利用Matlab編程展現(xiàn)數(shù)學(xué)之美

孫慧靜　王麗英　劉丹

【摘要】利用Matlab編程展示幾何圖，進(jìn)而探討了數(shù)學(xué)美的特征——簡(jiǎn)潔性，對(duì)稱性與奇異性。通過展示幾何圖，讓學(xué)員感受到數(shù)學(xué)之美，從而提高學(xué)員學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，激發(fā)學(xué)員學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

【關(guān)鍵詞】Matlab軟件? Julia集? Sierpinski三角形? Koch曲線

【中圖分類號(hào)】O192 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2020）19-0252-02

一、引言

高等數(shù)學(xué)和工程數(shù)學(xué)（以下簡(jiǎn)稱數(shù)學(xué)）是理工科軍事院校學(xué)員必修的公共基礎(chǔ)課。數(shù)學(xué)是學(xué)員學(xué)好理工專業(yè)課程的基礎(chǔ)，該課程除了能夠讓學(xué)員掌握基本的數(shù)學(xué)理論知識(shí)外，更重要的是數(shù)學(xué)對(duì)培養(yǎng)和加強(qiáng)學(xué)員的理性思維、思辨能力、分析和解決問題的能力有重要的作用，是開發(fā)學(xué)員潛在能動(dòng)性和創(chuàng)造力的重要課程。但是，數(shù)學(xué)教員在進(jìn)行授課時(shí)發(fā)現(xiàn)許多學(xué)員對(duì)數(shù)學(xué)不感興趣，更有甚者對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有厭倦心理。經(jīng)過調(diào)查發(fā)現(xiàn)這些不愛學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的學(xué)員總是將數(shù)學(xué)與“枯燥”、“抽象”、“晦澀”等一些詞聯(lián)系在一起，他們對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有畏難心理，覺得“數(shù)學(xué)難，難于上青天”。怎樣使學(xué)員對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)產(chǎn)生興趣呢？這是廣大數(shù)學(xué)教育工作者亟需解決的問題。

Matlab是矩陣實(shí)驗(yàn)室（Matrix Laboratory）的簡(jiǎn)稱，是美國(guó)Math Works公司開發(fā)的一種數(shù)學(xué)軟件，可用于算法開發(fā)、數(shù)據(jù)分析以及數(shù)值計(jì)算的高級(jí)技術(shù)計(jì)算語言和交互式環(huán)境。

本文旨在通過Matlab軟件編程展現(xiàn)數(shù)學(xué)之美，從而達(dá)到提高學(xué)員學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，激發(fā)學(xué)員學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣的目的[1]。

二、利用Matlab編程展現(xiàn)數(shù)學(xué)美

德國(guó)大數(shù)學(xué)家Gauss說過“數(shù)學(xué)是科學(xué)中的皇后”。Gauss在這里談的是一種在形式上高度抽象的美。一種被數(shù)學(xué)家所認(rèn)可卻對(duì)大多數(shù)人來說未曾體驗(yàn)或難以想象的內(nèi)在美。直到上個(gè)世紀(jì)80年代，由于電子計(jì)算機(jī)特別是圖象顯示系統(tǒng)的發(fā)展，這種邏輯形式、結(jié)構(gòu)與證明所構(gòu)成的美才通過在計(jì)算機(jī)屏幕上顯示出結(jié)果使得人們有目共睹。

利用Matlab軟件編程，畫出Julia集，Sierpinski三角形和Koch曲線的圖像，學(xué)員就不難發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)具有如下的美學(xué)特征：簡(jiǎn)潔美、對(duì)稱美和奇異美。

生成Julia集的Matlab程序如下：

clc，clear

a=-0.11; b=0.65; r=2; N=60;

hold on

for x0=-r：0.02：r

for y0=-r：0.02：r

x（1）=x0; y（1）=y0;

if x0^2+y0^2<=r^2

for n=1：N

x（n+1）=x（n）^2-y（n）^2+a;

y（n+1）=2*x（n）*y（n）+b;

end

if x（end）^2+y（end）^2

plot（x0，y0，'.'）

end

end

end

end

著名德國(guó)數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家H. Weyl說：“美和對(duì)稱緊密相連?！盨ierpinski三角形[2]是具有自相似對(duì)稱性的幾何對(duì)象，它指的是對(duì)一類具有無窮嵌套的幾何對(duì)象，適當(dāng)?shù)厝〕銎湟徊糠郑⒓右苑糯?，觀察者看到的結(jié)果與整體對(duì)象完全相同。圖2由無窮次分割做成，若取出其中一部分，放大2n倍（n為整數(shù)），則獲得與整體對(duì)象完全相同的圖形。Sierpinski三角形的構(gòu)成原理為：把一個(gè)三角形分成四等份，挖掉中間那一份，然后繼續(xù)對(duì)另外三個(gè)三角形進(jìn)行這樣的操作，并且無限地遞歸下去。每一次迭代后整個(gè)圖形的面積會(huì)減小到原來的3/4。因此最終得到的圖形面積顯然為0。這就是說，Sierpinski三角形其實(shí)是一條曲線。由圖2不難發(fā)現(xiàn)Sierpinski三角形圖形上毫無保留地展現(xiàn)出數(shù)學(xué)的對(duì)稱美。

