分析流程(1)中，考慮隨機(jī)性來(lái)源為地震動(dòng)的不確定，地震動(dòng)樣本時(shí)程生成則采用了隨機(jī)振動(dòng)理論，該理論基于強(qiáng)度-頻率非平穩(wěn)功率譜模型生成具有完備概率集的地震動(dòng)樣本時(shí)程，詳見本文第2.2節(jié)；在分析流程(2)中采用了多種確定性分析方法處理邊坡動(dòng)力問(wèn)題，如振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)、有限元數(shù)值模擬等，分析內(nèi)容則涵蓋了第3節(jié)中所述的邊坡隨機(jī)動(dòng)力響應(yīng)、動(dòng)力可靠度、地震易損性、動(dòng)力失穩(wěn)及風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估、抗震性能優(yōu)化設(shè)計(jì)等，具體可見(Huang et al.，2015，2017a，2017b，2018a，2018b，2018c，2020；Zhao et al.，2020)；在分析流程(3)中采用了PDEM求解邊坡動(dòng)力分析中物理量的概率密度函數(shù)，該方法計(jì)算效率高，解決了基于MCS方法的動(dòng)力計(jì)算量過(guò)大的難題，關(guān)于該方法的介紹詳見第1.2節(jié)。

5 總結(jié)與展望

本文分析了邊坡工程所涉及的不確定性問(wèn)題，重點(diǎn)研究了地震動(dòng)的不確定性。首先，本研究總結(jié)了邊坡隨機(jī)動(dòng)力分析的流程，并介紹了一個(gè)基于概率密度演化方法的邊坡隨機(jī)動(dòng)力分析框架；其次，闡述了邊坡隨機(jī)動(dòng)力分析的具體內(nèi)容；最后，回顧了邊坡隨機(jī)動(dòng)力分析方法的若干進(jìn)展。

總的來(lái)看，邊坡隨機(jī)動(dòng)力分析將確定性分析拓展到了基于完備概率集的不確定性分析，為邊坡工程抗震設(shè)計(jì)提供了一定的理論參考，有助于進(jìn)一步提升邊坡工程的抗震設(shè)計(jì)水平。但需要指出的是，本文所介紹的邊坡隨機(jī)動(dòng)力分析方法仍有待完善，相關(guān)研究還應(yīng)在以下方面進(jìn)一步探索：

(1)考慮更完備的隨機(jī)地震動(dòng)生成方法。目前基于地震學(xué)模型(如隨機(jī)有限斷層模型)的地震動(dòng)生成方法在邊坡動(dòng)力分析中應(yīng)用較少。此外，地震動(dòng)在傳播過(guò)程中不同位置場(chǎng)地振動(dòng)存在一定的時(shí)滯，常表現(xiàn)為非一致激勵(lì)，當(dāng)邊坡場(chǎng)地規(guī)模較大時(shí)還需要生成非一致激勵(lì)的地震動(dòng)樣本。

(2)考慮多隨機(jī)因素耦合作用的邊坡動(dòng)力分析。前已述及，邊坡工程還涉及其他不確定性問(wèn)題，如力學(xué)參數(shù)隨機(jī)性、滲流參數(shù)隨機(jī)性、地質(zhì)模型邊界隨機(jī)性等，目前尚無(wú)多隨機(jī)因素耦合作用的邊坡動(dòng)力分析，主要難點(diǎn)可能在于當(dāng)隨機(jī)因素較多時(shí)會(huì)出現(xiàn)復(fù)雜的隨機(jī)分岔現(xiàn)象，分析規(guī)律及機(jī)理解釋存在一定的困難。

(3)其他隨機(jī)振動(dòng)理論的應(yīng)用及對(duì)比。目前應(yīng)用于邊坡隨機(jī)動(dòng)力分析的方法主要是蒙特卡洛隨機(jī)模擬和概率密度演化方法，其他見于結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析中的隨機(jī)模擬方法如隨機(jī)攝動(dòng)方法、FPK方法等在邊坡隨機(jī)動(dòng)力分析尚待進(jìn)一步研究。

(4)基于隨機(jī)動(dòng)力分析的邊坡抗震支護(hù)體系的理論及設(shè)計(jì)。目前的研究對(duì)隨機(jī)地震作用下支護(hù)體系抗震理論及設(shè)計(jì)方法仍有待加強(qiáng)。主要包括支護(hù)體系的優(yōu)化、支護(hù)措施的抗震性能評(píng)估、基于韌性設(shè)計(jì)的邊坡抗震理論等，未來(lái)可望形成較為完備的理論技術(shù)體系。