一種仿人機械臂的動力學(xué)建模和固有頻率研究

肖驍千里， 唐懷平， 王 吉， 孔令錢

(西南交通大學(xué)力學(xué)與工程學(xué)院， 成都 610031)

引 言

自第一臺工業(yè)機器人問世至今已有60多年。這期間機器人技術(shù)從傳統(tǒng)的工業(yè)制造領(lǐng)域向醫(yī)療服務(wù)、教育娛樂、勘探勘測、生物工程、救災(zāi)救援等領(lǐng)域迅速擴(kuò)展。適應(yīng)不同領(lǐng)域需求的機器人系統(tǒng)得到了深入研究和開發(fā)。這就對機器人的主要操作部件——機械臂提出了更多方面，更高標(biāo)準(zhǔn)的要求。

在仿人機械臂的應(yīng)用環(huán)境中，人們更需要機械臂具有良好的柔順性和安全性。對這兩方面的要求大于對其位置精度和承載力的要求[1]。這促使研究人員將目光投向了氣動肌肉這種基于生物肌肉運動原理設(shè)計開發(fā)出來的新型驅(qū)動器。氣動肌肉具有一系列優(yōu)點[2]，在仿人機械臂上的應(yīng)用可以說具有得天獨厚的優(yōu)勢。所以由氣動肌肉驅(qū)動的仿人機械臂已經(jīng)成為這一領(lǐng)域的研究熱點。

在機械臂設(shè)計制造方面，2005年，南京理工大學(xué)的衛(wèi)玉芬設(shè)計了氣動肌肉柔順機器人手臂，其腕關(guān)節(jié)和指關(guān)節(jié)分別具有2自由度[3]。2011年，浙江理工大學(xué)的金英子團(tuán)隊研制了一種7自由度的氣動肌肉驅(qū)動的仿人機械臂[1]。2013年，趙京等人基于人體工程學(xué)對串聯(lián)方式下的仿人機械臂構(gòu)型進(jìn)行了較為系統(tǒng)的梳理研究[4]。2016年，燕山大學(xué)的伍齊佳設(shè)計研制了氣動肌肉和鎳鈦形狀記憶合金絲驅(qū)動的仿人機械手臂[5]，將智能材料應(yīng)用于機械臂末端執(zhí)行器。2017年，南京航空航天大學(xué)的葛志尚設(shè)計了一種氣動肌肉驅(qū)動仿人上臂結(jié)構(gòu)，其中創(chuàng)新地考慮了肩胛骨的設(shè)計[6]。

在機械臂動力學(xué)建模方面，2003年，劉錦陽和洪嘉振建立了柔性多桿機械臂的動力學(xué)模型，并考慮了動力剛化效應(yīng)[7]。2006年，周勝豐和章定國利用混合坐標(biāo)法建立了空間多桿柔性桿柔性鉸機器人的動力學(xué)模型，考慮了柔性桿的彎曲、拉伸和扭轉(zhuǎn)變形[8]。2009年，章定國又用拉格朗日遞推方法推導(dǎo)了空間多柔性桿、柔性鉸機械臂的動力學(xué)模型[9]。2011年，王斌銳等綜合考慮了關(guān)節(jié)柔性和桿件柔性進(jìn)行了剛?cè)狁詈蠙C械臂的建模，但是只考慮了單桿機構(gòu)[10]。2012年，章定國團(tuán)隊的陳思佳較系統(tǒng)地針對空間多干柔性機械臂進(jìn)行了動力學(xué)研究，考慮了空間機械臂由n個柔性桿和n個柔性鉸組成的情況，但只進(jìn)行建模研究，沒有解算[11]。2016年，劉宇佳研究了串聯(lián)機械臂的柔性多體動力學(xué)性能[12]，考慮了柔性桿件空心系數(shù)和不同關(guān)節(jié)角度對系統(tǒng)固有特性的影響，但沒有考慮奇異位形的極端情況。