生成Sierpinski三角形的Matlab程序如下：

function mysierpinski（x，y，L，n）

hold on

if n==1

x1=x-L/2; y1=y-L*tan（pi/6）/2;

x2=x+L/2; y2=y-L*tan（pi/6）/2;

x3=x; y3=y+L*tan（pi/6）/2;

plot（[x1;x2]，[y1;y2]）; plot（[x2;x3]，[y2;y3]）; plot（[x3;x1]，[y3;y1]）

else

x01=x-L/4; y01=y-L*tan（pi/6）/4;

x02=x+L/4; y02=y-L*tan（pi/6）/4;

x03=x; y03=y+L*tan（pi/6）/4;

mysierpinski（x01，y01，L/2，n-1）

mysierpinski（x02，y02，L/2，n-1）

mysierpinski（x03，y03，L/2，n-1）

end

奇異美總是體現(xiàn)在沖破傳統(tǒng)觀念和經(jīng)驗(yàn)的局限性，以新奇的方法或從新奇的前提（如公理）出發(fā)，得出新穎的數(shù)學(xué)結(jié)果中。1904年，瑞典數(shù)學(xué)家H. von Koch等方法構(gòu)造了如今稱為Koch曲線[3]或雪花曲線（如圖3所示）的處處不可微的連續(xù)曲線，并且討論了該曲線的性質(zhì)：一條封閉的曲線，它本身的長(zhǎng)無限，然而它所圍的區(qū)域面積卻有限的怪異。其構(gòu)造如下：設(shè)L0為單位直線段，將其三等分后，中間一段用與其組成等邊三角形的另兩邊代替，得到L1，L1包含四條線段。把同樣的過程應(yīng)用到L1的每個(gè)直線段而構(gòu)造L2。以此類推，對(duì)Ln的每條線段重復(fù)以上做法得到Ln+1。當(dāng)n趨向于無窮時(shí)，所得的折線序列趨于極限曲線L，稱L就是Koch曲線。

生成Koch曲線的程序如下：

function koch（level）

xl=zeros（level， 1）;

xr=xl;

xr（level）=1;

yl=xl;

yr=yl;

r=sqrt（1/3^2-1/6^2）;

hold on，

subkoch（xl， xr， yl， yr， level， r）;

hold off;

axis equal;

axis tight;

axis off;

function subkoch（xl， xr， yl， yr， level， r）

% draws a line at the lowest iteration level

if level==1

plot（[xl（1） xr（1）]， [-yl（1） -yr（1）]， 'b-'） ，

return

end

% branch in the next level

level=level-1;

% left subbranch

xl（level）=xl（level+1）;

yl（level）=yl（level+1）;

xr（level）=1/3*xr（level+1）+2/3*xl（level+1）;

yr（level）=1/3*yr（level+1）+2/3*yl（level+1）;

subkoch（xl， xr， yl， yr， level， r）;

% middle left subbranch

xl（level）=xr（level）;

yl（level）=yr（level）;

xr（level）=5*xr（level+1）+5*xl（level+1）-r*（yl（level+1）-yr（level+1））;

yr（level）=5*yr（level+1）+5*yl（level+1）+r*（xl（level+1）-xr（level+1））;

subkoch（xl， xr， yl， yr， level， r）;

% middle right subbranch

xl（level）=xr（level）;

yl（level）=yr（level）;

xr（level）=2/3*xr（level+1）+1/3*xl（level+1）;

yr（level）=2/3*yr（level+1）+1/3*yl（level+1）;

subkoch（xl， xr， yl， yr， level， r）;

% right subbranch

xl（level）=xr（level）;

yl（level）=yr（level）;

xr（level）=xr（level+1）;

yr（level）=yr（level+1）;

subkoch（xl， xr， yl， yr， level， r）;

三、總結(jié)

本文應(yīng)用Matlab軟件展現(xiàn)了一些美麗的分形圖。通過上面的幾個(gè)小例子，讓學(xué)員真實(shí)感受到數(shù)學(xué)是一門很美的學(xué)問，從而達(dá)到提高學(xué)員學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，培養(yǎng)學(xué)員學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣的目的。

參考文獻(xiàn)：

[1]李鐵木.數(shù)學(xué)與美學(xué)[M].北京：地震出版社，1999.8-10.

[2]汪小帆，李翔，陳關(guān)榮.復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論及其應(yīng)用[M].北京：清華大學(xué)出版社，2005，42-46.

[3]陳士化，陸軍安.混沌動(dòng)力學(xué)初步[M].武漢：武漢水利出版社，1998，81-92.

作者簡(jiǎn)介：

孫慧靜（1982-），女，博士，講師。