國內(nèi)此方向研究的一大時代背景是我國航天事業(yè)的發(fā)展?；谌嵝远囿w動力學(xué)的數(shù)學(xué)模型也多考慮長機械臂在航天環(huán)境中做大位移運動時的情況。但對于氣動肌肉仿人機械臂的低速運動來說，兩者之間是存在差異的。而且仿人機械臂桿件質(zhì)量較小，長度相對較短，因此不能簡單認(rèn)為驅(qū)動器質(zhì)量是可忽略或是集中分布的。其次，已有研究一般將關(guān)節(jié)柔性鉸考慮為線彈性扭簧，但氣動肌肉驅(qū)動器具有明顯的非線彈性。

本文研究的理論價值主要在于考慮驅(qū)動器質(zhì)量分散分布情況，并建立系統(tǒng)的動力學(xué)建模。在編程解算時，利用步進(jìn)方式，近似關(guān)節(jié)柔性鉸為非線彈性扭簧情況下，結(jié)構(gòu)處于奇異位形時，固有頻率隨關(guān)節(jié)角度變化的規(guī)律。同時在工程價值方面，本文機械臂設(shè)計結(jié)構(gòu)和部分參數(shù)基于2016年燕山大學(xué)橫向項目[5]，可以為項目研制、改良仿人機械臂提供一定參考。

1 運動學(xué)模型

本文采用D-H法對仿人機械臂進(jìn)行運動學(xué)建模。根據(jù)機械臂設(shè)計，建立坐標(biāo)系及尺寸簡圖如圖1所示。

圖1 仿人機械臂簡圖

機械臂肩部固接基座，肘部、腕部各一個轉(zhuǎn)動自由度。分別于肩部基座處，肘部轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)處，腕部轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)處和機械臂末端按順序建立固接坐標(biāo)系。坐標(biāo)系O0X0Y0Z0也稱基座坐標(biāo)系。各坐標(biāo)系Z軸皆垂直紙面向外。手臂轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)半徑為R，桿件長度分別為L0和L1?？梢杂纱肆谐鯠-H系數(shù)見表1。

表1 機械臂D-H系數(shù)

坐標(biāo)系間齊次變換矩陣如下[13]：

(1)

將D-H系數(shù)代入式(1)，并連乘相鄰齊次變換矩陣，易得坐標(biāo)系O3X3Y3Z3相對于坐標(biāo)系O0X0Y0Z0的齊次變換矩陣及旋轉(zhuǎn)矩陣：

(2)

(3)

其中c12=cos(θ1+θ2)，s12=sin(θ1+θ2)。

利用MATLAB Robotics Tools驗證了計算的正確性，并編譯程序繪制出機械臂末端的工作空間。因上臂固接基座，繪制時略去，根據(jù)設(shè)計令a1=0.3 m,a2=0.03 m，如圖2所示。

圖2 仿人機械臂工作空間

根據(jù)文獻(xiàn)[13]，易得機械臂末端線速度3v3在基座坐標(biāo)系下的表達(dá)0v3：

(4)

(5)

2 動力學(xué)模型

2.1 元件能量說明

如圖3及表2所示，機械臂被分為3個部分，共11個元件。其中，關(guān)節(jié)件和腕部連接件因為相對于桿件和驅(qū)動器來說變形微小，故視為剛體。其余所有的元件均考慮了動能，重力勢能和彈性勢能。

圖3 仿人機械臂元件簡圖

表2 機械臂元件能量

表2中符號右下標(biāo)g表示桿件，j表示關(guān)節(jié)，s表示彈簧，m表示氣動肌肉，數(shù)字表示所在坐標(biāo)系，或?qū)?yīng)關(guān)節(jié)件序號。右上標(biāo)區(qū)分重力勢能和彈性勢能。下面進(jìn)行具體說明。

2.2 動能

圖4所示為上臂變形示意圖。桿件發(fā)生變形時，桿上距離原點x0處的點p移動到了點p'處，存在軸向伸長量w1(x0,t)，橫向彎曲量w2(x0,t)。r是點p'的位置向量。對r求導(dǎo)可以得到該點的速度：

(6)

圖4 上臂變形示意圖

此處根據(jù)小變形假設(shè)，并考慮仿人手臂的低速運動環(huán)境，忽略了橫向彎曲引起的軸向縮短量。需要指出的是該速度是在基座坐標(biāo)系下進(jìn)行描述的。故上臂桿件動能：

(7)

其中ρ為桿件材料密度，S為桿件橫截面積，L0為上臂桿件原長。

經(jīng)簡單推導(dǎo)可得上臂彈簧動能：

(8)

其中彈簧末端速度

因彈簧附著在桿件上，故彈簧有隨桿件變形的速度，此處假設(shè)彈簧在與桿件相同的x0軸位置，具有相同的變形速度，氣動肌肉作出同理假設(shè)。

上臂氣動肌肉動能：

(9)

(10)

上臂關(guān)節(jié)動能：

(11)

其余元件的動能推導(dǎo)過程類似，不再贅述，但是需要注意速度在基座坐標(biāo)系下的描述和疊加。比如下臂關(guān)節(jié)件1的動能：

(12)

2.3 重力勢能

取基座參考系的X0Z0平面為參考平面。由小變形假設(shè)，視上臂桿件及關(guān)節(jié)重力勢能視為零。其余元件重力勢能可由圖5所示的結(jié)構(gòu)幾何關(guān)系簡單推導(dǎo)得出，不再一一列舉。

圖5 機械臂幾何關(guān)系簡圖

2.4 彈性勢能及動力學(xué)方程

彈性勢能方面，上臂桿件彈性勢能：

(13)

其中E為桿件材料彈性模量，Iz為桿件的截面慣性矩。

上臂彈簧彈性勢能：

(14)

上臂肌肉彈性勢能：

(15)

其余元件的彈性勢能描述等式類似于上臂元件，不再贅述。

觀察式(8)、式(9)、式(14)和式(15)可見，氣動肌肉和彈簧組成的單拉驅(qū)動器的動能和彈性勢能實際上表征了傳統(tǒng)柔性關(guān)節(jié)鉸的柔性部分。顯然它仍是以關(guān)節(jié)角度為主要變量來參與到系統(tǒng)能量變化當(dāng)中，但也更準(zhǔn)確地區(qū)分了驅(qū)動器質(zhì)量連續(xù)分布時各類變形對能量變化的貢獻(xiàn)。本文希望研究不同關(guān)節(jié)角度時系統(tǒng)的自由振動。這種情況下氣動肌肉停止充氣，故剛度變化也基本停止，所以式(14)和式(15)把氣動肌肉近似為了定剛度彈簧進(jìn)行考慮。實際上隨著對氣動肌肉力學(xué)性能認(rèn)識的深入，關(guān)節(jié)彈性勢能可以得到更準(zhǔn)確的積分形式描述的。

額外的，系統(tǒng)邊界上存在能量。整體來看，系統(tǒng)一端固支，一端自由。根據(jù)一般邊界條件下的歐拉-伯努利梁等效模型[16]，固支邊界能量：

(16)

其中k0為邊界橫向位移約束剛度，K0為邊界旋轉(zhuǎn)約束剛度?？勺C明取一個較大數(shù)時即可有效模擬固定邊界條件。

將系統(tǒng)各元件的動能，勢能求和即可得到總動能T和總勢能V。采用假設(shè)模態(tài)法離散化，根據(jù)第二類拉格朗日方程:

(17)

易得系統(tǒng)自由振動動力學(xué)方程：

(18)

其中M為廣義質(zhì)量陣，G為哥氏項矩陣，K為剛度陣，q為廣義坐標(biāo)。

3 固有頻率求解

3.1 標(biāo)準(zhǔn)特征式方程

采用漢密爾頓原理求解系統(tǒng)的自由振動固有頻率?？梢宰C明對中心剛體柔性梁結(jié)構(gòu)而言，在低轉(zhuǎn)速情況下，縱向變形對橫向彎曲振動的影響極小[11]。故在進(jìn)行求解計算時，考慮到計算經(jīng)濟(jì)性，本文也略去了縱向變形。

橫向振動模態(tài)函數(shù)選用根據(jù)一般邊界條件下的歐拉-伯努利梁等效模型導(dǎo)出的改進(jìn)傅里葉級數(shù)梁結(jié)構(gòu)振型函數(shù)[16]。

(19)

(20)

其中w4(x,t)為下臂桿件橫向彎曲變形量，Ajm，Bjn(j=2,4)為待定系數(shù)，λjm=mπ/l，λjn=nπ/l，l為廣義梁長。當(dāng)j=2時，l=L0；j=4時l=L1。

自由振動情況下，外部荷載做功為0，于是梁結(jié)構(gòu)的拉格朗日函數(shù)為：

L=V-T

(21)

將系統(tǒng)總動能和總勢能代入上式并對未知系數(shù)求極值：

(22)

(23)

聯(lián)立式(22)和式(23)可得機械臂振動的標(biāo)準(zhǔn)特征式方程：

(K-ω2M)A=0

(24)

易由此求出系統(tǒng)特征值，即系統(tǒng)固有頻率。

3.2 算例驗證及收斂性

根據(jù)上文理論推導(dǎo)，在Wolfram Mathematica 9中編寫了程序。首先代入算例1與文獻(xiàn)[17]結(jié)果進(jìn)行對比，驗證理論推導(dǎo)和計算程序的正確性。

可見在截斷值取10時，程序計算結(jié)果已經(jīng)能較好匹配文獻(xiàn)結(jié)果，實際上隨著截斷值取更大，第10階頻率的相對誤差也會進(jìn)一步縮小。這是需要進(jìn)一步說明的結(jié)果收斂性問題。利用基礎(chǔ)參數(shù)更完整的算例2，來驗證計算結(jié)果的收斂性。

表3 算例1前10階固有頻率

計算結(jié)果見表4。

表4 算例2不同截斷值前6階固有頻率

可見各階頻率收斂性明顯。在截斷值取6時，系統(tǒng)前6階固有頻率就已經(jīng)基本收斂。隨著截斷值增大，計算過程中的累積誤差有所增大，導(dǎo)致低階頻率計算結(jié)果出現(xiàn)小幅波動，同時計算時間也大幅增加。為平衡計算的經(jīng)濟(jì)性和精確性，后文取截斷值為6進(jìn)行計算。

3.3 固有頻率隨關(guān)節(jié)角度變化

仿人機械臂關(guān)節(jié)角度變化運動實際上是由氣動肌肉充放氣，引起肌肉剛度變化，同時改變肌肉長度，進(jìn)而改變關(guān)節(jié)力矩造成的。其剛度和氣壓的變化關(guān)系是一個非線性變化的函數(shù)，而并非某一定值。但由于氣動肌肉本身力學(xué)特性不是本文研究重點，這里簡單假設(shè)其剛度隨氣壓增大、肌肉收縮而線性增大。

設(shè)置時間步由1到11，km0由8×103N/m到1×104N/m線性變化，步長200 N/m，同時θ1由0.5π到0線性變化，步長0.05 π。km1=5×103N/m，θ2=0不變，保持奇異位形。其余模型參數(shù)沿用算例2。各階頻率隨角度變化結(jié)果如圖6所示。

圖6 機械臂前六階固有頻率隨時間步變化

由圖可見，在上述運動過程中，算例2機械臂自由振動一階頻率振蕩增大，二階頻率變化近似線性降低，三到六階變化規(guī)律逐漸呈現(xiàn)明顯的三角函數(shù)特征。

4 結(jié) 論

本文通過理論推導(dǎo)和數(shù)值計算分析，主要得到以下研究結(jié)果：

(1)針對一種氣動肌肉單拉關(guān)節(jié)驅(qū)動的平面兩轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)仿人機械臂，采用能量法建立了動力學(xué)方程。著重解決了驅(qū)動器質(zhì)量不可忽略且連續(xù)分布情況下機械臂關(guān)節(jié)處的能量耦合方式?？梢詾轭愃茦?gòu)造的仿人機械臂動力學(xué)研究提供一定參考。

(2)根據(jù)理論推導(dǎo)，編程解算了仿人機械臂的固有頻率。利用步進(jìn)方式，近似了關(guān)節(jié)柔性鉸為非線彈性扭簧情況下，結(jié)構(gòu)固有頻率在兩個關(guān)鍵奇異位形間隨關(guān)節(jié)角度變化的規(guī)律。

(3)一個主要待解決的問題是關(guān)節(jié)為多轉(zhuǎn)動自由度的情況。難點是關(guān)節(jié)變?yōu)橐粋€并聯(lián)平臺，要考慮多對驅(qū)動器共同作用下，關(guān)節(jié)的運動及能量耦合方式。